| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 3 статьях) О разрешении особенностей одномерных слоений на трёхмерных многообразиях Дж. С. Ребелоa, Э. Рейсbc a Institut de Mathématiques de Toulouse, Toulouse, France b Centro de Matemática da Universidade do Porto, Porto, Portugal c Faculdade de Economia da Universidade do Porto, Porto, Portugal
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2021, Volume 76, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/RM9993 
Реферативные базы данных:
     1. ВведениеЦель этого раздела – изложить основные результаты, полученные в данной статье, а также ввести основные понятия, необходимые для понимания утверждений читателями, не являющимися экспертами. Более подробное обсуждение места наших результатов среди современных исследований в данной области, а также краткое изложение наших методов и структуры статьи будут приведены в разделе 2. Напомним, что особое одномерное голоморфное слоение $\mathscr{F}$ на $(\mathbb{C}^3,0)$ есть не что иное, как (особое) слоение, определяемое локальными орбитами голоморфного векторного поля, заданного в окрестности начала координат и имеющего множество нулей коразмерности не меньше $2$. Если не указано противное, на протяжении всей статьи под особым голоморфным слоением мы будем понимать особое одномерное голоморфное слоение. В качестве простого следствия теоремы Гильберта о нулях мы получаем, что, с точностью до умножения векторных полей на мероморфные функции, каждое мероморфное векторное поле $X$ на $(\mathbb{C}^3,0)$ индуцирует особое голоморфное слоение в окрестности начала координат. Это слоение будет называться слоением, ассоциированным с векторным полем $X$. Ясно, что два (мероморфных) векторных поля имеют одно и то же ассоциированное слоение тогда и только тогда, когда они отличаются умножением на (мероморфную) функцию. Обратно, векторное поле $X$, индуцирующее данное слоение $\mathscr{F}$, будет называться представителем слоения $\mathscr{F}$, если $X$ голоморфно и его множество нулей имеет коразмерность не менее 2. Другими словами, векторным полем, представляющим слоение $\mathscr{F}$, является любое голоморфное векторное поле, касательное к $\mathscr{F}$ и имеющее множество нулей коразмерности не менее $2$. Из предыдущего вытекает, что нет смысла рассматривать “особые мероморфные слоения”, поскольку все слоения в этой категории будут на самом деле голоморфными. С другой стороны, у (особых) голоморфных слоений пустой дивизор нулей, поскольку их особые множества имеют коразмерность не менее $2$. Иными словами, всякий раз, когда нас интересуют исключительно слоения, для получения векторного поля, представляющего слоение, мы можем свободно исключить любой (мероморфный) общий множитель компонент векторного поля, касающегося слоения. Конечно, это невозможно сделать, если, как это часто бывает, нас интересует само векторное поле $X$ (подробнее об этом ниже). В вышеупомянутом контексте особых точек теоремы о разрешении особенностей ориентированы на слоения в том смысле, что мы можем свободно исключать нетривиальные общие множители компонент векторного поля всякий раз, когда такие общие множители возникают в результате преобразования представляющего векторного поля бирациональным отображением. Чтобы прояснить эти вопросы, напомним, что прототипом всех “теорем о разрешении” для слоений является теорема Зайденберга [33], которая верна для слоений, заданных на двумерном объемлющем пространстве. Более точно, если $\mathscr{F}$ обозначает особое голоморфное слоение, определённое в окрестности $ (0,0)\in \mathbb{C}^2 $, то теорема Зайденберга утверждает существование конечной последовательности раздутий в точке и последовательности преобразованных слоений $\mathscr{F}_i$ ($i=1,\dots,n$),
$$
\begin{equation*}
\mathscr{F}=\mathscr{F}_0 \xleftarrow{\Pi_1} \mathscr{F}_1 \xleftarrow{\Pi_2} \cdots \xleftarrow{\Pi_n} \mathscr{F}_n,
\end{equation*}
\notag
$$
для которых выполнено следующее: (i) каждое раздутие $\Pi_i$ ($i=1,\dots,n$) происходит в особой точке слоения $\mathscr{F}_{i-1}$; (ii) все особые точки слоения $\mathscr{F}_n$ являются элементарными, т. е. $\mathscr{F}_n$ локально задаётся представляющим векторным полем $X_n$, линейная часть которого в данной особой точке имеет по крайней мере одно ненулевое собственное значение (см. ниже). Хотя теорема Зайденберга непосредственно касается слоений, она также весьма эффективна в применении к векторным полям на комплексных поверхностях. Общий принцип использования теоремы Зайденберга для изучения векторных полей – в отличие от слоений – состоит в применении этой теоремы к ассоциированному слоению, а также в изучении дивизора нулей/полюсов преобразованного векторного поля. В соответствии с этой точкой зрения теорема Зайденберга также вполне применима: структура отображения разрешения особенностей (композиции раздутий $\Pi_i$) такова, что преобразованные голоморфные векторные поля остаются голоморфными (напомним, что преобразование голоморфного векторного поля бирациональным отображением является, вообще говоря, мероморфным векторным полем). В более общем смысле, процедура Зайденберга позволяет немедленно вычислить дивизор нулей преобразованного векторного поля. Например, если мы раздуем векторное поле $X$ с изолированной особенностью в точке $(0,0) \in \mathbb{C}^2$ и обозначим степень первой ненулевой однородной компоненты ряда Тейлора поля $X$ в точке $(0,0)$ через $k$, то дивизор нулей раздутия поля $X$ будет совпадать с исключительным дивизором и иметь степень $k-1$ (если только поле $X$ не пропорционально радиальному векторному полю $x\,\partial/\partial x+y\,\partial/\partial y$; в этом случае степень будет равна $k$). Как будет видно в ходе обсуждения, обобщение теоремы Зайденберга на слоения на $(\mathbb{C}^3,0)$ – очень тонкая проблема. Весьма удовлетворительный ответ даётся в работe [26]; он в значительной степени опирается на предыдущий результат Д. Панаццоло [27]. Несколько позднее этот вопрос был заново рассмотрен в работе [9] с точки зрения теории нормирований. Однако “окончательные модели” в теореме о разрешении из [9] не так точны, как модели в [26] (подробности см. в разделе 2). Настоящая статья выросла из попытки использовать упомянутые выше результаты для получения более точного результата о разрешении особенностей, который был бы справедлив для специального класса голоморфных слоений, ассоциированных с полуполными векторными полями (см. теорему B ниже). Несмотря на то что слоения, ассоциированные с полуполными векторными полями, образуют весьма ограниченный класс, он содержит слоения, соответствующие всем полным векторным полям, а также многие слоения, возникающие в математической физике. Важность этих примеров оправдывает интерес к более точным (или “более простым”) утверждениям о разрешении особенностей, которые применимы только к этому классу слоений (см. раздел 2). C упомянутой выше точки зрения оказалось, что теорема о разрешении особенностей из [9] не вполне подходит для наших нужд, так как соответствующие “окончательные модели” недостаточно точны. Что касается теоремы о разрешении из [26], оставалось неясным поведение векторных полей – в отличие от слоений – под действием процедуры, используемой там. В сущности, нам было неизвестно, обладает ли алгоритм Панаццоло [27] некоторым конкретным свойством, и мы подняли этот вопрос в предварительной версии настоящей статьи: мы благодарны рецензенту за подтверждение того факта, что алгоритм из [27] обладает необходимым свойством. Эти вопросы будут подробно описаны в разделе 2. Во всяком случае, при изучении упомянутых работ мы пришли к выводу о необходимости завершения работы Ф. Кано, К. Роша и М. Спиваковского [9] путём построения “окончательных моделей”, аналогичных тем, что были построены в [26] (см. теорему A ниже). Прежде чем сформулировать упомянутые теоремы о разрешении, напомним стандартную терминологию. Пусть $\mathscr{F}$ – особое голоморфное слоение, заданное в окрестности начала координат в $\mathbb{C}^3$ (или, более общо, в $\mathbb{C}^n$). Собственные значения слоения $\mathscr{F}$ в нуле определяются как собственные значения линейной части в нуле векторного поля $X$, представляющего $\mathscr{F}$. Поскольку два представляющих векторных поля одного и того же слоения $\mathscr{F}$ отличаются умножением на обратимую голоморфную функцию, собственные значения слоения $\mathscr{F}$ определены лишь с точностью до умножения на константу. Далее, особая точка $p$ слоения $\mathscr{F}$ называется элементарной, если $\mathscr{F}$ имеет хотя бы одно ненулевое собственное значение в точке $p$. Аналогично, будем говорить, что $\mathscr{F}$ имеет нильпотентную особенность в точке $p$, если линейная часть в начале координат (локального) представляющего векторного поля нильпотентна, но отлична от нуля. Наконец, если линейная часть представляющего векторного поля в нуле равна нулю, то $p$ называется вырожденной особой точкой слоения $\mathscr{F}$. Теперь мы можем сформулировать теорему A. Хотя эта теорема во многих отношениях эквивалентна основному результату работы [26], соответствующие доказательства сильно отличаются. Теорема A. Пусть $\mathscr{F}$ – (одномерное) особое голоморфное слоение, заданное в окрестности точки $(0,0,0) \in \mathbb{C}^3$. Тогда существует конечная последовательность раздутий и преобразованных слоений Как подразумевается в приведённом выше утверждении, устойчиво нильпотентные особые точки – это особый тип нильпотентных особых точек, который будет подробно описан в разделе 4 (см. теорему 3). Как будет показано ниже, они также играют особую роль в теореме о разрешении особенностей из [26]. А именно, они появляются как особенности, связанные с особым классом $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$-орбифолдов, которые превращаются в элементарные особенности в результате раздутий веса 2. Также стоит отметить, что оба утверждения точны в том смысле, что, как показывают хорошо известные примеры Ф. Санчо и Ф. Санца, без раздутий веса 2 обойтись нельзя (см. разделы 2 и 4). В частности, как теорема A, так и теорема о разрешении особенностей из [26] (теорема 2) утверждают существование для слоения $\mathscr{F}$ бирациональной модели, в которой все особенности этого слоения, за исключением конечного числа, элементарны, причём эти последние также можно превратить в элементарные особенности с помощью однократного раздутия веса 2. В этом смысле различия между этими двумя теоремами связаны со способом построения соответствующих бирациональных моделей. Теорему A можно также рассматривать просто как новое доказательство теоремы о разрешении особенностей из [26]. Что касается построения упомянутых выше рациональных моделей, отметим кратко, что М. Мак-Квиллан и Д. Панаццоло работают в категории взвешенных раздутий вместе с соответствующими орбифолдами, в то время как в теореме A мы ограничиваемся использованием стандартных (т. е. неразветвлённых) раздутий. Дополнительную информацию об этих стратегиях можно найти в разделе 2. Здесь удобно ввести некоторую терминологию. В этой статье термин раздутие будет означать стандартное (т. е. однородное) раздутие. Это относится, в частности, к формулировке теоремы A. Что касается раздутий с весом (т. е. неоднородных, или разветвлённых, раздутий), которые также неизбежно участвуют в нашем обсуждении, они будут всегда явно называться взвешенными (или разветвлёнными) раздутиями. Также мы будем говорить, что (росток) слоения $\mathscr{F}$ может быть разрешён, если существует последовательность раздутий (1), приводящая к слоению $\mathscr{F}_n$, все особенности которого элементарны. Аналогично, последовательность раздутий (1) будет называться разрешением слоения $\mathscr{F}$, если все особые точки слоения $\mathscr{F}_n$ элементарны. Если же рассматривается последовательность взвешенных раздутий, приводящая к слоению, имеющему лишь элементарные особые точки, то мы будем называть её взвешенным разрешением слоения $\mathscr{F}$. В этой терминологии, хотя каждый росток слоения на $(\mathbb{C}^3,0)$ допускает взвешенное разрешение особенностей согласно результату из [26] или теореме A, упомянутые выше примеры Санчо и Санца показывают, что не все ростки слоений допускают разрешение особенностей. Подробный анализ взаимоотношений между этими понятиями, в том числе обсуждение работ [9], [26] и теоремы A, читатель найдёт в разделе 2. Теперь мы можем вернуться к нашей исходной мотивации, а именно к росткам слоений $\mathscr{F}$ на $(\mathbb{C}^3,0)$, ассоциированных с полуполными векторными полями. Поскольку понятие полуполной особенности было введено в связи с приложениями к (глобальному) изучению комплексных векторных полей [30], возник естественный вопрос, все ли слоения в этом классе допускают разрешение особенностей. Частным случаем этой проблемы, который представляет интерес при изучении действий комплексных групп Ли, является следующий вопрос: можно ли при помощи последовательности раздутий (1) преобразовать слоение, задаваемое полным голоморфным векторным полем (на некотором комплексном многообразии размерности $3$), в слоение, все особые точки которого элементарны? Чтобы сформулировать наши результаты, касающиеся этого специального класса слоений, оговорим раз и навсегда, что мы находимся в контексте полуполных векторных полей. Напомним, что особенность голоморфного векторного поля $X$ называется полуполной, если интегральные кривые поля $X$ имеют максимальную область определения в плоскости $\mathbb{C}$ (см. [30]). В частности, все особенности полного векторного поля $X$ на комплексном многообразии $M$ автоматически являются полуполными. Ответ на поставленный выше вопрос даёт следующая теорема. Теорема B. Пусть $X$ – полуполное векторное поле, заданное в окрестности нуля в $\mathbb{C}^3$, и пусть $\mathscr{F}$ – голоморфное слоение, ассоциированное с $X$. Тогда справедливо одно из следующих утверждений. Подчеркнем, что утверждение 1) теоремы B означает, что линейная часть поля $X$, будучи нильпотентной, отлична от нуля. Другими словами, если ассоциированное слоение $\mathscr{F}$ не допускает разрешения особенностей, то $X$ имеет ненулевую нильпотентную линейную часть, и это свойство является “универсальным” в том смысле, что оно не зависит от последовательности производимых раздутий. В частности, мы можем выбрать для нашего многообразия “минимальную модель”, при этом векторное поле, получаемое в результате из $X$, по-прежнему будет иметь ненулевую нильпотентную линейную часть в соответствующей точке. Более того, из теоремы 3 об “устойчиво нильпотентных особенностях” легко получить точные нормальные формы для векторного поля $X$ (см. определение 3). Также в формулировке теоремы B речь идёт о линейной части векторного поля $X$, а не о линейной части ассоциированного слоения $\mathscr{F}$. Это делает утверждение теоремы более сильным, что также подчёркивается в следствии C ниже. Следствие C. Пусть $X$ – полуполное векторное поле, заданное в окрестности точки $(0,0,0) \in \mathbb{C}^3$. Предположим, что поле $X$ имеет нулевую линейную часть в начале координат. Тогда справедливо утверждение 2) теоремы B. Более точно, теорема B утверждает, что слоения, ассоциированные с полуполными векторными полями в размерности $3$, всегда могут быть разрешены последовательностью раздутий с центром в особом множестве, за исключением очень специфического случая, когда векторное поле $X$ (и, следовательно, слоение $\mathscr{F}$) имеет некоторую “универсальную” ненулевую нильпотентную линейную часть. Как уже упоминалось, преимущество этих утверждений состоит в том, что они формулируются в терминах векторного поля, а не просто в терминах соответствующего слоения. Чтобы прояснить смысл сказанного, рассмотрим (полуполное) голоморфное векторное поле $X$, имеющее вид $X=fY$, где $Y$ – некоторое другое голоморфное векторное поле, а $f$ – голоморфная функция. В то время как поля $X$ и $Y$ индуцируют одно и то же особое слоение $\mathscr{F}$, из следствия C вытекает, что если $f$ обращается в нуль в начале координат, то слоение $\mathscr{F}$ должно быть таким, как в утверждении 2) теоремы B. Действительно, для таких $f$ и $Y$ линейная часть поля $X$ обращается в нуль в начале координат, где слоение $\mathscr{F}$ особо (если же $\mathscr{F}$ на самом деле регулярно, то и доказывать нечего). Другими словами, если поле $X=fY$ такое, как указано выше, $f(0,0,0)=0$ и $X$ полуполно, то слоение, ассоциированное с $X$, безусловно может быть разрешено, даже если у $Y$ нильпотентная особенность в нуле. Дадим также несколько дополнительных комментариев, проясняющих роль утверждения 1) в теореме B. Прежде всего отметим, что у рассматриваемых векторных полей имеются более точные нормальные формы: действительно, теорема 3 даёт точные нормальные формы всех устойчиво нильпотентных особых точек. С другой стороны, не все нильпотентные векторные поля, приводящие к появлению устойчиво нильпотентных особенностей, являются полуполными, и в этом отношении нормальная форма, обеспечиваемая теоремой 3, будет дополнительно уточнена позже (см. раздел 6). Далее, принимая во внимание глобальный характер полных векторных полей, естественно задаться вопросом, действительно ли существуют полные векторные поля, индуцирующие слоение с особыми точками, которые не допускают разрешения. Как видно из теоремы B, такие векторные поля определённо были бы весьма замечательными, поскольку у них должна быть (ненулевая) “универсальная” нильпотентная особая точка. Однако такая глобальная ситуация действительно может иметь место; чтобы увидеть это, достаточно заметить, что полиномиальное векторное поле
