Операторы взвешенного сдвига, спектральная теория линейных расширений и мультипликативная эргодическая теорема

Изучен оператор взвешенного сдвига $(T_af)(x)=\rho^{1/2}(x)a(\alpha^{-1}x)f(\alpha^{-1}x)$, действующий в пространстве $L_2(X,\mu;H)$ функций на метрическом компакте $X$ со значениями в сепарабельном гильбертовом пространстве $H$. Здесь $\alpha$ – гомеоморфизм $X$ с плотным множеством непериодических точек, мера $\mu$ квазиинвариантна относительно $\alpha$, $\rho=\dfrac{d\mu\alpha^{-1}}{d\mu}$, $a$ – непрерывная на $X$ функция со значениями в алгебре ограниченных операторов в $H$. Установлено, что динамический спектр расширения $\hat\alpha(x,v)=(\alpha x,a(x)v)$, $x\in X$, $v\in H$, получается из спектра $\sigma(T_a)$ в $L_2$ логарифмированием $|\sigma(T_a)|$. При помощи проекторов Рисса для $T_a$ описаны спектральные подрасслоения для $\hat\alpha$. В случае, когда $\alpha$ принимает компактные значения, динамический спектр вычислен через точные ляпуновские показатели построенного по $a$ и $\alpha$ коцикла, отвечающие эргодическим для $\alpha$ мерам на $X$.