Метод повышенной точности для квазилинейного сингулярно возмущенного эллиптического уравнения конвекции-диффузии

Рассматривается задача Дирихле на прямоугольнике для квазилинейного сингулярно возмущенного эллиптического уравнения конвекции-диффузии в случае, когда граница области не имеет характеристических участков; старшие производные уравнения содержат параметр $\varepsilon$, принимающий произвольные значения из полуинтервала (0,1]. Для такого типа линейной задачи $\varepsilon$-равномерная скорость сходимости хорошо известных схем не выше первого порядка (в равномерной норме). Для рассматриваемой краевой задачи строятся сеточные аппроксимации, сходящиеся $\varepsilon$-равномерно со скоростью $O(N^{-2}\ln^2N)$, где $N$ характеризует число узлов сетки по каждой переменной. Используются кусочно-равномерные сетки, сгущающиеся в пограничном слое. В том случае, когда значения параметра малы по сравнению с эффективным шагом сетки, применяется метод декомпозиции области, мотивируемый “асимптотическими конструкциями”. Используются монотонные аппроксимации “вспомогательных” подзадач, описывающих главные члены асимптотических представлений решений в окрестностях регулярных и углового пограничных слоев и вне этих окрестностей. Указанные подзадачи решаются на подобластях последовательно, причем на равномерных сетках. Если же значения параметра не являются достаточно малыми (по сравнению с эффективным шагом сетки), применяются классические разностные схемы с аппроксимацией первых производных центральными разностными производными. Отметим, что вычисление решений построенной разностной схемы (схемы на основе метода “асимптотических конструкций”) существенно упрощается при достаточно малых значениях параметра $\varepsilon$.