$$
\begin{equation*}
Z=x^2\frac{\partial}{\partial x}+xz\frac{\partial}{\partial y}+ (y-xz)\frac{\partial}{\partial z}
\end{equation*}
\notag
$$
может быть продолжено до полного векторного поля на подходящем открытом многообразии (подробности см. в разделе 6). Как будет видно, начало приведённой выше системы координат является нильпотентной особой точкой поля $Z$, которая не может быть разрешена посредством раздутий, описанных в утверждении 2) теоремы B. Тем не менее эта нильпотентная особенность может быть разрешена с помощью раздутия с центром на (инвариантной) оси $x$. Наконец, поднятый выше вопрос о существовании особенностей, описанных в утверждении 1) теоремы B, в глобальной ситуации также можно задать в гораздо более ограниченном случае голоморфных векторных полей на компактных многообразиях размерности $3$. Ввиду компактности многообразия каждое такое векторное поле автоматически является полным. В этом случае с помощью методов, использованных при доказательстве теоремы B, легко получить следующее утверждение. Следствие D. Пусть $\mathscr{F}$ – слоение, ассоциированное с векторным полем $X$, глобально определённым на некотором компактном многообразии $M$ размерности $3$. Тогда каждая особая точка слоения $\mathscr{F}$ допускает разрешение. Завершим это введение парой замечаний в связи с вопросами, заданными нам А. А. Глуцюком. По сути, его вопросы касаются построения разрешений с минимальным числом (взвешенных) раздутий и аналогичны некоторым вопросам, ранее рассматривавшимся в контексте теоремы Хиронаки. В этом отношении ясно, что при использовании взвешенных раздутий, в отличие от стандартных, возникает больше возможностей уменьшить число раздутий, необходимых для разрешения особенностей данного слоения. Примеры этого явления легко привести уже в размерности $2$ в контексте теоремы Зайденберга. В связи с этим представляется маловероятным, чтобы стратегия, использованная при доказательстве теоремы A, в общем случае минимизировала число раздутий, необходимых для разрешения данного слоения. При этом мы, однако, обходим вопрос о том, обладает ли алгоритм Панаццоло [27] минимизирующими свойствами в предыдущем смысле. Имеется также аналогичный вопрос о минимизации количества взвешенных раздутий, необходимых для разрешения особенностей. (Этот вопрос непосредственно мотивирован тем фактом, что в размерности $2$ стандартных раздутий достаточно для разрешения особенностей любого слоения.) Здесь теорема A, по-видимому, даёт удовлетворительный ответ, по крайней мере для слоений общего положения. Попробуем наметить рассуждение, обосновывающее это утверждение. Как следует из теоремы 3, устойчиво нильпотентные особые точки естественным образом связаны с некоторыми формальными сепаратрисами (т. е. формальными инвариантными кривыми), обладающими специальными свойствами. “Положение” таких особых точек в исключительном дивизоре, полученном после конечного числа раздутий, определяется соответствующими формальными сепаратрисами. В частности, находятся ли эти особенности в “общем положении” – это внутреннее свойство данного ростка, не зависящее от используемой последовательности (стандартных) раздутий. И, по крайней мере в ситуации, когда эти особенности находятся в “общем положении” для слоения $\mathscr{F}$, теорема A должна минимизировать количество взвешенных раздутий, необходимых для превращения $\mathscr{F}$ в слоение с элементарными особыми точками. Действительно, для превращения каждой из таких особенностей в элементарную требуется по крайней мере одно взвешенное раздутие, и каждое такое раздутие может нетривиальным образом повлиять только на одну из этих особенностей в силу предположения об “общем положении”. Таким образом, необходимое количество взвешенных раздутий не может быть меньше, чем количество устойчиво нильпотентных особенностей, что соответствует процедуре из теоремы A. Здесь мы, однако, обходим вопрос о том, действительно ли предположение об “общем положении” необходимо для этого утверждения. Заметим, что если существует слоение $\mathscr{F}$, которое может быть разрешено с помощью меньшего числа взвешенных раздутий, чем предписывается теоремой A, то $\mathscr{F}$ должно содержать по крайней мере две устойчиво нильпотентные особенности, настолько “близкие” друг к другу, что обе они могут быть превращены в элементарные особые точки одним взвешенным раздутием. Наконец, отметим, что всестороннее обсуждение взаимосвязей между нашими результатами и результатами работ [9] и [26] дано в следующем разделе вместе с кратким описанием наших методов и структуры данной статьи. 2. Обзор литературыКак уже отмечалось, прототипом любой теоремы о разрешении особенностей для (одномерных) голоморфных слоений является теорема Зайденберга для слоений на комплексных поверхностях. В связи с этим естественно начать этот раздел с более подробного описания теоремы Зайденберга для слоений на $(\mathbb{C}^2,0)$ (см. [33], [2] или [21]). Обозначим через $\mathscr{F}$ особое голоморфное слоение, заданное в окрестности точки $(0,0) \in \mathbb{C}^2$. Поскольку слоение определено на комплексном двумерном многообразии, все раздутия непременно производятся в точках. Теорема Зайденберга представляет собой простой алгоритм преобразования слоения $\mathscr{F}$ в слоение, все особые точки которого элементарны. Процедуру алгоритма Зайденберга можно резюмировать следующим образом. Рассмотрим (непременно изолированную) особую точку слоения $\mathscr{F}$ в $(0,0)\in \mathbb{C}^2$. Если $(0,0)$ – элементарная особая точка, то процедура тривиальна. В противном случае мы раздуваем $\mathscr{F}$ в точке $(0,0)$ и получаем новое слоение $\widetilde{\mathscr{F}}_{(1)}$, особые точки которого обозначим через $p_{(1),1},\dots,p_{(1),k}$. Если все особые точки $p_{(1),1},\dots,p_{(1),k}$ элементарны для $\widetilde{\mathscr{F}}_{(1)}$, то процедура на этом заканчивается. В противном случае мы продолжаем, раздувая каждую неэлементарную особую точку слоения $\widetilde{\mathscr{F}}_{(1)}$. Обозначим через $\widetilde{\mathscr{F}}_{(2)}$ слоение, возникающее в результате этих раздутий, и пусть $p_{(2),1},\dots,p_{(2),k}$ – его особые точки. Процедура останавливается в $\widetilde{\mathscr{F}}_{(2)}$, если все особые точки $p_{(2),1},\dots,p_{(2),k}$ элементарны. Если же нет, то процедура индуктивно продолжается. Теорема Зайденберга утверждает, что эта процедура конечна. Другими словами, мы в итоге получаем слоение, все особые точки которого элементарны. Основополагающая статья [25] Ж.-Ф. Маттеи и Р. Муссю была, вероятно, первой работой, в которой было вполне осознано, насколько эффективным инструментом является теорема Зайденберга для изучения слоений на комплексных поверхностях. В этой работе был разработан систематический подход к изучению особых точек. Этот подход впоследствии привёл к нескольким замечательным результатам (см., например, [6] и [5]). Успех этих и других работ в некотором смысле сделал “популярной” несколько сокращённую версию теоремы Зайденберга, утверждающую, что для любого слоения $\mathscr{F}$ на $(\mathbb{C}^2,0)$ существует бирациональная модель, в которой преобразованное слоение имеет лишь элементарные особые точки. Мы называем это утверждение сокращённой формой теоремы Зайденберга, так как оно сфокусировано на существовании бирациональной модели и не отслеживает метод построения этой модели. При этом оказывается, что помимо слоений существует множество задач, в которых основной интерес представляет голоморфное векторное поле. Вот некоторые примеры таких задач:
Легко проверить, что – в полной общности – голоморфное векторное поле остаётся голоморфным после (стандартного) раздутия при условии, что центр раздутия инвариантен относительно данного векторного поля. Ввиду этого замечания, применение теоремы Зайденберга к векторным полям состоит из следующих двух шагов. Применив сначала эту теорему к слоению, ассоциированному с векторным полем, получим другое слоение, имеющее лишь элементарные особые точки. Соответствующее векторное поле $\widetilde{X}$ при этом имеет локальный вид $X=fY $, где $Y$ – голоморфное векторное поле, линейная часть которого в особой точке имеет хотя бы одно ненулевое собственное значение. Здесь $f$ является голоморфной функцией, дивизор нулей которой легко вычисляется. В упомянутой (локальной) природе функции $f$ закодирована точная конструкция, обеспечиваемая теоремой Зайденберга, а именно: каждое раздутие, производимое в ходе конструкции, имеет центр в особой точке ассоциированного слоения. В частности, центр каждого раздутия инвариантен относительно рассматриваемого векторного поля. Отсюда следует, что преобразованное векторное поле сохраняет свой голоморфный характер и, хотя его дивизор нулей, вообще говоря, непуст (даже когда исходное векторное поле имеет лишь изолированные особые точки), этот дивизор может быть легко вычислен. Также обратим внимание на то, что многие аспекты приведённых выше задач (a) и (b) активно изучаются в размерности 3. В этом отношении разумно ожидать, что теорема B может сыграть роль в исследованиях, связанных с задачей (a). Что касается задачи (b), того же можно ожидать либо от теоремы Мак-Квиллана–Панаццоло о разрешении особенностей [26] (см. теорему 2 ниже), либо от нашей теоремы A. Далее уместно сказать ещё несколько слов о важности полуполных векторных полей. Их определение и основные свойства читатель найдёт в разделе 5. Пока же достаточно отметить следующее. (i) Росток, задаваемый полным векторным полем в любой из его особых точек, автоматически принадлежит к классу полуполных векторных полей. Таким образом, теорема B охватывает все полные векторные поля (на трёхмерном объемлющем многообразии) и, в частности, все голоморфные векторные поля, определённые на трёхмерных компактных комплексных многообразиях. Поэтому теорема B особенно подходит для изучения действий комплексных групп Ли на комплексных многообразиях. (ii) В другом направлении, в связи с теорией Неванлинны в комплексном анализе активно изучаются дифференциальные уравнения, имеющие мероморфные решения (дополнительную информацию и ссылки см. в [14]). Оказывается, что каждое уравнение или система уравнений, имеющие мероморфные решения, автоматически являются полуполными. (iii) В математической физике имеется огромное количество литературы, посвящённой специальным уравнениям (или системам уравнений), обладающим так называемым свойством Пенлеве (см., например, [11]). Понятие полуполноты является в некотором смысле родственным свойству Пенлеве, поэтому многие примеры систем уравнений, которые являются естественно полуполными, возникают в контексте математической физики и специальных уравнений. К ним относятся уравнения Пенлеве P-I, P-II, P-IV, а также “модифицированные” уравнения P-III и P-V. Аналогично, многие уравнения Шази являются естественным образом полуполными [17], и то же замечание относится к системам Гарнье. Также являются полуполными наиболее интересные примеры векторных полей Альфена в смысле [16] (в частности, векторное поле Альфена из [3]) и векторное поле, связанное с функциями Рамануджана $P$, $Q$ и $R$ (ряды Эйзенштейна веса 2, 4 и 6; см. [24]). Теперь, после того как мы подробно рассмотрели теорему Зайденберга, а также напомнили, чем интересны полуполные векторные поля, мы можем перейти к теоремам о разрешении особенностей слоений в размерности 3. Данное обсуждение также поможет представить наши теоремы A и B в правильной перспективе по сравнению с предыдущими работами. 2.1. Краткий хронологический обзор предыдущих результатовНа самом базовом уровне любая попытка обобщения теоремы Зайденберга на размерность 3 подразумевает, что мы должны определиться – интересуют нас слоения размерности 1 или же слоения коразмерности 1 (т. е. размерности 2). В то время как для слоений коразмерности 1 на трёхмерных многообразиях имеется ответ, который вряд ли можно улучшить (см. [7]), история со слоениями размерности 1 длиннее и труднее. Если не указано противное, в дальнейшем термин слоение всегда означает особое голоморфное слоение размерности 1. Первые результаты о разрешении слоений на $(\mathbb{C}^3,0)$ были получены в работе [10], где автор доказал свою теорему о формальном локальном разрешении. А именно, в [10] доказано существование выигрышной стратегии для (формальной) игры Хиронаки. Среди прочего, в этой работе впервые описано явление, связанное с особенностями, имеющими некоторую формальную сепаратрису (формальную кривую, инвариантную относительно слоения), которое представляет серьёзную трудность при разрешении с помощью стандартных раздутий. Здесь мы напоминаем читателю, что в дальнейшем термин раздутие всегда означает стандартное раздутие, в отличие от взвешенных раздутий. Опираясь на работу [10], Санчо и Санц смогли построить первые примеры слоений, которые не могут быть разрешены посредством раздутий с инвариантными центрами. Их примеры строились на нильпотентных особых точках и кратко упоминаются в разделе 4; подробности можно найти в [27] и [8]. Естественно, что примеры, которые привели Санчо и Санц, могут также появиться после нескольких раздутий, так что они действительно дают многочисленные примеры слоений, которые не могут быть разрешены с помощью стандартных раздутий. В качестве дополнительного простого примера мы можем взять семейство слоений $\mathscr{F}_{\alpha,\beta,\lambda}$, ассоциированных с векторными полями
$$
\begin{equation*}
x\bigl(y-\lambda x+(1-\beta)xz\bigr)\frac{\partial}{\partial x}+ \bigl(y^2-\lambda xy+xz^3-(\alpha+\beta)xyz\bigr)\frac{\partial}{\partial y}+ z(y-\lambda x-\beta xz)\frac{\partial}{\partial z}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Все слоения этого семейства имеют вырожденную (фактически квадратичную) особенность в нуле. Таким образом, ни одно из них не принадлежит семейству Санчо–Санца, поскольку в последних линейная часть ненулевая. Однако в слоении $\widetilde{\mathscr{F}}_{\alpha,\beta,\lambda}$, полученном в результате раздутия начала координат, обнаруживается (нильпотентная) особенность, принадлежащая семейству примеров Санчо и Санца: эта особенность лежит в начале координат системы $(u,v,z)$, где $x=uz$ и $y=vz$. Поэтому слоения из семейства $\mathscr{F}_{\alpha,\beta,\lambda}$ не могут быть разрешены стандартными раздутиями. Замечательная особенность нашей теоремы B состоит в том, что ни одна из этих конструкций не порождает особенность, ассоциированную с полуполным векторным полем. В частности, ни одна из них не реализуется в контексте полных голоморфных векторных полей на многообразиях размерности 3 (не обязательно компактных). Теорема B, таким образом, указывает на действительно новое явление в рассматриваемой области. В свете примеров Санчо и Санца следующий общий вопрос быстро заинтересовал специалистов: верно ли, что каждое слоение $\mathscr{F}$, не допускающее разрешения с помощью раздутий, может быть преобразовано в слоение с особой точкой типа Санчо–Санца? Также не остался незамеченным вопрос о том, возникают ли эти особенности в контексте полных векторных полей. Ясно, что теорема о разрешении Мак-Квиллана–Панаццоло [26] (см. теорему 2 ниже) даёт ответ на первый вопрос, а наша теорема B отвечает на второй. Ответ на второй вопрос, который даёт теорема B, в сущности является наилучшим из возможных, как показывают примеры в разделе 6. Насколько нам известно, в литературе до сих пор не было результатов, указывающих на различия между проблемой разрешения для общих слоений и для особого класса слоений, охватываемых теоремой B. С другой стороны, что касается поставленных выше вопросов, все упомянутые результаты требуют некоторого обобщения понятия особой точки Санчо–Санца. Это обобщение появляется в работе [26] в виде особенностей, “внутренне связанных” с орбифолдами типа $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$. В настоящей статье они называются устойчиво нильпотентными особыми точками (см. раздел 4) и характеризуются теоремой 3. Естественно, теорема A также даёт ответ на первый вопрос, упомянутый выше. При этом подход, используемый для доказательства теоремы A, оказывается таким, что ответ на