Законы сохранения и другие формулы для семейств лучей и фронтов и для уравнения эйконала

Ранее автором были получены дифференциальные законы сохранения для двумерного уравнения эйконала в неоднородной изотропной среде. Они представляют собой дивергентные тождества вида $\mathrm{div}\, F = 0$, векторное поле $F$ выражается через решение уравнения эйконала (поле времен), показатель преломления (параметр уравнения) и их частные производные. Были также найдены равносильные законы сохранения (дивергентные тождества) для семейств лучей и фронтов в терминах их геометрических характеристик, т. е. был найден геометрический смысл полученных законов сохранения для двумерного уравнения эйконала.
В данной статье представлены трехмерные аналоги этих результатов: дифференциальные законы сохранения для трехмерного уравнения эйконала и законы сохранения (дивергентные тождества вида $\mathrm{div}\, F = 0$) для семейств лучей и фронтов, где векторное поле $F$ под знаком дивергенции выражается через классические геометрические характеристики кривых лучей: их орты Френе (единичные векторы касательной, главной нормали и бинормали), кривизну и кручение, либо через классические геометрические характеристики поверхностей фронтов: их нормаль, главные кривизны, главные направления, гауссову и среднюю кривизны.
Все результаты получены на основе общих векторных и геометрических формул (дифференциальных законов сохранения и других формул), полученных автором для семейств произвольных гладких кривых, семейств произвольных гладких поверхностей и произвольных гладких векторных полей.