О бесконечных кривых на бутылке Клейна

Рассматривается непрерывная несамопересекающаяся (полу) бесконечная кривая $L=\{z(t);t\geqslant0\}$ на бутылке Клейна $\mathbf R^2/\Gamma$, где группа скольжений $\Gamma$ порождена сдвигами на элементы целочисленной решетки и еще преобразованием $(x,y)\mapsto(x+\frac12,-y)$. Показательно, что если кривая $\widetilde L=\{\widetilde z(t)\}\subset\mathbf R^2$, накрывающая $L$, уходит в бесконечность, то $\widetilde L$ имеет горизонтальное или вертикальное асимптотическое направление в бесконечности, т.е. полупрямая, начинающаяся в фиксированной точке $\mathbf R^2$ и проходящая через $\widetilde z$(t), имеет при $t\mapsto\infty$ горизонтальный или вертикальный предел $\widetilde l$. В первом случае (когда $\widetilde l$ горизонтальна) отклонение $\widetilde L$ от $\widetilde l$ ограничено, во втором случае оно может быть неограниченным в одну сторону (но не в обе). Попутно упрощено описание примера, демонстрирующего аналогичную возможность неограниченного отклонения в случае тора и опубликованного ранее (Тр. МИАН. Т. 185. С. 30–53).
Библиография: 8 названий.