Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Общая информация
Последний выпуск
Архив
Импакт-фактор

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



SIGMA:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications, 2011, том 7, 069, 24 стр.
DOI: https://doi.org/10.3842/SIGMA.2011.069
(Mi sigma627)
 

Эта публикация цитируется в 54 научных статьях (всего в 54 статьях)

The Universal Askey–Wilson Algebra

Paul Terwilliger

Department of Mathematics, University of Wisconsin, Madison, WI 53706-1388, USA
Список литературы:
Аннотация: Let $\mathbb F$ denote a field, and fix a nonzero $q\in\mathbb F$ such that $q^4\not=1$. We define an associative $\mathbb F$-algebra $\Delta=\Delta_q$ by generators and relations in the following way. The generators are $A$, $B$, $C$. The relations assert that each of
\begin{gather*} A+\frac{qBC-q^{-1}CB}{q^2-q^{-2}},\qquad B+\frac{qCA-q^{-1}AC}{q^2-q^{-2}},\qquad C+\frac{qAB-q^{-1}BA}{q^2-q^{-2}} \end{gather*}
is central in $\Delta$. We call $\Delta$ the universal Askey–Wilson algebra. We discuss how $\Delta$ is related to the original Askey–Wilson algebra AW(3) introduced by A. Zhedanov. Multiply each of the above central elements by $q+q^{-1}$ to obtain $\alpha$, $\beta$, $\gamma$. We give an alternate presentation for $\Delta$ by generators and relations; the generators are $A$, $B$, $\gamma$. We give a faithful action of the modular group ${\rm {PSL}}_2(\mathbb Z)$ on $\Delta$ as a group of automorphisms; one generator sends $(A,B,C)\mapsto (B,C,A)$ and another generator sends $(A,B,\gamma)\mapsto (B,A,\gamma)$. We show that $\lbrace A^iB^jC^k \alpha^r\beta^s\gamma^t| i,j,k,r,s,t\geq 0\rbrace$ is a basis for the $\mathbb F$-vector space $\Delta$. We show that the center $Z(\Delta)$ contains the element
\begin{gather*} \Omega=qABC+q^2A^2+q^{-2}B^2+q^2C^2-qA\alpha-q^{-1}B\beta -q C\gamma. \end{gather*}
Under the assumption that $q$ is not a root of unity, we show that $Z(\Delta)$ is generated by $\Omega$, $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ and that $Z(\Delta)$ is isomorphic to a polynomial algebra in 4 variables. Using the alternate presentation we relate $\Delta$ to the $q$-Onsager algebra. We describe the 2-sided ideal $\Delta\lbrack \Delta,\Delta\rbrack \Delta$ from several points of view. Our main result here is that $\Delta\lbrack \Delta,\Delta \rbrack \Delta + \mathbb F 1$ is equal to the intersection of $(i)$ the subalgebra of $\Delta$ generated by $A$, $B$; $(ii)$ the subalgebra of $\Delta$ generated by $B$, $C$; $(iii)$ the subalgebra of $\Delta $ generated by $C$, $A$.
Ключевые слова: Askey–Wilson relations; Leonard pair; modular group; $q$-Onsager algebra.
Поступила: 17 апреля 2011 г.; в окончательном варианте 9 июля 2011 г.; опубликована 15 июля 2011 г.
Реферативные базы данных:
Тип публикации: Статья
MSC: 33D80; 33D45
Язык публикации: английский
Образец цитирования: Paul Terwilliger, “The Universal Askey–Wilson Algebra”, SIGMA, 7 (2011), 069, 24 pp.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Ter11}
\by Paul Terwilliger
\paper The Universal Askey--Wilson Algebra
\jour SIGMA
\yr 2011
\vol 7
\papernumber 069
\totalpages 24
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/sigma627}
\crossref{https://doi.org/10.3842/SIGMA.2011.069}
\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=2861207}
\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=000293474300001}
\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-84855810991}
Образцы ссылок на эту страницу:
  • https://www.mathnet.ru/rus/sigma627
  • https://www.mathnet.ru/rus/sigma/v7/p69
  • Эта публикация цитируется в следующих 54 статьяx:
    Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles
    Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications
    Статистика просмотров:
    Страница аннотации:267
    PDF полного текста:72
    Список литературы:55
     
      Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2024