Об операторах Штурма–Лиувилля на всей прямой с одинаковым дискретным спектром

В работе показано, что все дифференциальные операторы вида
\begin{equation} -y''+q(x) y= \lambda y \qquad (-\infty<x<\infty), \label{1} \end{equation}
спектр которых $\{\lambda_n\}^\infty_{n=0}$ совпадает со спектром линейного осциллятора
\begin{equation} -y''+(x^2-1)y= \lambda y \qquad (-\infty<x<\infty), \label{2} \end{equation}
т.е. $\lambda_n=2n$, $n=0,1,2,\dots$, и потенциалы $q(x)$ которых достаточно гладкие и достаточно мало отличаются от потенциала $(x^2-1)$, могут быть получены при помощи известной процедуры теории обратной задачи Штурма–Лиувилля. Этот результат был уже ранее получен в работе Мак-Кина и Трубовица (Comm in Math., 1982, v. 82, p. 471–495).
В настоящей работе дается другое доказательство этой теоремы, основанное на следующей теореме о полноте, имеющей самостоятельный интерес.
Обозначим через $\{e_n(x)\}^\infty_{n=0}$ собственные функции уравнения (1) и через $\{e_n^0(x)\}^\infty_{n=0}$ – собственные функции уравнения (2). Линейная оболочка множества функций
$$ \{e_n(x)e_n^0(x)\}^\infty_{n=0}\cup\{[e_n(x)e_n^0(x)]'\}^\infty_{n=0} $$
плотна в пространстве $L^2(-\infty,\infty)$.
Библиография: 8 названий.