Решение уравнения Пуассона с особенностями методом коллокации и наименьших квадратов

Предложены и реализованы новые h-, p- и hp-варианты метода коллокации и наименьших квадратов (КНК) решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона. В работе рассматриваются примеры решения задач с особенностями в виде больших градиентов, высокой скорости роста производных решения с ростом порядка дифференцирования, разрыва вторых производных на границе области в угловых точках, осциллирующего решения с различными частотами при наличии точки разрыва типа полюс для производных любого порядка. Новые варианты метода основаны на специальном выборе точек коллокации в корнях полиномов Чебышева первого рода, а также базисных функций в виде произведения полиномов Чебышева. Проанализировано поведение численного решения на последовательности сеток и при увеличении степени аппроксимирующего полинома с использованием точных аналитических решений. Получены формулы для операции продолжения, необходимые для перехода с грубой сетки на более мелкую на многосеточном комплексе в методе Федоренко.