Оценка для числа слагаемых в проблеме Гильберта–Камке

Обозначим через $r(n)$ наименьшее $s$, при котором система уравнений
\begin{equation} x^j_1+\dots+x^j_s=N_j\qquad(j=1,\dots,n) \end{equation}
разрешима в целях неотрицательных $x_1,\dots,x_s$ при всех достаточно больших натуральных $N_1,\dots,N_n$, удовлетворяющих условиям:
1) особый интеграл $\gamma=\gamma(N_1,\dots,N_n)$ системы (1) удовлетворяет неравенству $\gamma\geqslant c(n,s)>0$ (условия порядка),
2) в целых $t_1,\dots,t_n$ разрешима система уравнений $\sum^n_{k=1}k^jt_k=N_j$ $(j=1,\dots,n)$ (арифметические условия).
В 1937 г. К. К. Марджанишвили доказал, что $n^2\ll r(n)\leqslant n^42^{2n^2-n-2}$. Г. И. Архипов получил для $r(n)$ одинаковые по порядку оценки сверху и снизу: $2^n-1\leqslant r(n)\leqslant3n^32^n-n$ $(n\geqslant5)$.
В работе верхняя оценка для $r(n)$ доводится до
\begin{equation} r(n)\leqslant\sum_{0\leqslant k\leqslant[\ln n/\ln2]}2^k(2^{[n/2^k]}-1)\qquad(n\geqslant12); \end{equation}
в частности получается асимптотическая формула $r(n)=2^n+O(2^{n/2})$. Предполагается, что оценка (2) точная.
Библиография: 20 названий.