О свойствах функций ограниченной вариации на множестве

В § 1 статьи обобщается неравенство А. Н. Колмогорова для сопряженных функций. Основной является теорема 2, в которой, например, доказано, что если $F$ – $2\pi$-периодическая с точностью до линейности функция ограниченной вариации в узком смысле на множестве $E\subset[0,2\pi)$, то для любого $\lambda>0$
$$ \bigg|\bigg\{x\in E:\sup_{0\leqslant r>1}|\overline{F'}(r,x)|>\lambda\bigg\}\bigg|^*\leqslant\frac C\lambda{\operatornamewithlimits{Var}_E}^*F. $$

В § 2 обобщается известная теорема М. Рисса и Ф. Рисса. Доказано, в частности, следующее.
Теорема 5. {\it Пусть $2\pi$-периодическая суммируемая функция $\Phi$ и ее сопряженная $\overline\Phi$ всюду определены$,$ ограничены и ограниченной вариации в узком смысле на множестве $E\subset[0,2\pi);$ если в точке $x$ существуют $\lim_{E\ni t\to x}\Phi(t)$ и $\lim_{E\ni t\to x}\overline\Phi(t),$ то $\Phi(x)=\lim_{E\ni t\to x}\Phi(t),$ $\overline\Phi(x)=\lim\limits_{E\ni t\to x}\overline\Phi(t)$. Тогда $\Phi$ и $\overline\Phi$ абсолютно непрерывны в узком смысле на $E$.}
Библиография: 14 названий.