Асимптотическая полнота в задаче рассеяния на броуновской частице

В работе изучается трехмерное уравнение Шредингера с потенциалом, случайным образом зависящим от времени:
$$ i\frac{\partial\psi}{\partial t}=-\Delta_x\psi+q(x-y(t))\psi;\quad\psi|_{t=0}=\psi_0(x);\quad t\geqslant0. $$
Здесь $\psi_0\in L_2(\mathbf R^3)$, $q$ – фиксированная комплекснозначная функция, $y(t)$ – траектория винеровского случайного процесса. Основной результат работы состоит в следующем. Пусть $\operatorname{Im}q(x)\leqslant0$, $q\in L_2(\mathbf R^3)$ и найдутся $R$, $\delta>0$ такие, что $|q(x)|\leqslant C|x|^{-7/2-\delta}$ при $|x|\geqslant R$. Тогда для почти всех по мере Винера траекторий $y(\,\cdot\,)$ решение вышеназванного уравнения $\psi(t,y(\,\cdot\,))$ имеет свободную асимптотику при $t\to+\infty$ для любых начальных данных $\psi_0$ из $L_2(\mathbf R^3)$, т.е. при некотором $\psi_+$
$$ \lim_{t\to+\infty}\|\psi(t,y(\,\cdot\,))-\exp(-itH_0)\psi_+\|_{L_2(\mathbf R^3)}=0,\qquad H_0=-\Delta_x. $$

Рисунок: 1.
Библиография: 13 названий.