Сверхсходящиеся ненасыщаемые алгоритмы численного решения уравнения Лапласа

Традиционные способы решения эллиптических задач теряют бо́льшую часть информации, содержащейся в таблице $N$ чисел, которая возникает при их дискретизациях. Эти способы не используют бесконечную гладкость границы и граничных данных, а погрешность имеет степенной порядок $N^{-r}$, где $r>0$ – некоторое целое число. По этой причине отыскание решения с достаточной точностью в случае, например, граничных поверхностей с участками большой кривизны становится слишком дорогим. На основе идей К. И. Бабенко построен алгоритм, который с точностью до медленно растущего множителя $O(\ln^{2}N)$ реализует абсолютно неулучшаемую экспоненциальную оценку погрешности $O(e^{-N\varrho})$, $\varrho=\mathsf {const}$. Неулучшаемость этой оценки обусловлена асимптотикой александровских $N$-перечников компакта $C^{\infty}$-гладких функций, содержащих решение. Эта асимптотика также имеет вид $O(e^{-N\varrho})$. Результат представляет принципиальный интерес, так как построенный метод является ненасыщаемым по Бабенко методом численного решения осесимметричных $C^{\infty}$-гладких краевых задач для уравнения Лапласа.