поставленный выше вопрос “почти эквивалентен” самой теореме A. Чтобы пояснить сказанное, уместно явно сформулировать утверждение в виде теоремы 1 ниже. Это также естественно вписывается в структуру нашего обсуждения. Хотя, строго говоря, теорема 1 является частным случаем теоремы A, эти два утверждения фактически эквивалентны благодаря работе О. Пильтана [28]. Большая часть нашего обсуждения общих слоений будет сосредоточена вокруг доказательства теоремы 1. После того как эта теорема будет доказана, (аксиоматическая) теорема Пильтана позволит нам доказать и теорему A, дословно повторяя рассуждение, уже проведённое в [9]. Теорема 1. Предположим, что слоение $\mathscr{F}$ не разрешается конечной последовательностью стандартных раздутий с центрами в особых множествах. Тогда существует последовательность одноточечных раздутий (с центрами в особых точках), приводящая к слоению $\mathscr{F}'$ с особой точкой $p$, вблизи которой $\mathscr{F}$ задаётся векторным полем вида для некоторого $n \geqslant 2$ и голоморфных функций $f$, $g$ с порядками нулей не менее 1, причём $\dfrac{\partial g}{\partial x}(0,0,0) \ne 0$. Более того, Теперь мы можем вернуться к нашему хронологическому обзору литературы. После примеров Санчо и Санца следующий по-настоящему важный результат в этой области принадлежит Д. Панаццоло [27]. В работе [27] им рассмотрены особенности вещественных слоений (вещественной) размерности 3. Он работал с вещественными, а не комплексными слоениями в связи с тем, что его первоначальной мотивацией была проблема Гильберта о числе предельных циклов полиномиального векторного поля на $\mathbb{R}^2$. Панаццоло показал, что соответствующий росток слоения всегда можно превратить в слоение, все особые точки которого элементарны, с помощью конечной последовательности взвешенных раздутий с центрами в особых множествах. Доказательство этого факта весьма сложно и в конечном итоге опирается на конструкцию, которая особому слоению ставит в соответствие набор из шести элементов вместе с отношением порядка на полученном семействе (возможных) наборов. Теорема Панаццоло следует из того, что в смысле этого порядка наборы всегда строго убывают при подходящих взвешенных раздутиях. Алгоритм Панаццоло выбора взвешенного раздутия в каждой конкретной ситуации, в свою очередь, основан на диаграмме Ньютона особой точки. Отметим также, что этот алгоритм хорошо приспособлен к преобразованиям векторных полей, а не только слоений, в том смысле, что в первом случае надо также отслеживать дивизоры нулей и полюсов. Мы вернемся к этому вопросу позже в этом разделе. Позднее Мак-Квиллан и Панаццоло распространили результат Панаццоло из [27] на комплексный случай в [26]. Более детальное обсуждение этой работы будет проведено в п. 2.2 ниже. Несколько лет спустя к теме разрешения особенностей слоений на $(\mathbb{C}^3,0)$ обратились Кано, Рош и Спиваковский в работе [9]. Мы завершим настоящий пункт кратким обсуждением этой работы, поскольку наше доказательство теоремы A основано на их подходе. С самого начала авторы [9] используют общий подход к разрешению особенностей, принадлежащий О. Зарискому, и этим их статья сильно отличается от [26]. С точки зрения подхода Зариского важнейшую роль в работе [9] играет понятие нормирования, и задача разрешения особенностей делится на две части. А именно, имеется локальная задача разрешения, которая состоит в “упрощении” особенностей слоения – не обязательно всех, а только тех, которые лежат в центре данного нормирования (отождествляемого с его преобразованиями, или продолжениями, полученными в результате раздутий). Результаты о разрешении особенностей, лежащих в центре некоторого нормирования, часто называют теоремами локальной униформизации. После того как подходящий результат локальной униформизации получен, вторая часть задачи разрешения заключается в его “глобализации”. Другими словами, как только будет доказано, что для любого нормирования $\nu$ особенности, лежащие в его центре, могут быть упрощены (в некотором подходящем смысле), мы пытаемся сделать вывод, что на самом деле все особенности слоения можно упростить в том же смысле. В данном случае имеется аксиоматическая теорема о склейке, принадлежащая О. Пильтану [28], которая даёт весьма удовлетворительное общее решение “задачи глобализации”. В принципе, как отмечено в [9], любое решение “локальной задачи”, полученное достаточно естественным образом, может с помощью этой техники быть превращено в глобальный результат. Вследствие результата Пильтана основная трудность проблемы разрешения заключается в её локальной версии, а именно в получении подходящей локальной теоремы униформизации. Первый основной результат работы [9] (см. [9; теорема 1]), утверждает, что особенности в центре нормирования всегда можно упрощать до тех пор, пока они не станут лог-элементарными. Точное определение лог-элементарных особенностей можно найти в [9]; для наших целей достаточно знать, что они в худшем случае являются квадратичными в том смысле, что они локально представляются векторным полем с ненулевой второй струёй. Эта теорема 1 затем превращается в глобальный результат – теорему 2 из [9] – при помощи теоремы Пильтана. В итоге теорема 2 в [9] устанавливает существование для исходного слоения бирациональной модели, в которой особые точки в худшем случае лог-элементарны. В отличие от подхода из [26], при построении рассматриваемой бирациональной модели используются только стандартные раздутия. Тем не менее очевидный недостаток заключается в том, что иметь дело с лог-элементарными особыми точками всё ещё значительно труднее, чем с элементарными. Помимо теорем 1 и 2 статья [9] содержит ещё несколько технических результатов, дающих дополнительные нетривиальные соображения для понимания особенностей, которые не могут быть разрешены с помощью стандартных раздутий. Наряду с некоторыми базовыми наблюдениями о нормированиях, которые могут создавать препятствия к локальной униформизации, теорема 3 из [9] даёт своего рода “слабую характеризацию” слоений, которые не могут быть разрешены (стандартными раздутиями, что всегда подразумевается, если не указано противное). Пусть $\mathscr{F}$ – одно из таких слоений; тогда теорема 3 из [9] утверждает существование нормирования $\nu$ и формальной поверхности $\widehat{W}$, имеющей трансверсально-максимальный контакт с $\nu$ (см. [9] или наш раздел 7). Обратим внимание, что условие о трансверсально-максимальном контакте можно интерпретировать геометрически, говоря, что для каждой последовательности раздутий преобразованная поверхность $\widehat{W}$ будет всегда проходить через центр нормирования $\nu$. Результаты работы [9], которые вкратце описаны выше, войдут в доказательство нашей теоремы A. Помимо результатов, установленных в [9], для доказательства теоремы A потребуются только элементарные методы из теории слоений и особенностей. В самом деле, существует другая характеризация слоений, не допускающих разрешения особенностей, более точная, чем теорема 3. Эта характеризация содержится в предложении 4, о котором несколько лет назад нам сообщил Ф. Кано. Грубо говоря, если слоение $\mathscr{F}$ не допускает разрешения особенностей, то оно должно допускать формальную сепаратрису, порождающую последовательность бесконечно близких особых точек (которые, в свою очередь, не могут быть разрешены; см. терминологию в разделе 3). Мы полагаем, что предложение 4 следует связать с именем Ф. Кано, хотя доказательство этого результата нельзя найти в литературе. По этой причине в нашу статью включено доказательство этого предложения, основанное на теореме 3 из [9]. Доказательство, приведённое в разделе 7, можно считать оригинальным в том смысле, что оно может отличаться от исходного рассуждения, которое имел в виду Ф. Кано. У нас доказательство предложения 4 разбивается на два случая в зависимости от того, инвариантна ли формальная поверхность относительно изучаемого слоения. Это в известной степени позволяет нам ограничиться элементарными рассуждениями, пользуясь результатами, известными в двумерном случае. После доказательства предложения 4 оставшаяся часть доказательства теоремы 1 становится вполне элементарной и основана на явных вычислениях. 2.2. О работе Мак-Квиллана и Панаццоло [26]В этом пункте мы подробно изложим результат о разрешении особенностей, доказанный в работе [26] и объяснённый нам Д. Панаццоло. Мы также сравним конструкцию из [26] с конструкцией, приведённой в настоящей статье. Наконец, отметим, что обсуждение в этом пункте сосредоточено на теоремах о разрешении особенностей общих слоений; комментарии относительно других идей, необходимых для теоремы B, отложены до п. 2.3. Начнём с некоторых простых замечаний о взвешенных раздутиях комплексных многообразий размерности 3 и преобразованиях слоений. В отличие от стандартных раздутий, которые сохраняют гладкость пространства, использование взвешенных раздутий приводит к пространствам, имеющим особые точки орбифолдного типа. Таким образом, происходит потеря регулярности, но это не очень большая проблема, поскольку с особыми точками орбифолдного типа довольно легко иметь дело. Разрешив наличие таких особых точек, мы получаем, что результатом (взвешенного) раздутия является пространство, по-прежнему бирационально эквивалентное исходному. В частности, преобразуя слоения взвешенными раздутиями, мы получаем для них новые бирациональные модели. Сказанное в последнем предложении несколько отличается от того, что происходит в случае векторных полей, и это заслуживает отдельного комментария. Рассмотрим (стандартное) раздутие $\widetilde{X}$ голоморфного векторного поля $X$. Легко проверить, что векторное поле $\widetilde{X}$ остаётся голоморфным при условии, что центр раздутия инвариантен относительно $X$. В частности, это условие выполняется, если центры раздутий находятся на особом множестве ассоциированного слоения. Однако это утверждение неприменимо к общим взвешенным раздутиям, как показано в следующем примере. Пример 1. Рассмотрим голоморфное векторное поле где $F(x,y,z)=y$, а функции $G$ и $H$ таковы, что ось $z$, задаваемая уравнениями $\{x=y=0\}$, лежит в особом множестве поля $X$. Пусть $(x,t,z)$ – координаты взвешенного раздутия (веса 2) с центром на оси $z$, для которого отображение проекции $\Pi$ задаётся формулой Непосредственная проверка показывает, что соответствующее преобразованное векторное поле $\Pi^{\ast}X$ имеет вид Ясно, что функции $F(x^2,tx,z)/(2x)$ и $G(x^2,tx,z)/x$ являются голоморфными, но функция $t F(x^2,tx,z)/(2x^2)$ является лишь мероморфной. Поэтому поле $\Pi^{\ast}X$ мероморфно с полюсами на исключительном дивизоре. На самом деле условие сохранения голоморфности векторным полем $X$ под действием указанного выше раздутия можно объяснить следующим образом. Для $\lambda \in \mathbb{C}^{\ast}=\mathbb{C}\setminus\{0\}$ рассмотрим семейство отображений $T_{\lambda}\colon \mathbb{C}^{3} \to \mathbb{C}^3$, заданное равенством Обозначим прообраз векторного поля $X$ через $T_{\lambda}^{\ast}X$. Тогда раздутие векторного поля $X$ голоморфно, если $T_{\lambda}^{\ast}X$ сходятся к голоморфному векторному полю при $\lambda \to 0$. Читателю не составит труда разобраться в общем случае или сформулировать эквивалентные условия.После приведённого выше краткого введения мы готовы перейти к обсуждению содержания работы [26]. По сути, эта статья состоит из двух частей, первая из которых в значительной степени основана на предшествующей работе Панаццоло [27]. Напомним, что в [27] даётся разрешение особенностей (вещественно-аналитических слоений на $(\mathbb{R}^3,0)$) с помощью последовательностей взвешенных раздутий. В первой части работы [26] показано, что алгоритм из [27] может столь же успешно применяться и в общем случае голоморфных слоений на $(\mathbb{C}^3,0)$. Как объяснялось выше, в результате возникает бирациональная модель рассматриваемого слоения на пространстве с особыми точками орбифолдного типа. Кроме того, естественным образом определяются элементарные особые точки (сингулярного) слоения $\mathscr{F}$, заданного на этом пространстве. А именно, особая точка слоения $\mathscr{F}$ называется элементарной, если слоение представлено векторным полем с элементарными особыми точками в орбифолдных координатах в этом пространстве. Этот результат подводит итог первой части работы [26]. Во второй части работы [26] авторы рассматривают проблему разрешения особых точек объемлющего пространства, сохраняя при этом особые точки слоения элементарными. Затем они показывают, что такое разрешение всегда существует, за исключением случаев, когда особая точка соответствует $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$-орбифолду. Таким образом, по крайней мере в том, что касается слоений, им удается получить бирациональную модель, имеющую лишь особые точки $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} $-орбифолдного типа, в которой все особые точки рассматриваемого слоения элементарны. Поскольку теоремы о разрешении особенностей представляют интерес также и при изучении особых точек векторных полей, а не только слоений, естественно спросить, как описанная выше процедура влияет на дивизор нулей и полюсов векторного поля. Этот момент действительно легко упустить при обращении к [26], поскольку он очень сильно зависит от особенностей алгоритма разрешения из [27], и мы благодарны рецензенту за разъяснение этого вопроса. Оказывается, что центры каждого взвешенного раздутия, использованного как в работе [27]. так и в первой части работы [26], обладают свойством так называемой строгой инвариантности относительно квазиоднородной фильтрации (см. терминологию в [27]). Это означает, что прообразы векторных полей остаются голоморфными. Объединив все эти соображения, мы можем сформулировать теорему о разрешении особенностей из [26] следующим образом. Теорема 2 [26]. Пусть $\mathscr{F}$ – особое голоморфное слоение на $(\mathbb{C}^3,0)$. Тогда существует последовательность взвешенных раздутий Следовательно, основное различие между теоремой 2 и теоремой A заключается в том, что Мак-Квиллан и Панаццоло работали в категории взвешенных раздутий, в то время как мы, насколько это возможно, придерживаемся стандартных раздутий. В конкретных приложениях выбор одного из этих двух утверждений будет, вероятно, делом личного вкуса. Например, можно обоснованно утверждать, что нет фундаментальной причины предпочитать стандартные раздутия взвешенным, так что использование взвешенных раздутий может позволить построить разрешение особенностей за меньшее число шагов. С другой стороны, в приложениях теоремы Зайденберга количество использованных раздутий не имеет значения, в то время как наличие по существу одного типа раздутия может несколько облегчить получение различных формул для индекса. Между этими двумя теоремами есть ещё пара различий, на которые, по нашему мнению, стоит обратить внимание читателя. Во-первых, статья Панаццоло [27] и, следовательно, статья [26] действительно предоставляют алгоритм для получения модели разрешения особенностей данного слоения. Наша же теорема A по сути не алгоритмическая, так как она содержит рассуждения от противного, где к противоречию приводит предположение об отсутствии последовательности раздутий с некоторыми требуемыми свойствами. Другое отличие состоит в том, что наша теорема A отвечает на вопрос о том, насколько близко можно подойти к слоению с элементарными особыми точками, используя лишь стандартные раздутия, что может представлять естественный интерес для специалистов, работающих со слоениями и дифференциальными уравнениями. Тем не менее ясно, что эти различия между теоремой 2 и теоремой A со многих точек зрения незначительны. Они лишь подчёркивают, что выбор одной или другой версии будет зависеть от вкуса или опыта конкретного автора. Однако, вероятно, все согласятся с тем, что новое доказательство важного результата, как, например, здесь, всегда представляет интерес и способствует общему пониманию рассматриваемой проблемы. 