Существование внутренних функций в шаре

В работе доказан следующий аналог для шара известной теоремы У. Рудина для полидиска. Для любой положительной полунепрерывной снизу суммируемой функции $\varphi$ на сфере $S\subset\mathbf C^d$ найдется положительная сингулярная мера $\mu$ на $S$ такая, что $\mu(S)=\|\varphi\|_{L^1(S)}$ и разность интегралов Пуассона функции $\varphi$ и меры $\mu$ является плюригармонической функцией (в единичном шаре $B$, $S=\partial B$). Отсюда моментально вытекает существование внутренней функции в $B$. Для шара $B$ получен также один ослабленный вариант теоремы Пика–Неванлинны об интерполяции внутренними функциями.
Полученные в работе результаты применяются к классам Харди $H^p$ ($0<p<1$) в шаре и в полидиске.
Библиография: 17 названий.