Гладкость обобщенных решений уравнения $\biggl(\lambda-\displaystyle\sum_{i,j}\nabla_ia_{ij}\nabla_j\biggr)u=f$ с непрерывными коэффициентами

В работе показано, что если $u$ есть слабое решение в $L^2(\mathbf R^l)$ уравнения
$$ \biggl(\lambda-\sum_{i,\,j=1}^l\nabla_i a_{ij}\nabla_j\biggr)u=f, \qquad f\in L^1\cap L^\infty, \quad \lambda\geqslant0, $$
с непрерывными $a_{ij}(\,\cdot\,)$ и матрица $(a_{ij})$ вещественнозначна, симметрична и положительно определена, то $u\in\bigcap_{1<q<\infty}L_1^q(\mathbf R^l)$, где $L_k^p(\mathbf R^l)$ – пространство Соболева функций, производные которых до порядка $k$ включительно $p$-интегрируемы.
Доказан также следующий результат: пусть $(a_{ij})=(k^2\delta_{ij})$, $\delta_{ij}$ – символ Кронекера, $1\leqslant k$, $\overrightarrow\nabla k\in L^4$. Тогда для определенного расширения $A\supset 1-\overrightarrow\nabla k^2\overrightarrow\nabla\upharpoonright C_0^\infty$ справедливо вложение $A^{-1}[L^2\cap L^\infty]\subset L_2^2 \cap L_1^4$ и, более того, $k^2\nabla_i\nabla_j u\in L^2$, $k\nabla_i u\in L^4$ $\forall u\in A^{-1}[L^2\cap L^\infty]$.
Библиография: 5 названий.