О представлении функций суммой нескольких композиций

Пусть даны непрерывные отображения $\varphi_i$ компакта $X$ на компакты $Y_i$, $i=1,\dots,n$. При $n=2$ известна теорема: если любую ограниченную функцию $f$ на $X$ можно представить в виде $f=g_1\circ\varphi_1+g_2\circ\varphi_2$, где $g_1$, $g_2$ – ограниченные функции на $Y_1$, $Y_2$, то любую непрерывную $f$ можно представить в том же виде с непрерывными $g_1$, $g_2$. Строится пример, показывающий, что при $n>2$ аналогичная теорема неверна.