2.3. Структура статьи и доказательств теорем A и BВ завершение настоящего раздела мы подробно остановимся на структуре статьи и взаимосвязях между её разделами. Начнём с напоминания о том, что слоение $\mathscr{F}$ допускает разрешение особенностей, или разрешимо, если существует конечная последовательность раздутий (с центром в особых множествах), приводящая к слоению, все особые точки которого элементарны. Напомним также, что термин раздутие всегда означает стандартное раздутие. В частности, всякий раз, когда используются веса, мы подчёркиваем это, используя термин взвешенные раздутия. Как уже указывалось, первоначальной мотивацией данной статьи было доказательство теоремы B. Идея доказать эту теорему была основана на комментарии Ф. Кано, относящемся к предложению 4. Схема предполагаемого доказательства была следующей. Пусть $\mathscr{F}$ – слоение, касающееся полуполного векторного поля $X$; рассуждая от противного, предположим, что $\mathscr{F}$ не допускает разрешения. В силу предложения 4 слоение $\mathscr{F}$ должно иметь формальную сепаратрису $S$. Если бы эта сепаратриса была сходящейся, то мы могли бы ограничить поле $X$ на $S$ и попытаться использовать некоторые базовые свойства полуполных векторных полей, как в [30], при условии, что ограничение $X$ на $S$ не равно нулю тождественно. Однако наличие лишь формальной сепаратрисы не позволяет нам придать смысл ограничению поля $X$ на $S$ (хотя, как будет показано ниже, оно по существу исключает неудобную для нас ситуацию, когда ограничение $X$ на $S$ тождественно равно нулю). Чтобы исправить формальный характер сепаратрисы $S$, естественно рассмотреть результаты о “секторальной нормализации” для слоения $\mathscr{F}$, дающие асимптотические оценки для его интегральных кривых в пределах подходящим образом выбранных секторов. Чтобы такой подход был эффективным, необходим некоторый контроль над “углами раствора” упомянутых секторов. Другими словами, необходимо доказать, что рассматриваемый сектор является “достаточно большим” в некотором подходящем смысле. Если считать предложение 4 уже доказанным, то основная трудность в реализации приведённой выше схемы доказательства состоит, очевидно, в получении подходящей секторальной нормализации для слоения $\mathscr{F}$. Фактически теорема Рамиса–Сибуи [29] даёт весьма общий результат о существовании секторальных нормализаций для формальных сепаратрис. Тем не менее на этом уровне общности практически невозможно оценить “угол”, в пределах которого интегральные кривые удовлетворяют ожидаемым асимптотическим условиям. Естественной альтернативой стали классические результаты А. Й. Мальмквиста: в них присутствуют подходящие оценки для “угла”, но в них требуется, чтобы слоение $\mathscr{F}$ имело весьма простой вид (см. [22], [23]). Предположения, накладываемые в теореме Мальмквиста [23], непосредственно привели нас к рассмотрению процедур разрешения особенностей для $\mathscr{F}$, а именно результатов работ [26] и [9]. Препятствие к применению [9] было очевидным: “окончательные модели” там всё ещё “недостаточно просты”, чтобы удовлетворять условиям теоремы Мальмквиста. Что касается возможности использования теоремы Мак-Квиллана–Панаццоло (теорема 2), здесь мы столкнулись с двумя трудностями. Меньшая из них была связана с $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$-орбифолдными особенностями, которые нельзя превратить в элементарные без использования раздутий веса 2. Характеризация этих слоений в [26] является инвариантной, в то время как использование теоремы Мальмквиста и последующее получение “количественной” информации требует несколько более явных нормальных форм. Конечно, вывод нормальных форм этих особенностей на основе характеризации из [26] довольно прост, так что он не был нашей основной трудностью. Также отметим, что соответствующий материал “неявно” включён в настоящую статью (см. разделы 3 и 4). Более серьёзной трудностью для нас было исследование поведения дивизора нулей векторного поля под действием последовательности взвешенных раздутий, приведённой в [26]. По сути, в тот момент у нас не было уверенности в сведениях, изложенных в первом пункте формулировки теоремы 2. Эта трудность опять возникла из нашей стратегии доказательства теоремы B. Точнее говоря, если использовать изложенные выше соображения об элементарных особенностях ассоциированного слоения, то теорема Мальмквиста становится эффективной. А именно, она даёт подходящие асимптотические разложения в “угле”, раствор которого напрямую связан с порядком нуля ограничения локального представителя слоения $\mathscr{F}'$ на $S'$ (т. е. на сепаратрису, получаемую в результате преобразования из $S$). Однако по самой природе полуполных векторных полей, чтобы возникло желаемое противоречие, у поля $X'$ должен быть непустой дивизор нулей (и пустой дивизор полюсов), трансверсальный к $S'$. Это объясняет наши первоначальные сомнения относительно использования взвешенных раздутий. Изложенные выше соображения убедили нас в том, что было бы неплохо “завершить” работу Кано, Роша и Спиваковского [9] и получить теорему о разрешении особенностей на основе классического подхода Зариского. Кроме того, теорема 3 из [9] уже давала характеризацию слоений, которые не допускают разрешения особенностей. Хотя эта характеризация и была несколько “грубой”, она выглядела многообещающе с точки зрения возможности доказать предложение 4. Оставшаяся часть статьи посвящена реализации описанной выше стратегии. Раздел 3 весьма элементарен; в нём обсуждается влияние раздутий на последовательность особых точек, задаваемую формальной сепаратрисой и её преобразованиями. Основная идея состоит в том, чтобы рассмотреть кратность слоения вдоль рассматриваемой сепаратрисы и изучить, как эта кратность изменяется при последовательных раздутиях. В то время как кратность слоения вдоль сепаратрисы является основным примером нормирования, обсуждение в этом разделе не требует общих результатов о нормированиях, а основано лишь на базовых сведениях о раздутиях. В разделе 4, в частности, вводится понятие устойчиво нильпотентной особенности. Основной результат раздела 4 – это характеризация устойчиво нильпотентных особенностей, а именно теорема 3. Читатель не преминет заметить, что наши “устойчиво нильпотентные особенности” соответствуют особенностям, ассоциированным с особыми точками $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$-орбифолдного типа из работы [26]. Более того, нормальная форма, обеспечиваемая теоремой 3, эквивалентна инвариантной характеризации $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$-орбифолдных особенностей, полученной в [26]. В разделе 4 мы также формулируем предложение 4 в элементарных терминах, т. е. избегая использования нормирований. Завершает этот раздел доказательство теоремы 1 путём объединения общих соображений из раздела 3 с теоремой 3 и предложением 4 (которое на тот момент принимается на веру). Весь этот материал элементарен и требует лишь некоторого знакомства с (особыми) голоморфными слоениями на уровне первых глав книги [21]. Отметим, что читатели, знакомые с нормированиями и теоремой Пильтана [28], вероятно, смогут легко вывести теорему A из теоремы 1. Раздел 5 посвящён доказательству теоремы B. Это доказательство имеет четыре основные составляющие. Помимо теорем 1 и 3 оно использует также теорему Мальмквиста об асимптотическом разложении решений некоторых систем уравнений [23] и, конечно же, требует некоторой подготовительной работы, связанной с понятием полуполной особенности. За исключением одного более конкретного результата по полуполным векторным полям, который подробно обсуждается в работе [18], все необходимые сведения о полуполных векторных полях имеются в [30]; мы напоминаем их в начале раздела 5, чтобы сделать наше изложение более самодостаточным. Этот раздел требует значительно больше предварительных сведений, чем предыдущие, хотя обсуждение всё ещё в основном доступно читателям, знакомым с содержанием монографии [21] и обзора [2]. За разделом 5 следует раздел 6, который содержит примеры, иллюстрирующие природу большинства наших результатов, а также некоторые дополнительные ограничения на полуполные устойчиво нильпотентные особенности, возникающие из голономии (формальных) сепаратрис. В частности, в этом разделе показано, как продолжить векторное поле
$$
\begin{equation*}
Z=x^2\frac{\partial}{\partial x}+xz\frac{\partial}{\partial y}+ (y-xz)\frac{\partial}{\partial z}
\end{equation*}
\notag
$$
до полного векторного поля на подходящем открытом комплексном многообразии размерности $3$. Мы также приводим явные примеры устойчиво нильпотентных особых точек, из которых ни одно из векторных полей Санчо–Санца нельзя получить с помощью последовательных раздутий (т. е. эти примеры не допускают “дальнейшего упрощения”). Наконец, почти весь раздел 7 посвящён доказательству предложения 4. Этот раздел требует знакомства с техникой разрешения особенностей, основанной на нормированиях, включая подход Зариского к проблеме разрешения. Говоря более конкретно, этот раздел требует хорошего знания материала, содержащегося в [9]. Доказательство предложения 4 завершает доказательство нашей теоремы 1. В свою очередь, на этом этапе теорема A становится практически комбинацией теоремы 1 с теоремой Пильтана о склейке [28]. 3. Кратность слоения вдоль сепаратрисыЗа необходимыми общими сведениями об обсуждаемых ниже понятиях читатель может обратиться к обзору [2] и книге [21]. Рассмотрим особое голоморфное слоение $\mathscr{F}$ размерности $1$, заданное в окрестности начала координат в $\mathbb{C}^3$. По определению $\mathscr{F}$ задаётся локальными орбитами голоморфного векторного поля $X$, особое множество $\operatorname{Sing}(X)$ которого имеет коразмерность не менее $2$. Векторное поле $X$ называется векторным полем, представляющим слоение $\mathscr{F}$. Хотя представляющее векторное поле $X$ не единственно, все такие поля получаются друг из друга умножением на локально обратимые функции. Особое множество $\operatorname{Sing}(\mathscr{F})$ слоения $\mathscr{F}$ определяется как особое множество представляющего векторного поля $X$ и имеет коразмерность не менее $2$. Обратно, с каждым (не тождественно нулевым) ростком голоморфного векторного поля на $(\mathbb{C}^3,0)$ ассоциирован росток особого голоморфного слоения $\mathscr{F}$. Сокращая на нетривиальные общие множители компонент поля $X$, мы можем заменить $X$ другим голоморфным векторным полем $Y$, особое множество которого имеет коразмерность не менее $2$. Слоение $\mathscr{F}$ тогда задаётся локальными орбитами поля $Y$. Глобальное определение особых (одномерных) голоморфных слоений можно сформулировать следующим образом. Определение 1. Пусть $M$ – комплексное многообразие. Особое (одномерное) голоморфное слоение $\mathscr{F}$ на $M$ состоит из покрытия $\{(U_i,\varphi_i)\}$ многообразия $M$ координатными картами и набора голоморфных векторных полей $Z_i$, удовлетворяющих следующим условиям: В этом и следующем разделах все рассматриваемые раздутия слоений (и векторных полей) стандартны. Более того, центры раздутий всегда лежат в особом множестве рассматриваемого слоения (ассоциированного слоения в случае векторных полей). Теперь рассмотрим голоморфное слоение $\mathscr{F}$ на комплексном многообразии $M$ размерности $3$, и пусть $p \in M$ – особая точка слоения $\mathscr{F}$. Сепаратрисой (или аналитической сепаратрисой) слоения $\mathscr{F}$ в точке $p$ называется неприводимая аналитическая кривая, инвариантная относительно $\mathscr{F}$, проходящая через $p$ и не содержащаяся в особом множестве $\operatorname{Sing}(\mathscr{F})$ слоения $\mathscr{F}$. Аналогично, формальной сепаратрисой слоения $\mathscr{F}$ в точке $p$ называется формальная неприводимая кривая $S$, инвариантная относительно $\mathscr{F}$ и с центром в точке $p$. Другими словами, если слоение $\mathscr{F}$ в локальных координатах $(x,y,z)$ вблизи $p$ представляется векторным полем $X=F\,\partial/\partial x+G\,\partial/\partial y+H\,\partial/\partial z$, то формальная сепаратриса $S$ задаётся тройкой формальных рядов $t \mapsto \varphi(t)=(\varphi_1(t),\varphi_2(t),\varphi_3(t))$, удовлетворяющих следующим (формальным) уравнениям:
$$
\begin{equation}
\varphi_1'(t)(G \circ \varphi)(t)=\varphi_2'(t)(F \circ \varphi)(t),\qquad \varphi_2'(t)(H \circ \varphi)(t)=\varphi_3'(t)(G \circ \varphi)(t),
\end{equation}
\tag{3}
$$
где
Снова рассмотрим особую точку $p \in M$ голоморфного слоения $\mathscr{F}$. Выберем локальные координаты $(x,y,z)$ вблизи $p$ и предположим, что $\mathscr{F}$ имеет в точке $p$ формальную сепаратрису $S$, задаваемую в координатах $(x,y,z)$ формальными рядами $\varphi(t)=(\varphi_1(t),\varphi_2(t),\varphi_3(t))$. Рассмотрим локальное голоморфное векторное поле $X$, заданное вблизи $p$ и касательное к $\mathscr{F}$, но не обязательно представляющее слоениe $\mathscr{F}$. Заметим, что можно рассматривать (формальное) векторное поле, индуцированное ограничением $X$ на $S$ при помощи $\varphi$, так как $S$ является формальной сепаратрисой слоения $\mathscr{F}$. Это индуцированное поле является формальным векторным полем, задаваемым формулой
$$
\begin{equation*}
\varphi^{\ast}(X|_S)=g(T)\frac{\partial}{\partial T}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
где $g$ удовлетворяет условию как формальный ряд. Напомним классическое понятие кратности слоения вдоль сепаратрисы, которое также является хорошо известным примером нормирования. Определение 2. Кратность поля $X$ вдоль сепаратрисы $S$ есть порядок нуля формального ряда $g$ в $0 \in \mathbb{C}$: Другими словами, если $g(T)=\displaystyle\sum_{k \geqslant 1} g_k T^k$, то $\operatorname{mult}(\mathscr{F},S)$ есть наименьшее положительное целое $k \in \mathbb{N}^{\ast}$, для которого $g_k \ne 0$. Кратность равна нулю тогда и только тогда, когда ряд $g(T)$ тождественно равен нулю. В свою очередь, кратность $\operatorname{mult}(\mathscr{F},S)$ слоения $\mathscr{F}$ вдоль сепаратрисы $S$ определяется как кратность вдоль $S$ векторного поля $X$, представляющего $\mathscr{F}$ вблизи $p$. Так как $S$, как сепаратриса слоения $\mathscr{F}$, не содержится в особом множестве слоения $\mathscr{F}$, то кратность $\mathscr{F}$ вдоль $S$ никогда не равна нулю. Непосредственно проверяется, что приведённые выше понятия корректно определены в том смысле, что они не зависят ни от выбора координат, ни от выбора представляющего векторного поля $X$. Начнём с простой, но важной леммы. Чтобы зафиксировать обозначения, будем говорить, что $S$ является (формальной) сепаратрисой векторного поля $X$, если $S$ является (формальной) сепаратрисой слоения $\mathscr{F}$, ассоциированного с $X$. Мы также напомним, что центры всех рассматриваемых далее раздутий содержатся в особых множествах соответствующих слоений. Лемма 1. Кратность векторного поля вдоль формальной сепаратрисы инвариантна относительно раздутий (с центрами в особом множестве рассматриваемого слоения). Доказательство. Утверждение леммы означает, что кратность векторного поля вдоль формальной сепаратрисы инвариантна относительно раздутий независимо от того, лежит ли центр в особой точке или на (локально) гладкой аналитической кривой, содержащейся в особом множестве слоения $\mathscr{F}$. Мы докажем инвариантность в случае раздутия с центром в точке. Случай раздутия с центром на аналитической кривой аналогичен и оставляется читателю.
Пусть $X$ – голоморфное векторное поле, заданное в окрестности начала координат в $\mathbb{C}^3$ и имеющее формальную сепаратрису $S$. Обозначим через $\pi\colon \widetilde{\mathbb{C}}^3 \to \mathbb{C}^3$ отображение раздутия с центром в начале координат, а через $\widetilde{S}$ результат преобразования сепаратрисы $S$ под действием $\pi$. В стандартных координатах $(x,y,z)$ в $\mathbb{C}^3$ формальная сепаратриса $S$ задаётся формальным отображением вида $T \mapsto \varphi(T)=(\varphi_1(T),\varphi_2(T),\varphi_3(T))$. Не ограничивая общности, мы можем предположить, что $\varphi$ имеет вид $\varphi(T)=(T^m+\cdots,T^n+\cdots,T^p)$, где многоточие обозначает члены более высокого порядка и $p \leqslant m,n$. В свою очередь, векторное поле $X$ задаётся формулой
$$
\begin{equation*}
X=F(x,y,z)\frac{\partial}{\partial x}+G(x,y,z)\frac{\partial}{\partial y}+ H(x,y,z)\frac{\partial}{\partial z}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $S$ является формальным решением дифференциального уравнения, ассоциированного с $X$, мы получаем, что $\varphi'(T)$ и $X \circ \varphi$ удовлетворяют уравнениям (3). Сравнивая последние компоненты рядов $\varphi'(T)$ и $(X \circ \varphi)(T)$, получаем, что функция-множитель $g$ в уравнении (4) имеет порядок нуля $\operatorname{ord}(H \circ \varphi,0)-p+1$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\operatorname{mult}(X,S)=\operatorname{ord}(H \circ \varphi,0)-p+1.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь вычислим порядок нуля векторного поля $\widetilde{X}$ вдоль сепаратрисы $\widetilde{S}$. Для этого рассмотрим аффинные координаты $(u,v,z)$, в которых отображение раздутия задаётся формулой $\pi(u,v,z)=(uz,vz,z)=(x,y,z)$. Тогда результат преобразования поля $X$ имеет вид $\widetilde{X}=(1/z)Z$, где $Z$ – векторное поле, заданное формулой
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, Z&=\bigl(F(uz,vz,z)-u H(uz,vz,z)\bigr)\frac{\partial}{\partial x} \\ &\qquad+\bigl(G(uz,vz,z)-v H(uz,vz,z)\bigr)\frac{\partial}{\partial y} +zH(uz,vz,z)\frac{\partial}{\partial z}\,. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В свою очередь, результат преобразования сепаратрисы $S$ под действием $\pi$ есть по определению формальная кривая
$$
\begin{equation*}
\psi(T)=\pi^{\ast}\varphi(T)=(T^{m-p}+\cdots,T^{n-p}+\cdots,T^p).
