Асимптотика решения задачи Дирихле для уравнения с быстро осциллирующими коэффициентами в прямоугольнике

Найдено полное асимптотическое разложение решения задачи Дирихле для скалярного уравнения второго порядка в прямоугольнике. Показателями степеней $\varepsilon$ в ряде служат (вообще говоря, нецелые) неотрицательные числа вида $p+q_1\alpha_1\pi^{-1}+\dots+q_4\alpha_4\pi^{-1}$, где $p$, $q_j=0,1,\dots$, $\alpha_j$ – раствор угла, который трансформируется в четверть плоскости при замене координат, переводящей оператор Лапласа в главную часть осредненного оператора в вершине $O_j$ прямоугольника. Коэффициенты ряда при рациональном $\alpha_j\pi^-1$ могут полиномиально зависеть от $\log\varepsilon$. Указано, что алгорифм не изменяется и в случае системы дифференциальных уравнений или в случае области, ограниченной ломаными с вершинами в узлах $\varepsilon$-решетки. Рассмотрена спектральная задача; асимптотические формулы для собственного числа $\lambda(\varepsilon)$ и собственной функции получены в предположении, что $\lambda(0)$ – простое собственное число осредненной задачи Дирихле.