Об оценках и асимптотических формулах для рациональных тригонометрических сумм, близких к полным

Пусть $n\geqslant2$, $q>1$, $P\geqslant1$ – целые, $P<q$, $f(x)=a_nx^n+\dots+a_1x$ – многочлен с целыми коэффициентами, $(a_n,\dots,a_2,q)=d$. Хуа доказал, что для неполной тригонометрической суммы
$$ s(f,q,p)=\sum_{x=1}^pe^{2\pi i\frac{f(x)}q} $$
справедлива оценка
$$ |s(f,q,p)|\ll q^{1-\frac1n+\varepsilon}d^\frac1n\qquad(\varepsilon>0). $$
В работе при $n>2$ получены более точные оценки:
$$ |s(f,q,p)|\ll q^{1-\frac1n}d^\frac1n $$
и
$$ |s(f,q,p)|\ll pq^{-\frac1n+\varepsilon}d^\frac1n+q^{1-\frac1n+\varepsilon}d^\frac1n\biggl(\frac qd\biggr)^{-\rho}, $$
где $\rho=(n-1)/n(n^2-n+1)$. Следствием последней оценки является такая же оценка для числа решений сравнения
$$ f(x)\equiv c\pmod q;\qquad1\leqslant x\leqslant p. $$
Доказательства указанных результатов основаны на оценках полных рациональных тригонометрических сумм со знаменателем, равным степени простого числа, полученных по методу Хуа (метод развивали также в своих работах В. И. Нечаев, С. Chen, С. Б. Стечкин, С. В. Конягин).
Библиография: 24 названия.