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $\widetilde{S}$ есть формальное решение дифференциального уравнения, ассоциированного с полем $\widetilde{X}$, мы снова получаем, что $\psi'(T)$ и $(\widetilde{X} \circ \psi)(T)$ удовлетворяют уравнениям (3). Сравнивая их последние компоненты, мы получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \operatorname{mult}(\widetilde{X},\widetilde{S})&=\operatorname{ord} \bigl(H((T^{m-c}+\cdots)T^c,(T^{n-c}+\cdots)T^c,T^p),0\bigr)-p+1 \\ &=\operatorname{ord}\bigl(H(T^{m}+\cdots,T^{n}+\cdots,T^p),0\bigr)-p+1 \\ &=\operatorname{ord}(H \circ \varphi,0) \\ &=\operatorname{mult}(X,S). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма доказана. Рассмотрим снова слоение $\mathscr{F}$, заданное в окрестности начала координат $\mathbb{C}^3$, и формальную сепаратрису $S$. В то время как лемма 1 утверждает, что кратность векторного поля вдоль формальной сепаратрисы инвариантна относительно раздутий, аналогичное утверждение не обязательно верно для слоения. В самом деле, пусть $X$ – векторное поле, представляющее слоение $\mathscr{F}$ вблизи $(0,0,0)\in\mathbb{C}^3$, так что множество нулей поля $X$ имеет коразмерность не менее $2$. Пусть $\widetilde{X}$ обозначает поле, порождённое полем $X$ с помощью отображения раздутия с центром в начале координат. Если $X$ имеет порядок нуля в начале координат не менее $2$, то особое множество поля $\widetilde{X}$ имеет коразмерность $1$, поскольку $\widetilde{X}$ тождественно обращается в нуль на соответствующем исключительном дивизоре. Точнее, в аффинных координатах $(u,v,z)$, где $x=uz$ и $y=vz$, имеем $\widetilde{X}=z^{\alpha}Z$ для некоторого (голоморфного) векторного поля $Z$ с особым множеством коразмерности не менее $2$ и некоторого целого $\alpha \geqslant 1$. Фактически если порядок нуля поля $X$ в точке $0 \in\mathbb{C}^3$ равен $k$, то мы имеем $\alpha=k$ или $\alpha=k-1$ в зависимости от того, является ли начало координат дикритической особой точкой. Здесь мы напоминаем читателю, что особая точка называется дикритической, если исключительный дивизор, задаваемый уравнением $\{z=0\}$ в указанных выше аффинных координатах, не инвариантен относительно слоения $\widetilde{\mathscr{F}}$. Далее заметим, что кратность поля $X$ вдоль $S$ совпадает с кратностью поля $\widetilde{X}$ вдоль $\widetilde{S}$ (лемма 1). Однако кратность слоения $\widetilde{\mathscr{F}}$ вдоль $\widetilde{S}$ – это не кратность поля $\widetilde{X}$ вдоль $\widetilde{S}$, а кратность поля $Z$ вдоль $\widetilde{S}$. Точнее, мы имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \operatorname{mult}(\widetilde{\mathscr{F}},\widetilde{S})&= \operatorname{mult}(Z,\widetilde{S}) \\ &=\operatorname{mult}(\widetilde{X},\widetilde{S})- \operatorname{ord}(z^{\alpha} \circ \psi,0) \\ &=\operatorname{mult}(X,S)-\operatorname{ord}(z^{\alpha} \circ \psi,0), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\psi$ обозначает тройку формальных рядов, задающих сепаратрису $\widetilde{S}$. Так как множество нулей поля $X$ имеет коразмерность не менее $2$, то справедливо равенство $\operatorname{mult}(X,S)=\operatorname{mult}(\mathscr{F},S)$. В итоге мы доказали следующее утверждение. Предложение 1. Пусть $\mathscr{F}$ – голоморфное слоение на $(\mathbb{C}^3,0)$, допускающее формальную сепаратрису $S$. Если $\mathscr{F}$ имеет в начале координат порядок не менее $2$, то где $\widetilde{\mathscr{F}}$ (соответственно $\widetilde{S}$) обозначает результат преобразования слоения $\mathscr{F}$ (соответственно сепаратрисы $S$) при одноточечном раздутии с центром в начале координат. Чтобы сформулировать аналог предложения 1 для раздутий с центром на гладких (неприводимых) кривых, лежащих в $\operatorname{Sing}(\mathscr{F})$, необходимо ввести понятие порядка слоения $\mathscr{F}$ относительно рассматриваемых кривых. Это понятие определяется следующим образом. Напомним, что порядок слоения $\mathscr{F}$ в начале координат определяется как степень первой ненулевой однородной компоненты векторного поля $X$, представляющего слоение $\mathscr{F}$. Эта степень, а также все соответствующие ненулевые однородные компоненты могут быть найдены при помощи семейства гомотетий $\Gamma_{\lambda} \colon (x,y,z) \mapsto (\lambda x,\lambda y,\lambda z)$. Точнее, степень – это просто единственное натуральное число $d \in \mathbb{N}$, для которого
$$
\begin{equation}
\lim_{\lambda \to 0}\frac{1}{\lambda^{d-1}} \Gamma_{\lambda}^{\ast}X
\end{equation}
\tag{5}
$$
является нетривиальным векторным полем. Кроме того, нетривиальное векторное поле, полученное предельным переходом, является в точности первой ненулевой однородной компонентой поля $X$. Мы применим эту конструкцию для определения порядка слоения $\mathscr{F}$ относительно кривой. Пусть $C$ – гладкая кривая, содержащаяся в $\operatorname{Sing}(\mathscr{F})$. Наша цель – определить порядок слоения $\mathscr{F}$ относительно $C$. Ясно, что существуют локальные координаты $(x,y,z)$, в которых рассматриваемая кривая совпадает с осью $z$, т. е. задаётся уравнениями $\{x=y=0\}$. (Как обычно, мы производим только раздутия с центром на гладких кривых; на самом деле это не слишком ограничительное условие, поскольку каждая кривая может быть превращена в гладкую стандартной процедурой разрешения особенностей.) Имеются аффинные координаты $(x,t,z)$ и $(u,y,z)$, в которых раздутие с центром на кривой $\{x=y=0\}$ задаётся формулами $\pi_z(x,t,z)=(x,tx,z)$ и $\pi_z(u,y,z)=(uy,y,z)$ соответственно. Рассмотрим следующее семейство автоморфизмов:
$$
\begin{equation*}
\Lambda_{\lambda} \colon (x,y,z) \mapsto (\lambda x,\lambda y,z).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда порядок слоения $\mathscr{F}$ относительно кривой $C$ (или порядок $\mathscr{F}$ над $C$) определяется как единственное число $d \in \mathbb{N}$, для которого
$$
\begin{equation}
\lim_{\lambda \to 0}\frac{1}{\lambda^{d-1}}\Lambda_{\lambda}^{\ast}X
\end{equation}
\tag{6}
$$
есть нетривиальное векторное поле. Заметим, что это число $d$ можно рассматривать как степень поля $X$ по отношению к переменным $x$, $y$. Пусть векторное поле $X$ задаётся в координатах $(x,y,z)$ формулой $X=X_1(x,y,z)\,\partial/\partial x+X_2(x,y,z)\,\partial/\partial y+ X_3(x,y,z)\,\partial/\partial z$. Векторное поле, индуцированное полем $X$ при помощи отображения $\Lambda_{\lambda}$, имеет вид
$$
\begin{equation*}
\Lambda_{\lambda}^{\ast}X=\frac{1}{\lambda}\biggl[X_1(\lambda x,\lambda y,z) \frac{\partial}{\partial x}+X_2(\lambda x,\lambda y,z) \frac{\partial}{\partial y}\biggr]+ X_3(\lambda x,\lambda y,z)\frac{\partial}{\partial z}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим через $k$ (соответственно $l$) максимальную степень $\lambda$, которая делит выражение $X_1(\lambda x,\lambda y,z)\,\partial/\partial x+ X_2(\lambda x,\lambda y,z)\,\partial/\partial y$ (соответственно выражение $X_3(\lambda x,\lambda y,z)\,\partial/\partial z$). Тогда порядок $d$, определённый выше, есть просто минимум из чисел $k$ и $l+1$. Теперь можно сформулировать следующий аналог предложения 1 для раздутий с центрами на гладких (неприводимых) кривых. Предложение 2. Пусть $\mathscr{F}$ – голоморфное слоение на $(\mathbb{C}^3,0)$, допускающее формальную сепаратрису $S$. Пусть $\widetilde{\mathscr{F}}$ (соответственно $\widetilde{S}$) обозначает результат преобразования слоения $\mathscr{F}$ (соответственно сепаратрисы $S$) при раздутии с центром в гладкой неприводимой кривой, лежащей в $\operatorname{Sing}(\mathscr{F})$. Если порядок слоения $\mathscr{F}$ относительно центра раздутия не менее $2$, то Завершим этот раздел первым применением предложения 1 к редукции особых точек (несколько более общие соображения, связанные с предложением 2, будут приведены в разделе 4). Пусть $\mathscr{F}$ – голоморфное слоение, заданное в окрестности начала координат $\mathbb{C}^3$, и пусть $X$ – голоморфное векторное поле, представляющее слоение $\mathscr{F}$. Напомним, что особая точка $p$ слоения $\mathscr{F}$ называется элементарной, если линейная часть $DX(p)$ поля $X$ в точке $p$ имеет хотя бы одно ненулевое собственное значение. В дальнейшем там, где это не ведёт к недоразумениям, мы будем говорить, что особая точка $p$ нильпотентна, если линейная часть поля $X$ в $p$ нильпотентна и отлична от нуля. Аналогично, выражение вырожденная особенность будет использоваться для обозначения особенностей, в которых линейная часть поля $X$ равна нулю. Теперь рассмотрим особое слоение $\mathscr{F}_0$ вместе с формальной гладкой сепаратрисой $S_0$ в начале координат ($(0,0,0) \simeq p_0$). Рассмотрим раздутие $\mathscr{F}_1$ слоения $\mathscr{F}_0$ с центром в начале координат. Сепаратриса $S_1$, полученная в результате раздутия $S_0$, выделяет особую точку $p_1$ слоения $\mathscr{F}_1$ на исключительном дивизоре $\Pi_1^{-1}(0,0,0)$. Если точка $p_1 \in \Pi_1^{-1}(0,0,0)$, выделяемая сепаратрисой $S_1$, является регулярной для слоения $\mathscr{F}_1$, то дивизор $\Pi_1^{-1}(0,0,0)$ не будет инвариантным относительно $\mathscr{F}_1$, формальная сепаратриса $S_1$ (а значит, и $S$) будет на самом деле аналитической, а слоение $\mathscr{F}_1$ окажется регулярным в окрестности точки $p_1$; в дальнейшем такая ситуация будет исключена. Пусть теперь $\mathscr{F}_2$ есть результат раздутия слоения $\mathscr{F}_1$ в точке $p_1$. Снова сепаратриса $S_2$, получаемая в результате раздутия $S_1$, выделяет особую точку $p_2 \in \Pi_2^{-1}(p_1)$ слоения $\mathscr{F}_2$. Это процедура далее повторяется индуктивно, и мы получаем (бесконечную) последовательность слоений $\mathscr{F}_n$:
$$
\begin{equation}
\mathscr{F}_0 \xleftarrow{\Pi_1} \mathscr{F}_1 \xleftarrow{\Pi_2} \cdots \xleftarrow{\Pi_n}\mathscr{F}_n \xleftarrow{\Pi_{n+1}}\cdots
\end{equation}
\tag{7}
$$
вместе с особыми точками $p_n$ и формальными сепаратрисами $S_n$. Лемма 2. Рассмотрим последовательность слоений (7) вместе с последовательностью формальных сепаратрис $S_n$ в особых точках $p_n$. Предположим, что ни при каком $n \in \mathbb{N}$ особая точка $p_n$ не является элементарной для слоения $\mathscr{F}_n$. Тогда существует такое $n_0 \in \mathbb{N}$, что $p_n$ является нильпотентной особой точкой слоения $\mathscr{F}_n$ для любого $n \geqslant n_0$. Доказательство. Утверждение вытекает из предложения 1. Действительно, по предположению $p_n$ не является элементарной особой точкой слоения $\mathscr{F}_n$ (для любого $n \in \mathbb{N}$). Предположим дополнительно, что $\mathscr{F}_1$ не является нильпотентным в точке $p_1$. Это означает, что порядок слоения $\mathscr{F}_1$ в точке $p_1$ не меньше $2$, так что кратность слоения $\mathscr{F}_2$ вдоль $S_2$ строго меньше кратности $\mathscr{F}_1$ вдоль $S_1$. Если слоение $\mathscr{F}_2$ снова не является нильпотентным в точке $p_2$, то порядок $\mathscr{F}_2$ в $p_2$ снова не меньше $2$. Следовательно, кратность $\mathscr{F}_3$ вдоль $S_3$ строго меньше кратности $\mathscr{F}_2$ вдоль $S_2$. Продолжая эту процедуру, мы получаем, что если $p_n$ не является нильпотентной особенностью слоения $\widetilde{\mathscr{F}}_n$, то кратность слоения $\mathscr{F}_{n+1}$ вдоль $S_{n+1}$ строго меньше кратности слоения $\mathscr{F}_n$ вдоль $S_n$. Таким образом, мы получаем убывающую, хотя и не обязательно строго убывающую, последовательность неотрицательных целых чисел. Эта последовательность должна со временем стабилизироваться. Пусть $n_0$ – такой индекс, что последовательность стабилизируется при $n \geqslant n_0$. Тогда согласно предложению 1 порядок слоения $\mathscr{F}_n$ в точке $p_n$ равен $1$ для любого $n \geqslant n_0$. Поскольку по предположению $p_n$ не является элементарной особенностью слоения $\mathscr{F}_n$, мы заключаем, что $p_n$ должна быть нильпотентной особенностью для $\mathscr{F}_n$ при $n \geqslant n_0$. Лемма доказана.
