Двухсеточные методы для новой смешанной конечно-элементной аппроксимации полулинейных параболических интегро-дифференциальных уравнений

В данной статье представлена двухсеточная схема для полулинейного параболического интегродифференциального уравнения с использованием нового смешанного метода конечных элементов. Градиент в методе принадлежит пространству квадратично интегрируемых функций, а не классическому пространству $H(\mathrm{div};\Omega)$. Скорость и давление аппроксимируются парой $P_0^2-P_1$, которая удовлетворяет условию inf–sup. Вначале мы решаем исходную нелинейную задачу на грубой сетке нашей двухсеточной схемы. Затем для линеаризации дискретизованных уравнений мы дважды используем ньютоновскую итерацию на мелкой сетке. Показано, что алгоритм помогает достичь асимптотически оптимальной аппроксимации, когда размеры сеток удовлетворяют соотношению $h=\mathcal{O}(H^6|\ln H|^2)$. В результате решение такого большого класса нелинейных уравнений не намного сложнее, чем решение одного линеаризованного уравнения. Представлен численный эксперимент для подтверждения теоретических результатов двухсеточного метода.