Об ограниченности в $C[-1,1]$ средних Валле-Пуссена для дискретных сумм Фурье–Чебышёва

Исследуются аппроксимативные свойства средних Валле-Пуссена $v_{m,n}=v_{m,n}(f)=v_{m,n}(f,x)=v_{m,n}(f,x,N)$ дискретных сумм Фурье–Чебышёва по многочленам Чебышёва, образующим ортонормированную систему на множестве $\Omega =\bigl \{-1+2j/(N-1)\bigr \}_{j=0}^{N-1}$ с весом $\rho (x)=2/N$. Доказано, что если $n \leqslant a\sqrt N$, $0<d \leqslant m/n \leqslant b$, то найдется постоянная $c=c(a,b,d)$, для которой $\|v_{m,n}\| \leqslant c$, где $\|v_{m,n}\|$ – норма оператора $v_{m,n}$ в пространстве $C[-1,1]$. Как следствие доказано, что для алгебраического многочлена $p_n(x)$ степени $n \leqslant a\sqrt N$ из неравенства $\max \bigl \{|p_n(x)|:x \in \Omega \bigr \} \leqslant 1$ вытекает $\|p_n\|=\max \bigl \{|p_n(x)|:x\in [-1,1]\bigr \} \leqslant c(a)$.
Библиография: 10 названий.