О граничных значениях в $L_p$, $p>1$, решений эллиптических уравнений

Исследуется поведение вблизи границы обобщенного из $W_p^1(Q)$, $p>1$, решения эллиптического уравнения второго порядка
$$ \sum_{i,j=1}^n\frac\partial{\partial x_i}\biggl(a_{ij}(x)\frac{\partial u}{\partial x_j}\biggr)=f,\qquad x\in Q=\{|x|<1\}\subset\mathbf R_n. $$

Доказано, что при выполнении некоторого условия на правую часть уравнения ограниченность функции $\|x\|_{L_p(\|x\|=r)}$, $\frac12\leqslant r<1$, является необходимым и достаточным условием существования предела решения $u(rw)$, $\frac12\leqslant r<1$, $|w|=1$, в $L_p(|w|=1)$ при $r\to1-0$. Кроме того, необходимым и достаточным условием существования предела в $L_p$ на границе решения является также суммируемость функции $(1-|x|)|u(x)|^{p-2}|\nabla u(x)|^2$.
Библиография: 10 названий.