О зависимости свойств множества точек разрыва функции от скорости ее полиномиальных хаусдорфовых приближений

Пусть $c_\alpha(f)=\varliminf_{n\to\infty}nH_\alpha E_n(f)$, где $H_\alpha E_n(f)$ – наименьшее уклонение $2\pi$-периодической функции $f$ от тригонометрических полиномов порядка $\leqslant n$ в $\alpha$-метрике Хаусдорфа. Показано, что для любого $\alpha>0$ существует функция $f_\alpha$, для которой $c_\alpha(f_\alpha)=\pi/2\alpha$ и множество точек разрыва которой имеет хаусдорфову размерность $1$. Введено понятие $R(E)$ – коэффициента $\sigma$-равнопористости множества $E$ и получена неулучшаемая оценка снизу коэффициента $\sigma$-равнопористости множества точек разрыва $D(f)$ функции $f$ через величину $c_\alpha(f)$, $\pi/2\alpha\leqslant c_\alpha(f)\leqslant\pi/\alpha$:
$$ R(D(f))\geqslant\frac{2(\pi-\alpha c_\alpha(f))}{3\pi-2\alpha c_\alpha(f)}. $$

Ранее в работах Е. П. Долженко, Е. А. Севастьянова и П. Петрушева, Сп. Ташева было показано, что из условия $c_\alpha(f)<\pi/\alpha$ следует непрерывность $f$ почти всюду, а из $c_\alpha(f)<\pi/2\alpha$ – непрерывность во всех точках.
П. Петрушев и Сп. Ташев построили пример разрывной функции $f$, для которой $c_\alpha(f)=\pi/2\alpha$, однако, в отличие от упомянутого выше примера, функция $f$ имела на периоде лишь одну точку разрыва.
Библиография: 11 названий.