Усреднение на фоне исчезающей вязкости

В работе рассмотрены эллиптические уравнения вида
\begin{gather*} \biggl(\mu a_{ij}\biggl (\frac x\varepsilon\biggr)\frac\partial{\partial x_i} \frac\partial{\partial x_j}+\varepsilon^{-1}v_i\biggl (\frac x\varepsilon\biggr) \frac\partial{\partial x_i}\biggr)u^{\mu,\varepsilon}(x)=0, \\ u^{\mu,\varepsilon}\big|_{\partial\Omega}=\varphi(x) \end{gather*}
с периодическими быстроосциллирующими коэффициентами; $\mu$, $\varepsilon$ – малые параметры. Для потенциальных полей $v(y)$ и постоянных $a_{ij}=\delta_{ij}$ изучено асимптотическое поведение при $\mu\to 0$ коэффициентов усредненного оператора (которое принято также называть эффективной диффузией). Показано, что при $\mu\to 0$ эффективная диффузия $\sigma(\mu)=\sigma_{ij}(\mu)$ экспоненциально вырождается, и найден предел $\lim\limits_{\mu\to 0}\mu\ln\sigma(\mu)$.
Получены достаточные условия существования предельного оператора при одновременном стремлении параметров $\mu$ и $\varepsilon$ к 0. Структура этого оператора зависит от запаса симметрии коэффициентов $a_{ij}(y)$ и $v_i(y)$, в частности, он может распадаться на независимые операторы в подпространствах меньшей размерности.