Изометрические погружения областей $n$-мерного пространства Лобачевского в евклидовы пространства с плоской нормальной связностью. Модель калибровочного поля

Рассматриваются погружения областей $n$-мерного пространства $L^n$ в $E^{n+m}$, $m\geqslant n-1$, такие, что в каждой точке имеется $n$ главных направлений. Система уравнений Гаусса–Кодацци–Риччи сведена к некоторой системе уравнений на функции $H_1,\dots,H_{m+1}$, удовретворяющие условию $\sum_{i=1}^{m+1}H_i^2=1$, причем первые $n$ функций служат коэффициентами линейного элемента $ds^2=\sum_{i=1}^nH_i^2du_i^2$ пространства $L^n$ в координатах кривизны. Произвол в задании аналитического погружения $L^n$ в $E^{n+m}$ с плоской нормальной связностью состоит из $nm$ аналитических функций одного аргумента.
Естественным образом введен тензор $F_{\mu\nu}$ “электромагнитной напряженности” и векторные поля $\mathbf E$ и $\mathbf H$ “электрической и магнитной напряженностей”, имеющие матричные компоненты, связанные с погружением $L^4$ в $E^7$. Тензор $F_{\mu\nu}$ удовлетворяет аналогам уравнений Максвелла. Доказано, что плотность топологического заряда равна нулю. Это означает, что скалярное произведение $(\mathbf{EH})=0$. Рассмотрены погружения со стационарной метрикой – аналоги моно-полей. Доказана
Теорема. Для погружения области из $L^4$ в $E^7$ со стационарной метрикой $\mathbf E\equiv0,$ $\mathbf H$ не зависит от одной координаты и эта координата “компактифицируется”. Погружение области из $L^4$ представляется в виде произведения некоторого трехмерного подмногообразия $F^3\subset E^5$ на окружность $S^1\subset E^2$ переменного радиуса.
Доказано, что не существует регулярного класса $C^2$ изометрического погружения всего $L^n$ в $E^{2n-1}$ со стационарной метрикой. Рассмотрен другой класс погружений $L^4$ в $E^7$, при котором семейство координатных линий кривизны $u_4$ составлено из геодезических линий. Поле $\mathbf E$ в этом случае потенциально, поле $\mathbf H$ не зависит от $u_4$. Основная система уравнений погружения редуцирована к системе меньшей размерности.
Построены некоторые погружения областей плоскости Лобачевского $L^2$ в $E^4$ с нулевым гауссовым кручением.
Библиография 15 названий.