Скорость стабилизации и устойчивость вязких сжимаемых баротропных симметричных течений со свободной границей для общей массовой силы

Рассматриваются симметричные течения вязкой сжимаемой баротропной жидкости со свободной границей, приводимые в движение общей массовой силой $f_S$ (зависящей как от эйлеровой, так и от лагранжевой координат) и внешним давлением $p_{\Gamma,S}$, при общей монотонной функции состояния $p$. Охватывается случай самогравитации, возникающий в астрофизике. Сначала изучаются существование, единственность и статическая устойчивость положительных стационарных решений, дается вариационное исследование этих решений и их статической устойчивости в терминах потенциальной энергии. В астрофизическом контексте доказывается, что стационарное решение единственно и статически устойчиво при условии, что первый адиабатический показатель больше или равен 4/3.
Затем в случае, когда $\omega$-предельное множество для нестационарных плотности и свободной границы содержит статически устойчивое положительное стационарное решение, выводится равномерная стабилизация к последнему и, главное, устанавливаются оценки скорости стабилизации экспоненциального типа в $L^2$ и $H^1$ для плотности и скорости при $t\to\infty$ с помощью построения новых нетривиальных функционалов Ляпунова рассматриваемой задачи. Более того, доказывается, что статически устойчивые стационарные решения экспоненциально асимптотически устойчивы и эта нелинейная динамическая устойчивость дополнительно устойчива по отношению к малым нестационарным возмущениям $f_S$ и $p_{\Gamma,S}$. Дополнительно вводится вариационное условие на стационарное решение, обеспечивающее глобальную по отношению к данным динамическую устойчивость. Исследование выполнено как в эйлеровых, так и в лагранжевых массовых координатах.
Библиография: 35 названий.