Пространства Лизоркина–Трибеля векторнозначных функций и точная теория следов для функций из пространств Соболева со смешанной $L_p$-нормой в параболических задачах

Для функции $u=u(y,t)\in L_q(0,T;W_{\underline p}^{\underline m}(\mathbb R_+^n))$ с $\partial_tu\in L_q(0,T; L_{\underline p}(\mathbb R_+^n))$ в статье исследуется задача о следе на гиперповерхности $y_n=0$, тем самым рассматриваются пространства Соболева со смешанной лебеговой нормой $L_{\underline p,q}(\mathbb R^n_+\times(0,T)) =L_q(0,T;L_{\underline p}(\mathbb R_+^n))$, где $\underline p=(p_1,\dots,p_n)$ — вектор, $\mathbb R^n_+=\mathbb R^{n-1}\times(0,\infty)$. Подобные функциональные пространства полезны при изучении параболических уравнений. В частности, они позволяют использовать интегрирование с различными степенями по пространству и по времени. Показано, что регулярность следа по временно́й переменной в точности описывается пространством Лизоркина–Трибеля $F_{q,p_n}^{1-1/(p_nm_n)}(0,T;L_{\widetilde{\underline p}}(\mathbb R^{n-1}))$, $\underline p=(\widetilde{\underline p},p_n)$. Аналогичный результат доказан для производных первого порядка от $u$ по пространственным переменным. Эти результаты позволяют найти правильные пространства данных в неоднородных задачах Дирихле и Неймана для параболических уравнений второго порядка в случае решений из $L_q(0,T; W_p^2(\Omega))\cap W_q^1(0,T;L_p(\Omega))$ при $p\leqslant q$.
Библиография: 25 названий.