Эллиптические уравнения второго порядка на графах

Рассматривается неориентированный граф $G$, вообще говоря, бесконечный, но с конечным числом ребер, выходящих из каждой вершины. Каждому ребру $[x,y]$ графа поставлено в соответствие положительное число $r[x,y]$ – его “сопротивление”. Вещественнозначную функцию $u$, заданную на вершинах $G$, будем называть эллиптической, если для каждой вершины $x\in G$ выполнено условие
$$ Lu(x)=\sum_{[x,y]\in G}\frac{u(y)-u(x)}{r_{[x,y]}}=0. $$

Показано, что при некоторых условиях на граф и на сопротивление его ребер эллиптические функции ведут себя как решения дивергентных равномерно эллиптических уравнений второго порядка без младших членов в $\mathbf R^n$. В частности, для них справедливы аналоги неравенства Харнака и теоремы Лиувилля.
Вводится понятие фундаментального решения оператора $L$ и даются некоторые условия существования положительного фундаментального решения оператора $L$ на графе $G$.
Рисунок: 1.
Библиография: 2 названия.