4. Об устойчиво нильпотентных особенностяхВ этом разделе под нильпотентной особенностью всегда понимается особое слоение, линейная часть которого нильпотентна и отлична от нуля. Нашей целью является обсуждение нильпотентных особых точек, которые сохраняются при преобразованиях раздутия, что приведёт нас к двум основным результатам раздела, а именно теореме 3 и теореме 1. Как уже упоминалось, теорема 3 является довольно непосредственным обобщением знаменитых примеров Санчо и Санца. Кроме того, они связаны с особыми точками $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$-орбифолдного типа, которые обсуждаются в последнем разделе статьи [26] (см. раздел 2 выше). Сначала проясним, что подразумевается под устойчиво нильпотентной особенностью. В дальнейшем центры раздутий всегда будут лежать в особом множестве слоения. Более того, они будут представлять собой либо одну точку, либо гладкую аналитическую кривую. Напомним также, что все раздутия считаются стандартными. Пусть $\mathscr{F}_0$ – особое слоение с неприводимой формальной сепаратрисой $S_0$ в выбранной особой точке $p_0$. Рассмотрим последовательность раздутий и преобразованных слоений, получаемую следующим образом. Сначала выберем центр $C_0$, содержащий $p_0$ и содержащийся в особом множестве слоения $\mathscr{F}_0$. Затем раздуем слоение $\mathscr{F}_0$ с центром $C_0$ и обозначим полученное в результате слоение через $\mathscr{F}_1$. Получаемая из $S_0$ в результате раздутия сепаратриса $S_1$ выделяет точку $p_1$ на исключительном дивизоре $\Pi_1^{-1}(C_0)$. Если точка $p_1$ является регулярной для слоения $\mathscr{F}_1$, то последовательность раздутий останавливается на этом шаге. В противном случае $p_1$ является особой точкой для $\mathscr{F}_1$, и мы производим ещё одно раздутие. Пусть $C_1$ – центр, содержащий $p_1$ и содержащийся в особом множестве слоения $\mathscr{F}_1$. Раздутие $\mathscr{F}_1$ с центром $C_1$ приводит к слоению $\mathscr{F}_2$. Получаемая из $S_1$ в результате раздутия сепаратриса $S_2$ выделяет точку $p_2 \in \Pi_2^{-1} (C_1)$. Если $p_2$ является регулярной точкой для $\mathscr{F}_2$, то последовательность раздутий останавливается. В противном случае мы рассматриваем раздутие слоения $\mathscr{F}_2$ с центром $C_2$, содержащим точку $p_2$. Продолжая эту процедуру, мы получаем последовательность слоений $\mathscr{F}_n$:
$$
\begin{equation}
\mathscr{F}_0 \xleftarrow{\Pi_1} \mathscr{F}_1 \xleftarrow{\Pi_2} \cdots \xleftarrow{\Pi_n} \mathscr{F}_n \xleftarrow{\Pi_{n+1}} \cdots
\end{equation}
\tag{8}
$$
вместе с особыми точками $p_n$ и формальными сепаратрисами $S_n$. Эта последовательность конечна, если при некотором $n \in \mathbb{N}$ точка $p_n$ оказывается регулярной для $\mathscr{F}_n$. Последовательность точек $p_n$, получаемых из формальной сепаратрисы $S_0$ в результате описанной выше процедуры, часто называется последовательностью бесконечно близких особых точек. Определение 3. В предыдущих обозначениях предположим, что $p_0$ является нильпотентной особой точкой слоения $\mathscr{F}_0$. Точка $p_0$ называется устойчиво нильпотентной особенностью, если существует формальная сепаратриса $S_0$ слоения $\mathscr{F}_0$ такая, что для каждой последовательности раздутий (8) выполняются следующие условия: Замечание 1. Условие ($\imath$) влечёт условие ($\imath\imath$), если центром раздутия является рассматриваемая нильпотентная особая точка. Однако в случае раздутия с центром на гладкой кривой кратность может оказаться строго меньше; см. доказательство леммы 4. В силу теоремы Зайденберга устойчиво нильпотентные особенности не существуют в размерности $2$. Однако в размерности $3$ примеры Санчо и Санца особенностей, которые не могут быть разрешены при помощи раздутий с инвариантными центрами, удовлетворяют условиям в определении 3. Фактически Санчо и Санц доказали, что слоение, ассоциированное с векторным полем
$$
\begin{equation*}
X=x\biggl(x\frac{\partial}{\partial x}-\alpha y\frac{\partial}{\partial y}- \beta z \frac{\partial}{\partial z}\biggr)+xz\frac{\partial}{\partial y}+ (y-\lambda x)\frac{\partial}{\partial z}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
обладает строго формальной сепаратрисой $S=S_0$, для которой последовательность бесконечно близких точек в любой последовательности раздутий, построенной выше, состоит из нильпотентных особенностей. Кроме того, слоения $\mathscr{F}_n$ также удовлетворяют условию $\operatorname{mult}(\mathscr{F}_n,S_n)=2$ для любого $n \in \mathbb{N}$, где $S_n$ обозначает результат преобразования сепаратрисы $S$. Таким образом, множество устойчиво нильпотентных особых точек непусто. Большая часть этого раздела будет посвящена характеризации таких особенностей, а окончательный результат будет сформулирован в теореме 3. Начнём со следующего утверждения. Предложение 3. Пусть $\mathscr{F}$ – особое голоморфное слоение на $(\mathbb{C}^3,0)$; предположим, что начало координат является устойчиво нильпотентной особенностью для $\mathscr{F}$. Тогда с точностью до конечного числа одноточечных раздутий существуют локальные координаты и голоморфное векторное поле вида представляющее слоение $\mathscr{F}$, где $n \in \mathbb{N}$, $n \geqslant 2$, и голоморфные функции $f$ и $g$ имеют нули порядка не менее $2$ в начале координат. Более того, порядки нулей функций $z \mapsto f(0,0,z)$ и $z\mapsto g(0,0,z)$ могут быть сколь угодно велики (в частности, больше $2n$). Доказательство. Пусть $\mathscr{F}$ – слоение с устойчиво нильпотентной особой точкой. Обозначим через $S$ формальную сепаратрису, порождающую последовательность бесконечно близких особых точек, как в определении 3. С точностью до конечного числа одноточечных раздутий сепаратрису $S$ можно считать гладкой в формальном смысле. Произведя, если требуется, дополнительное одноточечное раздутие, мы также можем предполагать, что $\mathscr{F}$ допускает аналитическую гладкую инвариантную поверхность, которая, кроме того, трансверсальна формальной сепаратрисе $S$. Полученный исключительный дивизор обязательно инвариантен относительно преобразованного слоения, поскольку предыдущая особая точка нильпотентна и отлична от нуля (напомним, что исключительный дивизор не является инвариантным для раздуваемого слоения тогда и только тогда, когда первая ненулевая однородная компонента ассоциированного векторного поля кратна радиальному векторному полю).
Отметим также, что – даже если мы рассматриваем раздутие слоения $\mathscr{F}$ с центром на гладкой аналитической кривой, содержащейся в особом множестве слоения (а не одноточечное раздутие), – получаемый в результате исключительный дивизор всё равно инвариантен относительно преобразованного слоения. Рассуждение аналогично предыдущему: если бы эта компонента дивизора не была инвариантной, то первая ненулевая однородная компонента слоения относительно этой кривой была бы кратной векторному полю $x\,\partial/\partial x+y\,\partial/\partial y$ в общих точках этого центра. Однако этого не может произойти, поскольку начало координат – нильпотентная особая точка. Наконец, обозначим через $E_n$ полный исключительный дивизор, ассоциированный с бирациональным преобразованием $\Pi_{\circ n}=\Pi_n \circ \cdots \circ \Pi_2 \circ \Pi_1$. Приведённое выше рассуждение также позволяет считать, что каждая неприводимая компонента исключительного дивизора инвариантна относительно соответствующего слоения $\mathscr{F}_n$. Подводя итог, мы можем предположить без ограничения общности выполнение следующих условий:
Ввиду вышеизложенного, рассмотрим локальные координаты $(x,y,z)$ вблизи $p_0$, в которых гладкая инвариантная поверхность $E$ задаётся уравнением $\{z=0\}$. Обозначим через $H$ формальную замену координат, сохраняющую инвариантную поверхность $\{z=0\}$ и переводящую формальную сепаратрису $S$ в ось $z$, заданную уравнениями $\{x=0,\,y=0\}$. Поскольку векторное поле, получаемое сопряжением $X$ при помощи $H$, является формальным, обозначим через $H_m$ полиномиальную замену координат, получаемую удалением из $H$ членов порядка выше $m$. Положим Так как отображение $H_m$ голоморфно, векторное поле $Y_m$ также голоморфно. Обозначим через $\mathscr{F}_m$ слоение, ассоциированное с полем $Y_m$. Ясно, что слоение $\mathscr{F}_m$ допускает формальную сепаратрису $S_m$, порядок касания которой с осью $z$ стремится к бесконечности с ростом $m$ и поэтому может считаться сколь угодно большим.При указанных условиях векторное поле $Y_m$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
Y_m=A(x,y,z)\frac{\partial}{\partial x}+ B(x,y,z)\frac{\partial}{\partial y}+ C(x,y,z)\frac{\partial}{\partial z},
\end{equation*}
\notag
$$
где
Естественно, оба слоения $\mathscr{F}$ и $\mathscr{F}_m$ нильпотентны в начале координат. Далее, мы имеем Утверждение. С точностью до линейной замены координат $x$, $y$ линейная часть поля $Y_m$ имеет вид $y\,\partial/\partial x$. Доказательство. Формальная параметризация Пюизо $\varphi$ сепаратрисы $S_m$ имеет вид $\varphi(T)=(T^r+\cdots,T^s+\cdots,T)$, где целые числа $r$ и $s$ связаны с порядком касания $S_m$ и оси $z$. В частности, $r$ и $s$ могут быть произвольно большими. Теперь ясно, что частные производные $\partial A/\partial z$ и $\partial B/\partial z$ должны обращаться в нуль в начале координат, если $\varphi$ инвариантна относительно векторного поля $Y_m$. С другой стороны, частные производные $\partial C/\partial x$ и $\partial C/\partial y$ равны нулю в начале координат, так как $P$ и $Q$ делятся на $z$ согласно условию 1) выше. Также ясно, что производная $\partial C/\partial z$ равна нулю в начале координат, так как $n \geqslant 2$. Таким образом, и третья строка, и третий столбец в матрице линейной части поля $Y_m$ в начале координат целиком состоят из нулей. Снова используя тот факт, что эта матрица нильпотентна, из стандартной жордановой формы мы получаем, что линейную часть поля $Y_m$ можно привести к виду $y\,\partial/\partial x$ линейной заменой в координатах $x$, $y$. Также непосредственно проверяется, что эта линейная замена координат не влияет на ранее наложенные условия и нормальные формы. Утверждение доказано. Теперь рассмотрим раздутие слоения $\mathscr{F}$ с центром в начале координат. В координатах $(u,v,z)$, где $(x,y,z)=(uz,vz,z)$, при раздутии векторное поле $Y_m$ преобразуется в
$$
\begin{equation*}
\widetilde{Y}_m=\widetilde{A}(u,v,z)\frac{\partial}{\partial x}+ \widetilde{B}(u,v,z)\frac{\partial}{\partial y}+ \widetilde{C}(u,v,z)\frac{\partial}{\partial z}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \widetilde{A}(u,v,z)&=\frac{A(uz,vz,z)-uC(uz,vz,z)}{z}\,, \\ \widetilde{B}(u,v,z)&=\frac{B(uz,vz,z)-vC(uz,vz,z)}{z} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и $\widetilde{C}(u,v,z)=C(uz,vz,z)$. В частности, слоение $\widetilde{\mathscr{F}}_m$ нильпотентно в начале координат и его линейная часть совпадает с линейной частью $\mathscr{F}_m$. Кроме того, из формул выше вытекает следующее:
Нормальная форма (9) из предложения 3 может быть дополнительно упрощена следующим образом. Лемма 3. С точностью до одноточечного раздутия можно считать, что функции $f$ и $g$ в (9) делятся на $z$. Доказательство. Пусть $\pi$ обозначает раздутие с центром в начале координат; положим $\widetilde{X}=\pi^{\ast}X$. В упомянутых выше аффинных координатах $(u,v,z)$ имеем где $\widetilde{f}=(f(uz,vz,z)-uz^n)/z$ и $\widetilde{g}=(g(uz,vz,z)-vz^n)/z$. Тогда функции $\widetilde{f}$ и $\widetilde{g}$ делятся на $z$, так как функции $f$ и $g$ имеют порядок не менее $2$ в начале координат. Лемма доказана. Далее мы определим условия на функции $f$ и $g$, при которых особая точка $p_0\simeq (0,0,0)$ является устойчиво нильпотентной. Пусть $\mathscr{F}$ – слоение, ассоциированное с векторным полем $X$, имеющим нормальную форму, описанную в предложении 3 и лемме 3. Другими словами, векторное поле $X$ задаётся формулой
$$
\begin{equation}
X=\bigl(y+zf(x,y,z)\bigr)\frac{\partial}{\partial x}+ zg(x,y,z)\frac{\partial}{\partial y}+ z^n\frac{\partial}{\partial z}\,,
\end{equation}
\tag{10}
$$
где $f$ и $g$ – голоморфные функции порядка не менее $1$ и $n \in \mathbb{N}$, причём $n \geqslant 2$. Пусть $S$ – гладкая формальная сепаратриса слоения $\mathscr{F}$, порождающая устойчиво нильпотентную особую точку (см. определение 3). Без ограничения общности можно считать, что порядок касания $k_0$ ($\,\geqslant 4$) сепаратрисы $S$ и оси $z$ является большим и, аналогично, функции $f(0,0,z)$ и $g(0,0,z)$ имеют в нуле порядок больше $2n \geqslant 4$. Заметим, что кривая, локально заданная уравнениями $\{y=0,\,z=0\}$, совпадает с особым множеством слоения $\mathscr{F}$. Нам разрешается произвести либо одноточечное раздутие с центром в $p_0 \simeq (0,0,0)$, либо раздутие с центром в упомянутой выше кривой. Справедливо следующее утверждение. Лемма 4. Предположим, что слоение $\mathscr{F}$ имеет устойчиво нильпотентную особую точку в начале координат, и пусть $S$ – соответствующая формальная сепаратриса. Тогда $g(x,0,0)=\lambda x+\cdots$ для некоторой константы $\lambda \in \mathbb{C}^{\ast}$. Доказательство. Обозначим через $X_1$ (соответственно $\mathscr{F}_1$, $S_1$) результат преобразования векторного поля $X$ (соответственно слоения $\mathscr{F}$, сепаратрисы $S$) при раздутии $\pi_1$ с центром на кривой $\{y=0,\,z=0\}$. В локальных координатах $(x,v,z)$, где $y=vz$, векторное поле $X_1$ задаётся формулой
$$
\begin{equation}
X_1=\bigl(vz+zf(x,vz,z)\bigr)\frac{\partial}{\partial x}+ \bigl(g(x,vz,z)-vz^{n-1}\bigr)\frac{\partial}{\partial v}+ z^n \frac{\partial}{\partial z}\,.
\end{equation}
\tag{11}
$$
Заметим, что функция $g(x,0,0)$ не обращается в нуль тождественно. Действительно, в противном случае $g(x,vz,z)$ делилось бы на $z$ и, следовательно, векторное поле $X_1$ обращалось бы в нуль на исключительном дивизоре (локально заданном уравнением $\{z=0\}$). Это невозможно, так как в этом случае кратность слоения $\mathscr{F}_1$ вдоль преобразованной сепаратрисы $S$ была бы строго меньше кратности слоения $\mathscr{F}$ вдоль $S$, что противоречит условию ($\imath\imath$) в определении 3. В частности, особое множество слоения $\mathscr{F}_1$ локально задаётся уравнениями $\{x=0,z=0\}$.
С другой стороны, формальная сепаратриса $S_1$ по-прежнему касается (преобразованной) оси $z$, так как порядок касания $S$ и (изначальной) оси $z$ был больше $2$ (на самом деле порядок касания $S_1$ и оси $z$ составляет не менее $k_0-1 \geqslant 3$). Следовательно, в аффинных координатах $(x,v,z)$ слоение $\mathscr{F}_1$ должно иметь нильпотентную особенность в начале координат. Вместе с условиями $f(0,0,0)=0$, $n \geqslant 2$ и тем фактом, что порядок функции $g(0,0,z)$ не менее $2n$, это влечёт, что $\partial g/\partial x$ не обращается в нуль в начале координат. Другими словами, $g(x,0,0)=\lambda x+\cdots$, как и требовалось. Лемма доказана. Приведённое выше доказательство даёт также следующий вариант обратного утверждения к лемме 4. Лемма 5. В предыдущих обозначениях пусть слоение $\mathscr{F}$ задаётся векторным полем $X$ вида (10) и пусть $S$ – формальная сепаратриса для $\mathscr{F}$ с порядком касания оси $z$ не менее $3$. Предположим, что $g(x,0,0)=\lambda x+\cdots$, где $\lambda \ne 0$. Тогда слоение $\mathscr{F}_1$, получаемое из $\mathscr{F}$ в результате раздутия с центром на кривой $\{y=0,z=0\}$, имеет нильпотентную особенность в точке на исключительном дивизоре, выделяемой сепаратрисой $S_1$. Продолжая обсуждение леммы 4, снова рассмотрим векторное поле $X_1$ из (11). Произведём раздутие с центром на кривой, локально заданной уравнениями $\{x=0, z=0\}$ и лежащей в особом множестве слоения $\mathscr{F}_1$. Обозначим через $X_2$ (соответственно $\mathscr{F}_2$, $S_2$) векторное поле (соответственно слоение, сепаратрису), полученное из $X_1$ (соответственно из $\mathscr{F}_1$, $S_1$) при данном раздутии. В аффинных координатах $(u,v,z)$, где $x=uz$, мы имеем
$$
\begin{equation}
X_2=\bigl(v+f(uz,vz,z)-uz^{n-1}\bigr)\frac{\partial}{\partial x}+ \bigl(g(uz,vz,z)-vz^{n-1}\bigr)\frac{\partial}{\partial v}+ z^n \frac{\partial}{\partial z}\,.
