Уравнение динамического программирования для задачи быстродействия с фазовыми ограничениями

Для дифференциального включения $\dot x\in F(x)$ с полунепрерывной сверху выпуклой и компактной при всех $x\in F^n$ правой частью рассматривается задача быстродействия с фазовым ограничением, задаваемым компактным множеством $K$. Показано, что неотрицательная полунепрерывная снизу функция $\tau(x)$, обращающаяся в нуль лишь на терминальном множестве $M$ и непрерывная на решениях дифференциального включения $\dot x\in-F(x)$, является временем быстродействия в рассматриваемой задаче, если для нее при всех $x$, где $\tau(x)<\infty$, имеет место соотношение
$$ \min_{f\in F_K(x)}D^+\tau(x;f)=-1. $$
Здесь $D^+\tau(x;f)$ – верхняя контингентная производная функции $\tau$ в направлении $f$, $F_K(x)=T_K(x)\cap F(x)$, $T_K(x)$ – нижний контингентный касательный конус к множеству $K$ в точке $x$. Показано также, что если отображение $F$ непрерывно, а функция $\tau$ удовлетворяет одностороннему условию Липшица, то приведенные условия являются необходимыми.
Рисунок: 1.
Библиография: 14 названий.