О дифференциальных свойствах символа многомерного сингулярного интегрального оператора

Пусть $f$ – характеристика, а $\Phi$ – символ $n$-мерного сингулярного интегрального оператора, $\delta$ – оператор Бельтрами на сфере $S^{n-1}$ пространства $\mathbf R^n$, a $H^l_p(S^{n-1})$ – пространство бесселевых потенциалов на этой сфере с нормой
$$ \|g\|_{H^l_p(S^{n-1})}=\|(E+\delta)^{l/2}g\|_{L_p(S^{n-1})}, $$
где $E$ – единичный оператор.
Дифференциальные свойства символа в пространствах $H^l_p(S^{n-1})$ были изучены ранее в случае $p=2$.
В данной работе доказано, что в случае $p\in(1, \infty)$, $p\ne2$, имеют место следующие утверждения.
а) Если $f\in L_p(S^{n-1})$, то $\Phi\in H^\alpha_p(S^{n-1})$, $\alpha<\frac n2-|\frac 1p-\frac 12|(n-2)$, причем утверждение не имеет места ни при каком $\alpha>\frac n2-|\frac 1p-\frac 12|(n-2)$.
б) Если $\Phi\in H^\nu_p(S^{n-1})$, где $\nu>\frac n2+|\frac 1p-\frac 12|(n-2)$, то $f\in L_p(S^{n-1})$, причем утверждение не имеет места ни при каком $\nu<\frac n2+|\frac 1p-\frac 12|(n-2)$.
Из этих результатов следует, что для области значений $R(\Phi)$ символа $\Phi$ при характеристике $f\in L_p(S^{n-1})$ справедливы вложения $H^\nu_p\subset R(\Phi)\subset H^\alpha_p$, причем в отличие от случая $p=2$ более точное описание $R(\Phi)$ в терминах пространств $H^l_p(S^{n-1})$ невозможно.
Библиография: 21 название.