Мультипликаторные операторы, связанные с задачей Коши для волнового уравнения. Разностная регуляризация

Для оператора $M_{t^\alpha}$, $t>0$, $\alpha+n/2\ne0,-1,-2,\dots$, определяемого в образах Фурье на шварцевых функциях $\omega\in S(\mathbf R^n)$ соотношением
$$ F[M_{t^\alpha}\omega](\xi)=m_\alpha(t|\xi|)F[\omega](\xi),\quad m_\alpha(\rho)=\Gamma\biggl(\frac n2+\alpha\biggr)\biggl(\frac\rho2\biggr)^{1-n/2-\alpha}J_{n/2+\alpha-1}(\rho), $$
рассматривается вопрос о продолжении до линейного ограниченного оператора $\mathscr M_{t^\alpha}\colon L_p^r\to L_q^s$, где $L_p^r$, $L_q^s$ – лебеговы пространства бесселевых потенциалов, $1\leqslant p\leqslant\infty$, $1\leqslant q\leqslant\infty$, $-\infty<r<\infty$, $-\infty<s<\infty$. Получены точные условия, при которых такое продолжение возможно. Дается явное представление $\mathscr M_{t^\alpha}f$ при $\alpha<0$, $f\in L_p^r$, $1\leqslant p<\infty$, $r\geqslant0$, в виде разностного гиперсингулярного интеграла, сходящегося по $L_q^s$-норме и почти всюду. Для оператора $\mathscr M_{t^{\alpha,\beta}}$, порожденного Фурье-мультипликатором
$$ \mu_{t,\alpha,\beta}(\xi)=(1+|\xi|^2)^{-\beta/2}m_\alpha(t|\xi|), $$
получено утверждение о сходимости $\mathscr M_{t^{\alpha,\beta}}\varphi$, $\varphi\in L_p$, при $t\to0$ по $L_q^s$-норме и почти всюду, обобщающее известный результат Стейна, соответствующий случаю $\beta=0$. Результаты применяются к исследованию задачи Коши для волнового уравнения в шкале пространств $L_p^r$.
Рисунков: 4.
Библиография: 12 названий.