Рассеяние плоских продольных упругих волн тонкой полостью вращения. Случай осевого падения

Решается система уравнений теории упругости в однородной, изотропной среде
$$ A(\partial_x)\overline u+\omega^2\rho\overline u=0,\quad x\in D_\varepsilon;\qquad T\overline u=0,\quad x\in S_\varepsilon. $$
Здесь $A(\partial_x)$ – матричный дифференциальный оператор, $T$ – оператор напряжений, $x\in R^3$, $\varepsilon>0$ – малый параметр, $S_\varepsilon$ – гладкая ограниченная замкнутая поверхность вращения, $D_\varepsilon$ – внешность $S_\varepsilon$. Рассмотрен случай, когда
$$ \overline u(x)=A_le^{ik_lz}\overline i_z+\overline u^{(s)}(x),\qquad A_l=\mathrm{const}. $$
Отраженная волна $\overline u^{(s)}(x)$ удовлетворяет условию излучения. Построена асимптотика отраженной волны $\overline u^{(s)}(x)$ с точностью до $O(\varepsilon^{(m)})$ при $\varepsilon\to+0$, где $m>0$ – любое.
Полученные формулы пригодны всюду вблизи $S_\varepsilon$, включая ее торцевые точки, и вдали от нее. Найдена асимптотика амплитуд рассеяния отраженных волн.
Рисунок: 1.
Библиография: 16 названий.