О проблеме Салема и Зигмунда относительно гладкости аналитической функции, порождающей кривую Пеано

Пусть $\gamma_0$ обозначает верхнюю грань всех тех $\gamma\in(0,1)$, для которых существует функция $F\in\operatorname{Lip}\gamma$ на замкнутом единичном круге $D=\{z:|z|\leqslant 1\}$ такая, что $F$ аналитична внутри круга $D$ и множество $\{F(z):|z|=1\}$ содержит в себе внутреннюю точку. В 1945 г. Р. Салем и А. Зигмунд доказали, что $\gamma_0\in(0,1/2]$ и поставили вопрос о величине числа $\gamma_0$. В статье доказывается, что $\gamma_0=1/2$.