Асимптотическое разложение решения эллиптического уравнения второго порядка с периодическими быстро осциллирующими коэффициентами

В работе исследуется асимптотическое поведение фундаментального решения $K_\varepsilon(x,y)$ уравнения
$$ -\frac\partial{\partial x_i}\biggl(a_{ij}\biggl(\frac x\varepsilon\biggr)\frac\partial{\partial x_j}u_\varepsilon\biggr)=f(x), $$
заданного на всем пространстве $\mathbf R^n$, $n>2$, при $\varepsilon\to0$. Коэффициенты $a_{ij}(y)$ являются периодическими функциями, удовлетворяют условиям эллиптичности, симметрии и бесконечной гладкости.
Основным результатом работы является построение асимптотики $K_\varepsilon(x,y)$ в виде
$$ K_\varepsilon(x,y)=\sum^M_{s=0}\varepsilon^s\Phi_s\biggl(x-y,\frac x\varepsilon,\frac y\varepsilon\biggr)+\varepsilon^{M+1}R_M(x,y,\varepsilon), $$
где $M$ – любое натуральное число, $\Phi_s(x,y,z)$ однородны степени $-s-n+2$ по первому аргументу и периодичны по оставшимся, а для остаточного члена $R_M(x,y,\varepsilon)$ на множестве $|x-y|>\delta$, $\delta>0$, имеется оценка
$$ |R_M(x,y,\varepsilon)|<\frac{C_M(\delta)}{|x-y|^{M+n-1}} $$
с постоянными $C_M(\delta)$, не зависящими от $x$, $y$, $\varepsilon$.
Рисунков: 1.
Библиография: 9 названий.