Неподвижные точки и дифференцируемость нормы

Доказывается, что в (вещественном) равномерно гладком банаховом пространстве $X$ нерастягивающее отображение $f\colon X\to X$ имеет неподвижную точку, если для некоторого непустого ограниченного замкнутого (не обязательно выпуклого) множества $E\subset X$, с границей $\partial E$ и замкнутой выпуклой оболочкой $\operatorname{\overline{co}}E$, выполнено условие:
$$ \inf\{\|x-y\|:x\in f(\partial E),\ y\in X\setminus\operatorname{\overline{co}}E\}>0. $$

Показано, что нерастягивающее отображение $f\colon B\to X$, где $B$ – ограниченное выпуклое и замкнутое подмножество гильбертова или двумерного строго выпуклого банахова пространства $X$, имеет неподвижную точку, если для некоторого непустого замкнутого (не обязательно выпуклого) множества $C\subset B$ выполнено условие:
$$ \{x+t(f(x)-x):0<t\leqslant 1\}\cap C\ne\varnothing\quad\text{для любого}\quad x\in\partial C. $$

Библиография: 11 названий.