Точная локальная управляемость двумерных уравнений Навье–Стокса

Пусть граница $\partial \Omega$ ограниченной области $\Omega \subset \mathbb R^2$ состоит из двух непересекающихся замкнутых кривых $\Gamma _0$ и $\Gamma _1$, причем $\Gamma _0$ связна, а $\Gamma _1\ne \varnothing$. В $\Omega$ рассматривается система Навье–Стокса $\partial _tv(t,x)-\Delta v+(v,\nabla )v+\nabla p=f(t,x)$, $\operatorname {div}v=0$ c условиями: $(v,\nu )\big |_{\Gamma _0}=\operatorname {rot}v\big |_{\Gamma _0}=0$ и $v\big |_{t=0}=v_0(x)$, где $t\in (0,T)$, $x\in \Omega$, $\nu$ – нормаль к $\Gamma _0$. Пусть $\widehat v(t,x)$ – заданное решение уравнений Навье–Стокса, удовлетворяющее на $\Gamma _0$ указанным условиям, и $\|\widehat v(0,\,\cdot \,)-v_0\|_{W^2_2(\Omega )}<\varepsilon$, где $\varepsilon =\varepsilon (\widehat v)\ll 1$. Доказано существование такого управления $u(t,x)$ на $(0,T)\times \Gamma _1$, что решение $v(t,x)$ системы Навье–Стокса с $(v,\nu )\big |_{\Gamma _0}=\operatorname {rot}v\big |_{\Gamma _0}=0$, $v\big |_{t=0}=v_0(x)$ и $v\big |_{\Gamma _1}=u$ при $t=T$ совпадает с $\widehat v(T,\,\cdot \,)$: $v(T,x)=\widehat v(T,x)$. В частности, при $f$ и $\widehat v$, не зависящих от $t$, когда $\widehat v(x)$ – неустойчивое стационарное решение, из сформулированного результата следует, что с помощью управления $\alpha$ на $\Gamma _1$ можно подавить возникновение турбулентности. Аналогичный результат доказан, когда $\Gamma _0=\partial \Omega$, а управление $\alpha (t,x)$ является распределенным, с носителем в произвольной подобласти $\omega \subset \Omega$.
Библиография: 12 названий.