| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Сообщения Московского математического общества Корни характеристического уравнения для симплектического группоида Л. О. Чеховabc, М. З. Шапироcb, Х. Шибоd a Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук b Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики" c Michigan State University, East Lansing, USA d Xi'an Jiaotong University, Xi'an, Shaanxi, P.R. China
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2022, Volume 77, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/RM9999 
Реферативные базы данных:
    Морфизмы на множестве $\mathcal A_n\subseteq \operatorname{gl}_n$ унипотентных верхнетреугольных $(n\times n)$-матриц задаются преобразованиями $\mathbb A\mapsto B\mathbb AB^\top\in \mathcal A_n$, линеаризация $\delta_\varepsilon \mathbb A=g\mathbb A+\mathbb Ag^\top$ которых для $B=e^{\varepsilon g}$ аналогична преобразованиям Кричевера–Новикова [4]. Квантование пуассоновой структуры на $\mathcal A_n$, полученной А. И. Бондалом [1] в рамках конструкции симплектического группоида, задается уравнением отражения с тригонометрической $R$-матрицей:
$$
\begin{equation}
{\mathcal R}_{n}(q)\overset{1}{\mathbb A} {\mathcal R}_{n}^{t_1}(q)\overset{2}{\mathbb A}= \overset{2}{\mathbb A}{\mathcal R}_{n}^{t_1}(q) \overset{1}{\mathbb A}{\mathcal R}_{n}(q),
\end{equation}
\tag{1}
$$
где $\mathbb A$ – верхнетреугольная матрица с $q^{-1/2}$ на диагонали и с самосопряженными операторнозначными элементами $a_{i,j}$ при $i<j$. Комбинация $\mathbb A\mathbb A^{-\unicode{8224}}:=\mathbb A[\mathbb A^{\unicode{8224}}]^{-1}$ испытывает преобразования сопряжения, $\mathbb A\mathbb A^{-\unicode{8224}}\mapsto B \mathbb A\mathbb A^{-\unicode{8224}} B^{-1}$, и задача состоит в нахождении ее собственных значений $\lambda_i\in\mathbb C$, задающих $[n/2]$ независимых элементов Казимира [1]. Элементы матрицы $\mathbb A$ выражаются через переменные Фока–Гончарова $Z_\alpha=Z_{(i,j,k)}$ в барицентрической параметризации ($i+j+k=n$) вершин $b_n$-колчана [3] (рис. 1 слева): сплошная стрелка из $\alpha$ в $\beta$ отвечает соотношениям $Z_{\beta}Z_{\alpha}=q^{-2} Z_{\alpha}Z_{\beta}$, а пунктирная стрелка – соотношениям $Z_{\beta}Z_{\alpha}=q^{-1} Z_{\alpha}Z_{\beta}$. Направленная сеть $N$, дуальная $b_n$-колчану, задается графом двойных стрелок на рис. 1. В произвольной планарной направленной сети $\mathcal N$ пути $P\colon j \rightsquigarrow i$ ставится в соответствие квантовый вес $w(P)$ – упорядоченное по Вейлю (обозначаемое символом В случае $b_n$-колчана определим три квантовые $(n\times n)$-матрицы переноса
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, (\mathcal M_1)_{i,j}= \sum_{\substack{P\colon j\rightsquigarrow i'}} w(P),\quad (\mathcal M_2)_{i,j}= \sum_{\substack{P\colon j\rightsquigarrow i'' }} w(P), \quad (\mathcal M_3)_{i,j}= \sum_{\substack{P\colon j' \rightsquigarrow i'' }} w(P), \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где пути, дающие вклад в $\mathcal M_3$, получаются обращением всех горизонтальных двойных стрелок в сети $N$. Матрицы ${\mathcal M}_1$ и $\mathcal M_3$ нижнетреугольные, а матрица ${\mathcal M}_2$ верхнетреугольная. Введем антидиагональную матрицу $S=\sum_{i=1}^n (-1)^{i+1}q^{-i+1/2}e_{i,n+1-i}$ и обозначим через  произведения переменных Фока–Гончарова вдоль SE-диагоналей $b_n$-колчана.
Имеет место условие группоида [2] ${\mathcal M}_3 S {\mathcal M}_1= {\mathcal M}_2$, и теорема 4.1 работы [2] утверждает, что комбинация $\mathbb A:=\mathcal M_1^\top\mathcal M_3 S \mathcal M_1$ удовлетворяет уравнению (1). Попарная амальгамация переменных $Z_{(i,0,n-i)}$ и $Z_{(0,n-i,i)}$ при этом порождает новые казимиры Теорема. Собственные значения $\lambda_i\in \mathbb C$, $1\leqslant i\leqslant n$, оператора $\mathbb A\mathbb A^{-\unicode{8224}}$ суть Доказательство. Для $\mathbb A=\mathcal M_1^\top\!\mathcal M_3 S \mathcal M_1$ имеем $\mathcal M_i^\unicode{8224}=\mathcal M_i^\top$ и $\mathbb A^{\unicode{8224}}\!= \mathcal M_1^\top S^+\! \mathcal M_3^\top \mathcal M_1$, так что $\mathbb A-\lambda \mathbb A^{\unicode{8224}}= \mathcal M_1^\top\bigl(\mathcal M_3S- \lambda S^+ \mathcal M_3^\top\bigr)\mathcal M_1$, и условие сингулярности принимает вид $\bigl(\mathcal M_3S- \lambda S^+ \mathcal M_3^\top\bigr)\psi=0$. Матрица $\mathcal M_3$ нижнетреугольная с членами $m_1=Z_{(n,0,0)}$ и
 , $2\leqslant i \leqslant n$, на диагонали, и главное наблюдение состоит в том, что обе матрицы $\mathcal M_3S$ и $S^+\mathcal M_3^\top$ имеют верхнеантитреугольный вид. Антидиагональные составляющие этих матриц соответственно равны и условие сингулярности имеет нетривиальное решение, если их комбинация содержит нулевой элемент, так что допустимые значения суть $\lambda_i=(-1)^{n-1}q^{-n} m_{n+1-i}/m_i$, где отношения переменных отвечают различным случаям в теореме. Теорема доказана.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{CheShaShi22} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|