Некоторые функционалы для случайных блужданий и критические ветвящиеся процессы в экстремально неблагоприятной среде

Пусть $\{S_{n},\,n\geqslant 0\}$ – случайное блуждание, распределение шага которого принадлежит без центрировки области притяжения устойчивого распределения индекса $\alpha $, т.е. существует такая нормирующая последовательность констант $a_{n}$, что последовательность $S_{n}/a_{n}$, $n=1,2,\dots$, слабо сходится при $n\to \infty $ к случайной величине, имеющей устойчивое распределение индекса $\alpha $. Пусть $S_{0}=0$,
$$ L_{n}:=\min (S_{1},\dots,S_{n}),\qquad\tau _{n}:=\min \{ 0\leqslant k\leqslant n\colon S_{k}=\min (0,L_{n})\} . $$
В предположении, что $S_{n}\leqslant h(n)$, где функция $h(n)$ имеет порядок $o(a_{n})$ при $n\to\infty$ и $\lim_{n\to \infty }h(n)\in [ -\infty,+\infty ]$ существует, доказан ряд предельных теорем, описывающих асимптотическое поведение функционалов вида
$$ \mathbf{E}[ e^{\lambda S_{\tau _{n}}};\, S_{n}\leqslant h(n)], \qquad \lambda>0, $$
при $n\to \infty $. Полученные результаты используются при исследовании вероятности невырождения критического ветвящегося процесса, эволюционирующего в экстремально неблагоприятной среде.
Библиография: 15 названий.