Точные оценки погрешности некоторых двухслойных методов решения трехмерного уравнения теплопроводности

Решается начально-краевая задача $\partial u/\partial t-\Delta u=f$ в $Q=\Omega\times(0,T)$, $u|_{\partial\Omega\times(0,T)}=0$, $u|_{t=0}=u_0$, причем $\Omega$ – трехмерный прямоугольный параллелепипед. Рассмотрены двухслойные методы второго порядка аппроксимации: семейства проекционно- и конечно-разностных схем с расщепляющимся оператором (р.о.), а также схемы Кранка–Никольсон. Выведены оценки погрешности в $L_2(Q)$ порядка $O(\tau^{1+\alpha}+h^2)$ при всех $0\leqslant\alpha\leqslant1$. Показано, что охват значений $0<\alpha\leqslant1$ дает усиленные оценки при разрывной $f$. Доказана точность оценок (по порядку), а в случае схем Кранка–Никольсон – и неулучшаемость оценок. Выяснено, что для разностных схем с р.о. $f$ должна при $0<\alpha\leqslant1$ обладать в $Q$ не только гладкостью порядка $\alpha$ по $t$ (как в случае схем Кранка–Никольсон), но и гладкостью (в определенном слабом смысле) порядка $2\alpha$ по пространственным переменным. Важное исключение составляет только одна схема с р.о. из каждого семейства (схема, эквивалентная предложенной Дж. Дугласом и ее проекционный аналог), причем лишь при $0<\alpha\leqslant1/2$. Описанная ситуация качественно отличается от ранее изученных в литературе.
Библиография: 17 названий.