О равномерной стабилизации решений первой смешанной задачи для параболического уравнения

Рассматривается первая смешанная задача с однородным краевым условием для линейного параболического уравнения второго порядка. Предполагается, что неограниченная область $\Omega$ удовлетворяет условию: существует такая положительная постоянная $\theta$, что для всякой точки $x$ границы $\partial\Omega$ выполнено неравенство
$$ \operatorname{mes}(\{y\colon|x-y|<r\}\setminus\Omega)\geqslant\theta r^n, \quad r>0. $$
Для некоторого класса начальных функций $\varphi$, включающего в себя все ограниченные функции, установлено, что необходимым и достаточным условием равномерной стабилизации решения к нулю является следующее условие: $\displaystyle r^{-n}\int_{|x-y|<r}\varphi (y)\,dy\to0$ при $r\to\infty$ равномерно по всем $x$ из $\Omega$ таким, что $\operatorname{dist}(x,\partial\Omega)\geqslant r+1$.
Доказательство критерия стабилизации опирается на полученную в работе оценку функции Грина, учитывающую ее убывание вблизи границы.