Интегрирование слабо нелинейных полугамильтоновых систем гидродинамического типа методами теории тканей

В работе рассматриваются слабо нелинейные полугамильтоновые системы $n$ дифференциальных уравнений гидродинамического типа в инвариантах Римана и изучается геометрия $(n+2)$-ткани, образованной характеристиками и линиями уровня независимых переменных. Показано, что ранг этой ткани на общем решении системы равен $n$. С помощью этого результата получены формулы общего интеграла рассматриваемых систем, содержащие необходимый произвол в $n$ функций одного аргумента.
Отдельно рассматриваются случаи $n=3$ и $n=4$, для которых удается не только проинтегрировать соответствующие системы, но и дать их полную классификацию с точностью до так называемых преобразований по решению (reciprocal transformations). Оказалось, что при $n=3$ все они линеаризуются (и, следовательно, эквивалентны), в то время как при $n=4$ существует ровно пять неэквивалентных друг другу систем и любая другая сводится к одной из них преобразованием по решению.
Обсуждается связь слабо нелинейных полугамильтоновых систем и циклид Дюпена – гиперповерхностей евклидова пространства, главные кривизны которых постоянны вдоль соответствующих главных направлений.
В заключение формулируется ряд нерешенных задач.