\end{equation}
\tag{12}
$$
Как показывает простое вычисление, порядок касания сепаратрисы $S_2$ с осью $z$ равен $k_0-1 \geqslant 3$ (см. замечание 2 ниже). В частности, формальная сепаратриса $S_2$ по-прежнему проходит через начало координат системы $(u,v,z)$ и касается оси $z$. Так как приведённая выше формула показывает, что слоение $\mathscr{F}_2$ имеет нильпотентную особенность в начале координат, мы получаем следующее утверждение. Лемма 6. Слоение $\mathscr{F}_2$ (соответственно векторное поле $X_2$) имеет нильпотентную особенность в точке на исключительном дивизоре, выделяемой сепаратрисой $S_2$ (эта точка является началом координат системы $(u,v,z)$). Читатель также заметит, что особое множество слоения $\mathscr{F}_2$ по-прежнему локально задаётся кривой $\{v=0,\,z=0\}$, которая содержит начало координат. Как уже упоминалось, сепаратриса $S_2 $ касается оси $z$. Замечание 2. Векторное поле $X_2$ локально совпадает с результатом преобразования поля $X$ при одноточечном раздутии с центром в начале координат. В этом смысле включение в текущее обсуждение раздутий с центрами на кривых не приводит к дополнительным условиям наличия нильпотентных особых точек. Снова рассмотрим векторное поле $X$ вида (10). В ходе предыдущего обсуждения было видно, что векторные поля, полученные в результате двух последовательных раздутий с центрами на соответствующих кривых особых точек, имеют вид
$$
\begin{equation}
X_1 =zr(x,v,z)\frac{\partial}{\partial x}+ \bigl(x+zs(x,v,z)\bigr)\frac{\partial}{\partial v}+ z^n\frac{\partial}{\partial z}\,,
\end{equation}
\tag{13}
$$
$$
\begin{equation}
X_2 =\bigl(v+zf_{(1)}(u,v,z)\bigr)\frac{\partial}{\partial u}+ zg_{(1)}(u,v,z)\frac{\partial}{\partial v}+ z^n \frac{\partial}{\partial z}
\end{equation}
\tag{14}
$$
соответственно, где $r$, $s$, $f_{(1)}$ и $g_{(1)}$ суть голоморфные функции, обращающиеся в нуль в начале соответствующей системы координат. Как обычно, координаты $(x,v,z)$ определяются формулой $(x,y,z)=(x,vz,z)$, а координаты $(u,v,z)$ таковы, что $(x,y,z)=(uz,vz,z)$. Более того, функции $f_{(1)}$ и $g_{(1)}$ удовлетворяют условиям
$$
\begin{equation*}
f_{(1)}(u,v,z)=\frac{f(uz,vz,z)-uz^{n-1}}{z}\quad\text{и}\quad g_{(1)}(u,v,z)=\frac{g(uz,vz,z)-vz^{n-1}}{z}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Непосредственно отсюда возникают следующие соотношения:
Предположим теперь, что описанная выше процедура продолжается, т. е. $X_2$ раздувается в начале координат (которое отождествляется с особой точкой, выделяемой сепаратрисой, получаемой в результате раздутия исходной сепаратрисы). Как указано в замечании 2, здесь удобно иметь в виду, что два последовательных раздутия с центрами на кривых, лежащих в особом множестве соответствующего слоения, могут быть заменены одним одноточечным раздутием. Для продолжения процедуры необходимо ввести новые аффинные координаты для каждого из этих раздутий, что приведёт к громоздким обозначениям. Чтобы этого избежать и поскольку вычисления аналогичны предыдущим, мы допустим вольность в обозначениях и вместо координат $(u,v,z)$ продолжим писать $(x,y,z)$: естественно, эти “новые” координаты $(x,y,z)$ имеют мало общего с исходными. Аналогично, координаты после первого раздутия обозначим через $(x,v,z)$, а координаты после второго раздутия – через $(u,v,z)$. Предполагая, что эти обозначения используются на каждом шаге, т. е. в каждой паре раздутий, как указано выше, обозначим через $X_{2i}$ векторное поле, полученное после $i$ шагов, где $i<k_0$ (напомним, что $k_0$ – это порядок касания формальной сепаратрисы с “исходной” осью $z$). В (последних) координатах $(u,v,z)$ векторное поле $X_{2i}$ принимает вид (10):
$$
\begin{equation*}
X_{2i}=\bigl(v+zf_{(i)}(u,v,z)\bigr)\frac{\partial}{\partial u}+ zg_{(i)}(u,v,z)\frac{\partial}{\partial v}+z^n\frac{\partial}{\partial z}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\dfrac{\partial g_{(i)}}{\partial u}(0,0,0)= \dfrac{\partial g}{\partial x}(0,0,0)=\lambda \ne 0$. Точнее, напомним, что порядки нулей функций $f_{(i)}(0,0,z)$ и $g_{(i)}(0,0,z)$ непосредственно связаны с порядком касания сепаратрисы, полученной в результате преобразования сепаратрисы $S$, с соответствующей осью $z$. На каждом шаге (с соответствующей парой раздутий) порядки нулей функций $f_{(i)}(0,0,z)$ и $g_{(i)}(0,0,z)$ уменьшаются на единицу, так что мы имеем
$$
\begin{equation*}
\operatorname{ord}(f_{(i)}(0,0,z))=\operatorname{ord}(f(0,0,z))-i,\quad \operatorname{ord}(g_{(i)}(0,0,z))=\operatorname{ord}(g(0,0,z))-i.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, при $i \geqslant k_0 =\min\{\operatorname{ord}(f(0,0,z)), \operatorname{ord}(g(0,0,z))\}$ векторное поле $X_{2i}$ больше не имеет вида (10). На первый взгляд, это может означать, что первоначальная нильпотентная особенность не обязательно является устойчиво нильпотентной; однако верно как раз обратное: особенность непременно устойчива. Чтобы объяснить последнее утверждение, мы начнём с того наблюдения, что формула (10) не задаёт ось $z$. Фактически от оси $z$ требуется лишь касание высокого порядка с формальной сепаратрисой $S$, и именно эта сепаратриса – а не ось – является инвариантно определённым объектом в нашем обсуждении. В частности, если бы $S$ была аналитической, мы могли бы взять $S$ в качестве оси $z$, что, в свою очередь, означало бы, что все функции $f_{(i)}(0,0,z)$ и $g_{(i)}(0,0,z)$ тождественно обращаются в нуль. Отсюда сразу следовало бы, что особенность устойчива. Замечание 3. Следует подчеркнуть, что наше определение устойчиво нильпотентных особенностей требует, чтобы центры всех раздутий лежали в особых множествах соответствующих слоений. Этим объясняется различие между выбором центров, содержащихся в особом множестве, и несколько более слабым условием, когда разрешаются инвариантные центры. Аналитическая сепаратриса слоения вполне допустима в качестве инвариантного центра, так что если разрешить раздутия с инвариантными центрами, то особенность может быть превращена в элементарную раздутием вдоль рассматриваемой сепаратрисы. Это объясняет, почему в примере Санчо и Санца требуется, чтобы соответствующая сепаратриса была строго формальной, и является ещё одной иллюстрацией к аналогичным комментариям во введении. Вернёмся к векторному полю $X_{2i}$, которое более не имеет вида (10). Чтобы показать, что, когда сепаратриса $S$ является строго формальной, это векторное поле соответствует устойчиво нильпотентной особенности, мы построим систему координат, в которой векторное поле $X_{2}$ по-прежнему имеет вид (10), но порядки нулей “новых” функций $z \mapsto f_{(1)}(0,0,z)$ и $z \mapsto g_{(1)}(0,0,z)$ строго возросли так, что достигли значений первоначальных порядков. Требуемую замену координат можно сделать полиномиальной путём отбрасывания членов высокого порядка в некоторой формальной замене координат, как в доказательстве предложения 3. Это утверждение содержится в лемме 7 ниже. Рассмотрим векторное поле $X_{2}$, заданное в координатах $(u,v,z)$ формулой (14), а также изначальное векторное поле $X$, заданное в координатах $(x,y,z)$ формулой (10). Лемма 7. Существует полиномиальная замена координат $H$ вида Доказательство. Пусть $S_2$ – сепаратриса, полученная из $S$ одноточечным раздутием с центром в начале координат. Тогда $S_2$ является формальной сепаратрисой для слоения, ассоциированного с полем $X_2$. Так как $S_2$ является гладкой и касается оси $z$, её можно (формально) параметризовать переменной $z$. Другими словами, сепаратриса $S_2$ может быть задана в виде $\varphi(z)=(f(z),g(z),z)$, где $f$ и $g$ – формальные ряды с нулевой линейной частью.
Рассмотрим формальное отображение, заданное в локальных координатах $(\widetilde{x},\widetilde{y},z)$ формулой $H(\widetilde{x},\widetilde{y},z)=(\widetilde{x}-f(z),\widetilde{y}-g(z),z)$. Линейная часть в начале координат замены координат $H$ является единичной матрицей, так что $H$ является формальной заменой координат, сохраняющей плоскость $\{z=0\}$. Более того, $H$ переводит формальную сепаратрису $S_2$ в ось $z$. Как упоминалось ранее, формальное векторное поле, получаемое сопряжением поля $X_2$ при помощи $H$, является строго формальным, если сепаратриса $S_2$ строго формальна. Пусть $H_m$ обозначает полиномиальную замену координат, полученную из $H$ отбрасыванием членов порядка выше $m$, и положим $Y_m=(DH_m)^{-1}$ ($X \circ H_m$). Ясно, что отображение $H_m$ и векторное поле $Y_m$ голоморфны. Кроме того, слоение $\mathscr{F}_m$, ассоциированное с $Y_m$, имеет формальную сепаратрису $T_m$, порядок касания которой с осью $z$ стремится к бесконечности с ростом $m$. Непосредственно проверяется, что для любого $m \in \mathbb{Z}$ векторное поле $Y_m$ имеет вид где $\dfrac{\partial g_m}{\partial \widetilde{x}}(0,0,0)= \dfrac{\partial g}{\partial x}(0,0,0)$. Более того, если число $m$ достаточно велико, то $\operatorname{ord}(f_m(0,0,z)) \geqslant \operatorname{ord}(f(0,0,z))$ и $\operatorname{ord}(g_m(0,0,z))\geqslant \operatorname{ord}(f(0,0,z))$. Лемма доказана.Результаты этого раздела можно подытожить следующим образом. Теорема 3. Пусть $\mathscr{F}$ – особое голоморфное слоение на $(\mathbb{C}^3,0)$ с устойчиво нильпотентной особенностью в начале координат. Обозначим соответствующую формальную сепаратрису слоения через $S$. Тогда, с точностью до конечного числа одноточечных раздутий, слоение $\mathscr{F}$ представляется векторным полем $X$ вида для некоторых $n \in \mathbb{N}$, $n \geqslant 2$, и голоморфных функций $f$ и $g$ с порядками нулей не ниже $1$. При этом справедливое следующее: Обратно, каждое нильпотентное слоение $\mathscr{F}$, представляемое векторным полем $X$ указанного выше вида, с (гладкой) формальной сепаратрисой $S$, касающейся оси $z$, приводит к устойчиво нильпотентной особенности. В завершение этого раздела сформулируем аккуратно утверждение, которое понадобится нам при доказательстве теоремы 1. Предложение 4. Пусть $\mathscr{F}$ – (росток) особого одномерного слоения, заданного в окрестности начала координат в $\mathbb{C}^3$. Предположим, что $\mathscr{F}$ нельзя превратить в слоение, все особые точки которого элементарны, с помощью конечной последовательности раздутий с центрами, лежащими в особых множествах соответствующих слоений. Тогда, с точностью до конечной последовательности раздутий как выше, слоение $\mathscr{F}$ обладает формальной сепаратрисой $S$, порождающей последовательность бесконечно близких особых точек, ни одна из которых не является элементарной. Доказательство теоремы 1. Предположим, что $\mathscr{F}$ есть особое слоение на $(\mathbb{C}^3,0)$, особенности которого не могут быть разрешены при помощи раздутий с центрами в особом множестве слоения $\mathscr{F}$. В силу предложения 4, пусть $S$ обозначает формальную сепаратрису $\mathscr{F}$, порождающую последовательность (неэлементарных) бесконечно близких особых точек. Применим к $S$ последовательность одноточечных раздутий. Поскольку кратности соответствующих слоений вдоль сепаратрис, получаемых из $S$ раздутиями, образуют монотонно убывающую последовательность, эта последовательность стабилизируется после конечного числа шагов. Обозначая соответствующее слоение через $\mathscr{F}_k$, а результат раздутия сепаратрисы через $S_k$, получаем, что $\mathscr{F}_k$ имеет нильпотентную особенность в точке на исключительном дивизоре, выделяемой сепаратрисой $S_k$. Более того, в силу замечания 2 рассматриваемые кратности уменьшаются, даже если разрешены раздутия с центрами на (гладких) особых кривых. Таким образом, указанная нильпотентная особая точка слоения $\mathscr{F}_k$ является устойчиво нильпотентной, т. е. удовлетворяет условиям определения 3. Теперь к этой особой точке можно применить результаты настоящего раздела, а доказываемое утверждение следует из теоремы 3.
