Прямые и обратные теоремы о приближении по корневым функциям регулярной краевой задачи

На функциях $x$, заданных на $[0,1]$, рассмотрена спектральная задача $x^{(n)}+Fx=\lambda x$ при краевых условиях $U_j(x)=0$, $j=1,\dots,n$. Предполагается, что $F$ – линейный ограниченный оператор, действующий из пространства Гёльдера $C^\gamma$ с $\gamma\in[0,n-1)$ в пространство $L_1$, $U_j$ – линейные ограниченные функционалы на $C^{k_j}$ при $k_j\in\{0,\dots,n-1\}$, $\mathfrak P_\zeta$ – линейная оболочка корневых функций задачи $x^{(n)}+Fx=\lambda x$, $U_j(x)=0$, $j=1,\dots,n$, отвечающих ее собственным значениям $\lambda_k$ с $|\lambda_k|<\zeta^n$, а $\mathscr E_\zeta(f)_{W_p^l} :=\inf\bigl\{\|f-g\|_{W_p^l}:g\in\mathfrak P_\zeta\bigr\}$. В работе получена оценка сверху $\mathscr E_\zeta(f)_{W_p^l}$ через $K$-функционал $K(\zeta^{-m},f;W_p^l,W_{p,U}^{l+m}):=\inf\bigl\{\|f-x\|_{W_p^l} +\zeta^{-m}\|x\|_{W_p^{l+m}}:x\in\nobreak W_p^{l+m},\ U_j(x)=0\ \text{при}\ k_j<l+m\bigr\}$ (прямая теорема), а также установлена оценка сверху этого $K$-функционала через $\mathscr E_\xi(f)_{W_p^l}$ при $\xi\le\zeta$ (обратная теорема).
В ряде случаев приведены двусторонние оценки $K$-функционала через подходящие модули непрерывности и тогда прямая и обратная теоремы формулируются в терминах модулей непрерывности. Эти результаты в случае спектральной задачи $x^{(n)}=\lambda x$ при периодических краевых условиях совпадают с прямой и обратной теоремами Д. Джексона и С. Н. Бернштейна о приближении функций посредством тригонометрической системы.
Библиография: 41 название.