| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 3 статьях) Сообщения Московского математического общества Многоточечные формулы для обратного рассеяния при высоких энергиях Р. Г. Новиковab a CMAP, CNRS, École Polytechnique, Institut Polytechnique de Paris, Palaiseau, France b Институт теории прогноза землетрясений и математической геофизики Российской академии наук
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2021, Volume 76, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/RM9994 
Реферативные базы данных:
      Мы рассматриваем уравнение Шрёдингера
$$
\begin{equation}
-\Delta\psi+v(x)\psi=E\psi,\qquad x\in\mathbb{R}^d,\quad d\geqslant 1,\quad E>0,
\end{equation}
\tag{1}
$$
где ${\mathcal C}^{\infty}_c$ обозначает бесконечно гладкие комплекснозначные функции с компактным носителем. Для уравнения (1) мы рассматриваем решения рассеяния $\psi^+(x,k)=e^{ikx}+\psi^{\rm sc}(x,k)$, $k\in\mathbb{R}^d$, $k^2=E$, где $\psi^{\rm sc}$ удовлетворяет условию излучения Зоммерфельда:
$$
\begin{equation*}
|x|^{(d-1)/2}\biggl(\frac{\partial}{\partial|x|}-i|k|\biggr)\psi^{\rm sc}(x,k)\to 0\quad \text{при } |x|\to +\infty
\end{equation*}
\notag
$$
равномерно по $x/|x|$. Отсюда следует, что
$$
\begin{equation}
\psi^{\rm sc}(x,k)=\frac{e^{i|k||x|}}{|x|^{(d-1)/2}}\, f_1\biggl(k,|k|\frac{x}{|x|}\biggr)+ O\biggl(\frac{1}{|x|^{(d+1)/2}}\biggr)\quad\text{при } |x|\to +\infty,
\end{equation}
\tag{3}
$$
где $f_1$ – амплитуда рассеяния для уравнения (1). Подробнее об определениях $\psi^+$ и $f_1$ см., например, [1], [4] и приведенные там ссылки. Удобно представить $f_1$ следующим образом:
$$
\begin{equation}
f_1=c(d,|k|)f(\theta,\omega,E),\qquad (\theta,\omega)\in \mathbb{S}^{d-1}\times \mathbb{S}^{d-1},
\end{equation}
\tag{4}
$$
где
$$
\begin{equation*}
c(d,|k|)=-\pi i(-2\pi i)^{(d-1)/2}|k|^{(d-3)/2},\qquad \theta=k/|k|,\qquad \omega=x/|x|.
\end{equation*}
\notag
$$
Чтобы сформулировать наши результаты, мы используем также следующие обозначения:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \widehat v(p)=(2\pi)^{-d}\int_{\mathbb{R}^d}e^{ipx}v(x)\,dx,\qquad p\in\mathbb{R}^d, \\ \omega^\bot=\{p\in\mathbb{R}^d\kern-1pt\colon p\omega=0\},\qquad \omega\in\mathbb{S}^{d-1}, \\ \theta(p,\omega,E)=E^{-1/2}\bigl(p+(E-p^2)^{1/2}\omega\bigr),\qquad p\in\omega^\bot,\quad \omega\in\mathbb{S}^{d-1},\quad E^{1/2}>0, \\ \alpha_j(\vec{\xi})=\prod_{i=1}^{j-1}(\xi_j-\xi_i),\quad\text{если } 1< j\leqslant n,\quad \text{и} \quad \alpha_1(\vec{\xi})=1, \\ \beta_{n,j}(\vec{\xi})=\prod_{i=j+1}^{n}(\xi_i-\xi_j),\quad\text{если } 1\leqslant j<n,\quad \text{и} \quad \beta_{n,n}(\vec{\xi})=1, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\vec{\xi}=(\xi_1,\dots,\xi_n)$.
Теорема 1. Пусть $v$ удовлетворяет (2). Тогда: Формулы (5a), (5b) являются явными асимптотическими формулами для нахождения преобразования Фурье $\widehat v(p)$ при фиксированных $p\in\mathbb{R}^d$, $d\geqslant 2$, по амплитуде рассеяния $f$ в $n$ точках при высоких энергиях $E_1,\dots,E_n$. Точность этих формул есть $O(s^{-n})$, $s\to +\infty$, и в этом смысле пропорциональна $n$. Насколько нам известно, эти формулы являются новыми для $n\geqslant 2$. Для $n=1$ формулы (5a), (5b) – это известная вариация формулы Борна при высоких энергиях $v$; см., например, [2; предложение 3.4] и [3; формула (5.1)]. (Для $n=1$ формулы (5a) и (5b) совпадают.) Формулы (5a) и (5b) можно вывести из предложения 3.4 в [2] об асимптотическом разложении $f(\theta,\omega,s^2)$, когда $s\to +\infty$, при $s(\theta-(\theta\omega)\omega)=p$, примененяя к этому разложению теоремы 3.1 и 3.2 из [4].
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Nov21} |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|