Базисные спинорные представления знакопеременных групп, решетки Гау и решетки Барнса–Уолла

В своей недавней работе Р. Гау показал, что в некоторых случаях базисные спинорные представления группы $2\mathfrak A_n$ (степени $2^{[\frac{n}{2}]-1}$) могут быть рациональными. В таких случаях $2\mathfrak A_n$-инвариантные решетки $\Lambda$ в соответствующем рациональном модуле обладают многими интересными свойствами. В этой работе мы находим все возможности для групп $G=\operatorname{Aut}(\Lambda)$. Мы также доказываем гипотезу, высказанную Р. Гау, а именно, при $n=8k$, $k\in \mathbb N$, среди $2\mathfrak A_n$-инвариантных решеток находится и четная унимодулярная решетка Барнса–Уолла $BW_{2^{4k-1}}$. Заодно доказана рациональность базисного спинорного представления группы $2\mathfrak A_{8k}$ и приводимость $\Lambda /2\Lambda$ как $2\mathfrak A_{8k}$-модуля.
Библиография: 21 название.