$A$-интеграл и граничные значения аналитических функций

Пусть $G$ – односвязная ограниченная область на комплексной плоскости $\mathbf C$, $\gamma=\partial G$, причем предполагается, что $\gamma$ – замкнутая жордановая спрямляемая кривая. Через $m$ обозначим линейную меру Лебега на $\gamma$. Для функции $F$, аналитической в $G$, и для $\alpha>1$ положим $F_\alpha^*(t)=\sup\{|F(z)|:z\in G,\ |z-t|<\alpha\rho(z,\gamma)\}$, $t\in\gamma$, где $\rho(z,\gamma)$ – евклидово расстояние от $z$ до $\gamma$.
Доказано, что если при некотором $\alpha>2$
\begin{equation} m\{t\in\gamma:F^*_\alpha(t)>\lambda\}=o(\lambda^{-1}),\qquad\lambda\to+\infty, \end{equation}
то $F$ имеет конечное угловое граничное значение $F(t)$ для почти всех $t\in\gamma$ и
$$ (A)\int_\gamma F(t)\,dt=0, $$
где интеграл в левой части понимается в смысле $(A)$. Доказано также, что при выполнении условия (1) $F$ представима в $G$ $A$-интегралом Коши от своих угловых ограничных значений на $\gamma$. Далее, если граница $\gamma$ регулярная (т.е. для всех $z\in\mathbf C$ и $r>0$ $m\{t\in\gamma:|t-z|\leqslant r\}\leqslant Cr$, где постоянная $C$ не зависит от $z$ и $r$), то для справедливости этих утверждений достаточно потребовать выполнения условия (1) при некотором $\alpha>1$.
Изучен вопрос о представимости $A$-интегралом Коши интегралов типа Коши. В частности, на случай областей с регулярной границей перенесены известные результаты П. Л. Ульянова по этому вопросу. Доказано, что при этом условие регулярности границы ослабить нельзя.
Библиография: 18 названий.