On the $p$-version of the finite element method for the boundary value problem with singularity

Рассматривается одномерная первая краевая задача для дифференциального уравнения второго порядка с сильной сингулярностьюрешения, вызванной согласованным вырождением исходных данных в начале координат. Решение поставленной задачи определяется как $R_{\nu}$-обобщенное. Доказывается принадлежность решения весовому пространству С. Л. Соболева $H^3_{2,\nu+\beta/2+1}$ при определенных условиях на коэффициенты и правую часть дифференциального уравнения. Строится схема метода конечных элементов на фиксированной сетке с использованием полиномов произвольной степени $p$ ($p$-версия метода конечных элементов). При этом конечно-элементное пространство содержит сингулярные полиномы. Используя регулярность $R_{\nu}$-обобщенного решения задачи, устанавливается оценка скорости сходимости второго порядка по степени $p$ полиномов в норме весового пространства С. Л. Соболева.