5. Доказательство теоремы BЭтот раздел посвящён доказательству теоремы B и её следствий, в то время как раздел 6 содержит несколько примеров, дополняющих наши основные результаты, а также более точную версию нормальной формы из теоремы 3, которая применима к слоениям, касательным к полуполным векторным полям. Пусть $X$ – голоморфное векторное поле, заданное на открытом множестве $U$ некоторого комплексного многообразия. Согласно [30], поле $X$ называется полуполным, если для каждой точки $p \in U$ существуют связная область $V_p \subseteq \mathbb{C}$ с $0 \in V_p$ и голоморфное отображение $\phi_p\colon V_p \to U$, удовлетворяющие следующим условиям:
Мы также отсылаем читателя к [30] за основными свойствами полуполных векторных полей, используемых в дальнейшем. Прежде всего, векторное поле, полуполное на $U$, является полуполным также и на любом открытом множестве $V \subseteq U$. В частности, имеет смысл понятие ростка полуполного векторного поля. Более того, если $X$ – полное векторное поле на комплексном многообразии $M$, то росток поля $X$ в каждой особой точке является ростком полуполного векторного поля. Имеется полезный критерий (предложение 5) для выявления векторных полей, не являющихся полуполными, который заключается в следующем. Пусть $X$ – голоморфное векторное поле, заданное на открытом множестве $U$; обозначим через $\mathscr{F}$ представляемое им (особое) голоморфное слоение. Рассмотрим лист $L$ слоения $\mathscr{F}$, который не содержится в множестве нулей поля $X$. Тогда $L$ является римановой поверхностью, естественно снабжённой мероморфной абелевой $1$-формой $dT$, двойственной к $X$ в том смысле, что $dT\cdot X=1$ на $L$. Форму $dT$ часто называют временно́й формой, индуцированной полем $X$ на листе $L$. Следующее предложение взято нами из [30]. Предложение 5. Пусть $X$ – полуполное голоморфное векторное поле на открытом множестве $U$. Пусть $L$ – лист слоения, ассоциированного с полем $X$, вместе с определённой на нём временной формой $dT$ (так что $L$ не содержится в множестве нулей поля $X$). Тогда для любого пути $c\colon[0,1] \to L$, (взаимно однозначно) вложенного в $L$. Главным результатом этого раздела является следующая теорема. Теорема 4. Пусть $X$ – голоморфное векторное поле на $(\mathbb{C}^3,0)$, обозначим через $\mathscr{F}$ ассоциированное с ним слоение. Предположим, что начало координат является устойчиво нильпотентной особенностью слоения $\mathscr{F}$, и пусть $S$ обозначает соответствующую формальную сепаратрису для $\mathscr{F}$. Предположим также, что выполняется хотя бы одно из следующих условий: Тогда $X$ не является полуполным векторным полем в окрестности начала координат. Наш подход к теореме 4 начинается с нескольких замечаний. Прежде всего, уместно напомнить читателю о различии между векторными полями и слоениями с точки зрения размерности их особых множеств. А именно, у компонент векторного поля могут быть нетривиальные общие множители, задающие дивизор нулей, в то время как особые множества слоений всегда имеют коразмерность не менее $2$. Напомним также, что векторное поле $Y$ называется представителем слоения $\mathscr{F}$, если $Y$ касается $\mathscr{F}$ и имеет особое множество коразмерности не менее $2$. Ввиду сказанного выше мы часто будем записывать голоморфное векторное поле $X$ в виде $X=hY$, где $h$ – голоморфная функция, а $Y$ – голоморфное векторное поле с особым множеством коразмерности не менее $2$. В этих обозначениях векторное поле $Y$ является (локальным) представителем слоения $\mathscr{F}$, ассоциированного с $X$. Следует также отметить, что полуполнота голоморфного векторного поля сохраняется при бирациональных преобразованиях. В частности, она сохраняется при раздутиях. Однако полуполнота не обязательно сохраняется при взвешенных раздутиях, если они рассматриваются как отображения с конечным числом прообразов, а не с бирациональной точки зрения, связанной с орбифолдным действием. Кстати, в дальнейшем нам понадобятся раздутия веса $2$. Зафиксируем голоморфное векторное поле $X$ на $(\mathbb{C}^3,0)$, ассоциированное слоение $\mathscr{F}$ которого имеет вид, описанный в теореме 1. Поскольку раздутия сохраняют полуполный характер векторных полей, то, с точностью до преобразования поля $X$ конечным числом одноточечных раздутий, мы можем предполагать, что слоение $\mathscr{F}$ имеет устойчиво нильпотентную особенность с формальной сепаратрисой $S$, порождающей последовательность бесконечно близких (нильпотентных) особых точек. Подводя итог сказанному выше, мы можем считать, что векторное поле $X$ имеет следующий вид в подходящих координатах $(x,y,z)$ (см. разделы 3 и 4):
$$
\begin{equation}
X=z^k h(x,y,z)\biggl[\bigl(y+zf(x,y,z)\bigr)\frac{\partial}{\partial x}+ zg(x,y,z)\frac{\partial}{\partial y}+z^n\frac{\partial}{\partial z}\biggr]
\end{equation}
\tag{16}
$$
для некоторых целых чисел $k$, $n$ и голоморфных функций $f$, $g$ и $h$, удовлетворяющих следующим условиям:
Приведённое выше утверждение о неприводимых компонентах множества $\{h=0\}$ требует нескольких комментариев. Естественно, любая аналитическая поверхность, не содержащая сепаратрису $S$, может быть отделена от $S$ подходящим образом выбранной последовательностью раздутий. Аналогичным образом, эти компоненты можно считать гладкими без потери общности. Наконец, тот факт, что ни одна из этих компонент не инвариантна относительно слоения $\mathscr{F}$, вытекает из следствия 1, которое является побочным результатом доказательства предложения 4 (см. раздел 7). Таким образом, теорема 4 сводится к доказательству того, что поле $X$, заданное формулой (16), не является полуполным в окрестности начала координат при условии, что выполнено хотя бы одно из следующих условий: линейная часть $J^1_0 X$ поля $X$ в нуле равна нулю (эквивалентно, $k \geqslant 1$) или $n=\operatorname{mult}(\mathscr{F},S) > 2$, где $\mathscr{F}$ обозначает слоение, ассоциированное с полем $X$. Начнём с того, что покажем, что слоение $\mathscr{F}$ можно разрешить с помощью одного раздутия веса $2$. Здесь раздутия веса $2$ рассматриваются как отображения с двумя прообразами. Следующая лемма даёт некоторые полезные явные формулы для преобразованного векторного поля. Лемма 8. Пусть поле $X$ задано формулой (16), обозначим через $\Pi$ раздутие веса $2$ с центром на кривой $\{y=z=0\}$ (кривая особых точек слоения $\mathscr{F}$). Рассмотрим преобразованное слоение $\Pi^{\ast}\mathscr{F}$. Особая точка слоения $\Pi^{\ast} \mathscr{F}$, выделяемая сепаратрисой $S$ на исключительном дивизоре, элементарна, и соответствующие собственные значения слоения $\Pi^{\ast}\mathscr{F}$ суть $0$, $1$ и $-1$. Более того, векторное поле $\Pi^{\ast}X$, получаемое в результате раздутия $X$, голоморфно и обращается в нуль с порядком $2k+1$ на исключительном дивизоре. Доказательство. Пусть $(x,y,z)$ – локальные координаты, в которых поле $X$ задаётся формулой (16). Рассмотрим раздутие $\Pi$ веса $2$. В естественных координатах $(u,v,w)$ отображение $\Pi$ задаётся формулой где поверхность $\{w=0\}$ содержится в исключительном дивизоре. Теперь прямое вычисление показывает, что поле $\Pi^{\ast}X$ задаётся в координатах $(u,v,w)$ формулами
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Pi^{\ast}X&=w^{2k}h\biggl[\bigl(vw+w^2f(u,vw,w^2)\bigr) \frac{\partial}{\partial u} \\ &\qquad+\biggl(wg(u,vw,w^2)-\frac{1}{2}vw^2\biggr) \frac{\partial}{\partial v}+ \frac{1}{2}w^{2n-1}\frac{\partial}{\partial w}\biggr] \\ &=w^{2k+1}h\biggl[\bigl(v+wf(u,vw,w^2)\bigr)\frac{\partial}{\partial u} \\ &\qquad+\biggl(g(u,vw,w^2)-\frac{1}{2}vw\biggr)\frac{\partial}{\partial v}+ \frac{1}{2}w^{2n-2}\frac{\partial}{\partial w}\biggr], \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где функция $h$ вычисляется в точке $(u,vw,w^2)$. Так как $h(0,0,0) \ne 0$, дивизор нулей поля $\Pi^{\ast}X$ локально совпадает с исключительным дивизором (заданным уравнением $\{w=0\}$). Более того, порядок обращения в нуль поля $\Pi^{\ast}X$ на исключительном дивизоре равен $2k+1$. В свою очередь, слоение $\Pi^{\ast}\mathscr{F}$ представляется векторным полем линейная часть которого в начале координат имеет вид $v\,\partial/\partial u+\lambda u\,\partial/\partial v$, так как $f(0,0,0)=0$ и $n \geqslant 2$ (здесь $\lambda=\partial g(0,0,0)/\partial x \ne 0$). Таким образом, собственные значения слоения $\mathscr{F}$ в начале координат равны $0$ и двум квадратным корням из $\lambda$, что эквивалентно наличию у $\Pi^*\mathscr{F}$ собственных значений $0$, $1$ и $-1$. Лемма доказана. Особенности слоений на $\mathbb{C}^3$ с однократным собственным значением $0$ называются седло-узлами коразмерности $1$. Полуполные векторные поля, ассоциированным слоением которых является седло-узел коразмерности $1$, подробно изучались в [32]. Однако рассматриваемый случай, когда ненулевые собственные значения лежат в области Зигеля, в [32] не изучался. Кроме того, в дальнейшем нам потребуются более конкретные результаты, отчасти ввиду того, что соответствующее векторное поле не обязательно является полуполным (см. ниже). Тем не менее читатель заметит, что наши рассуждения в доказательстве теоремы 4 нетривиально перекликаются с идеями из [32]. Напомним, что наша цель – показать, что поле $X$ не является полуполным в окрестности точки $(0,0,0)$, если $k\ne 0$ или $n >2$. Заметим, что это утверждение, вообще говоря, непосредственно не вытекает из того, что векторное поле $\Pi^{\ast}X$ не является полуполным в окрестности начала координат системы $(u,v,w)$, поскольку отображение $\Pi$ не взаимно однозначно. В самом деле, легко построить примеры полуполных векторных полей, которые при разветвлённых покрытиях переходят в поля, не являющиеся полуполными. Однако в нашем контексте ситуацию можно описать более точно. Рассмотрим регулярный лист $L$ слоения $\Pi^{\ast}\mathscr{F}$, наделённый временной формой $dT_{\Pi^{\ast}X}$, индуцированной векторным полем $\Pi^{\ast}X$. Пусть $ c\colon [0,1] \to L$ – открытый путь, по которому интеграл от формы $dT_{\Pi^{\ast}X}$ равен нулю, так что, в частности, поле $\Pi^{\ast}X$ не является полуполным (см. предложение 5). Если поле $X$ оказывается полуполным, то обязательно должно быть выполнено условие $\Pi(c(0))=\Pi(c(1))$. Поэтому идея доказательства теоремы 4 будет состоять в том, чтобы найти открытые пути $c$, удовлетворяющие следующим двум условиям:
Прежде чем двигаться дальше, напомним понятие асимптотической функции для формального ряда. Рассмотрим формальный ряд $\psi(t)$ от переменной $t \in \mathbb{C}$. Пусть $V$ – круговой сектор с углом раствора $\theta$, вершиной в точке $0 \in \mathbb{C}$ и малым радиусом. Голоморфная функция $\psi_V$, заданная на $V \setminus \{0\}$, называется асимптотической (на $V$) для формального ряда $\psi(t)$, если для любого $i \in \mathbb{N}$ и любого сектора $W \subset V$ с углом, строго меньшим $\theta$, и достаточно малым радиусом существует такая константа $\operatorname{Const}_{i,W}$, что
$$
\begin{equation*}
\|\psi_V(t)-\psi_i(t)\| \leqslant \operatorname{Const}_{i,W}\|t\|^{i+1},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\psi_i$ обозначает $i$-ю струю ряда $\psi$ в $0 \in \mathbb{C}$. Приведённое определение легко адаптируется к векторнозначным формальным рядам $\psi(t)=(\psi_1(t),\dots,\psi_n(t))$ и к функциям $\psi\colon V \to \mathbb{C}^n$. Это мы оставляем читателям. Следующая лемма взята нами из [15] (лемма 3.12). Лемма 9. Пусть $V \subset \mathbb{C}$ есть круговой сектор с вершиной в $0 \in \mathbb{C}$ и углом раствора $2\pi/l$, где $l$ – натуральное число. Предположим, что $\rho$ – голоморфная функция на $V \setminus \{0\}$, удовлетворяющая условию для некоторой константы $\operatorname{Const}$. Тогда для любого $r > 0$ существует такой открытый путь $c$, вложенный в пересечение сектора $V$ и диска радиуса $r$ с центром в $0 \in \mathbb{C}$, что интеграл от $1$-формы $dx/\rho(x)$ по этому пути равен нулю. Доказательство. Мы дадим лишь набросок доказательства, отсылая читателя к [30] за подробностями о влиянии членов высшего порядка. Сначала рассмотрим частный случай, когда $\rho(x)=x^{l+2}$. В этом случае функция $x \mapsto -1/((l+1)x^{l+1})$ является первообразной для $1$-формы $dx/\rho(x)$. Таким образом, достаточно выбрать путь $c$ вида $c(t)=x_0 e^{2i\pi t/(l+1)}$, где $x_0$ имеет достаточно малое абсолютное значение, так что путь $c$ лежит в $V$.
В общем случае старший член ряда $\rho(x)$ есть $x^{l+2}$. Фактически при малых значениях $\|x\|$ разность $\|\rho(x)-x^{l+2}\|$ ограничена функцией $\operatorname{Const}\|x^{l+3}\|$, которая имеет более высокий порядок, чем $x^{l+2}$. Тогда утверждение доказывается при помощи “техники возмущений” из работы [30]. Доказательство теоремы 4 распадается на два случая в зависимости от того, выполнено ли неравенство $h(0,0,0) \ne 0$. Доказательство теоремы 4 в случае $h(0,0,0) \ne 0$. В обозначениях леммы 8 рассмотрим векторное поле $\Pi^{\ast}X$ и заметим, что где
$$
\begin{equation}
Y=\bigl(v+wf(u,vw,w^2)\bigr)\frac{\partial}{\partial u}+ \biggl(g(u,vw,w^2)-\frac{1}{2}vw\biggr)\frac{\partial}{\partial v}+ \frac{1}{2}w^{2n-2}\frac{\partial}{\partial w}
\end{equation}
\tag{18}
$$
для некоторых $k$, $n$, $f$, $g$ и $h$ с теми же свойствами, что и выше. В частности, векторное поле $Y$ представляет слоение $\Pi^{\ast}\mathscr{F}$. Зафиксируем окрестность $U$ начала координат и листы $L$ слоения $\Pi^{\ast}\mathscr{F}$ вместе с открытыми путями $c\colon [0,1] \to L$, содержащимися в $U$ и удовлетворяющими двум условиям:
$$
\begin{equation*}
\int_c dT_{\Pi^{\ast}X}=0;\qquad \Pi(c(0)) \ne \Pi(c(1)).
\end{equation*}
\notag
$$
Существование искомых путей $c$ будет доказано с помощью теоремы Мальмквиста [23; теорема 1, с. 95] в предположении, что $n \geqslant 3$ или $k \geqslant 1$.
Для начала мы можем предположить, что $\lambda=\dfrac{\partial g}{\partial x}(0,0,0)=1$ с точностью до постоянного множителя, так что линейная часть поля $Y$ в начале координат имеет собственные значения $0$, $1$ и $-1$. Рассмотрим линейную замену координат $(\overline{u},\overline{v},\overline{w}) \mapsto (\overline{u}+\overline{v},\overline{u}-\overline{v},\overline{w})$. Векторное поле $\overline{Y}$, индуцированное из $Y$, в координатах $(\overline{u},\overline{v},\overline{w})$ имеет вид
$$
\begin{equation}
\overline{Y}=\biggl[\bigl(\overline{u}+ \overline{w}A(\overline{u},\overline{v},\overline{w})\bigr) \frac{\partial}{\partial\overline{u}}+\biggl(-\overline{v}+ \overline{w}B(\overline{u},\overline{v},\overline{w})+ C(\overline{u}+\overline{v})\biggr)\frac{\partial}{\partial\overline{v}}+ \frac{1}{2}\overline{w}^{2n-2}\frac{\partial}{\partial\overline{w}}\biggr]
\end{equation}
\tag{19}
$$
для некоторых голоморфных функций $A$ и $B$ с порядками нулей не ниже $1$ и голоморфной функции $C$ с порядком нуля не ниже $2$. Аналогично, векторное поле $\overline{\Pi^{\ast}X}$, индуцированное из $\Pi^{\ast}X$, в координатах $(\overline{u},\overline{v},\overline{w})$ удовлетворяет соотношению $\overline{\Pi^{\ast}X}=\overline{w}^{2k+1}h(\overline{u}+ \overline{v},\overline{u}-\overline{v},\overline{w})\overline{Y}$.
Заметим, что особенность в начале координат слоения, ассоциированного с полем $\overline{Y}$, является седло-узлом коразмерности $1$, т. е. имеет ровно одно нулевое собственное значение. Фактически этот седло-узел коразмерности $1$ является резонансным в том смысле, что ненулевые собственные значения $1$ и $-1$ являются резонансными. Этот тип особенности тесно связан с классическим результатом Мальмквиста о системах дифференциальных уравнений с нерегулярной особой точкой (см. [23]). Мы сформулируем несколько упрощённую версию результатов Мальмквиста, адаптированную к нашей задаче. Для $\delta \in \{0,1\}$ предположим, что задана система дифференциальных уравнений вида
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \overline{w}^{l+1}\dfrac{d\overline{u}}{d\overline{w}}= s_1\overline{u}+\beta_1(\overline{u},\overline{v},\overline{w}), \\ \overline{w}^{l+1}\dfrac{d\overline{v}}{d\overline{w}}= s_2\overline{v}+\delta\overline{u}+ \beta_2(\overline{u},\overline{v},\overline{w}), \end{cases}
\end{equation}
\tag{20}
$$
где $s_1,s_2 \ne 0$, а $\beta_1$, $\beta_2$ – сходящиеся ряды (и, в частности, выполнены условия (A) и (B) из [23]). Пусть теперь $\overline{\Psi}(\overline{w})= (\overline{\psi}_1(\overline{w}),\overline{\psi}_2(\overline{w}))$ – формальное решение рассматриваемой системы. Мальмквист показал, что для любого $\varepsilon > 0$ существует круговой сектор с углом раствора $2\pi/k-\varepsilon$ в плоскости переменной $\overline{w}$, относительно которой система (20) имеет единственное решение, являющееся асимптотическим для формального решения $\overline{\Psi}(\overline{w})$.
Система (20) естественным образом связана с седло-узловыми особенностями, как особенностями, задаваемыми векторным полем $\overline{Y}$. На самом деле векторное поле $\overline{Y}$ по сути эквивалентно системе дифференциальных уравнений
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} \overline{w}^{2n-2}\dfrac{d\overline{u}}{d\overline{w}}= \overline{u}+\overline{w} A(\overline{u},\overline{v},\overline{w}), \\ \overline{w}^{2n-2}\dfrac{d\overline{v}}{d\overline{w}}= -\overline{v}+\overline{w}B(\overline{u},\overline{v},\overline{w})+ C(\overline{u}+\overline{v}). \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, мы имеем $s_1=1$, $s_2=-1$ и $l=2n-3$, а формальное решение $\overline{\Psi}(\overline{w})= (\overline{\psi}_1(\overline{w}),\overline{\psi}_2(\overline{w}))$ получается из (первоначальной) формальной сепаратрисы $S$ (формальная параметризация которой имеет вид $\overline{w} \mapsto(\overline{w},\overline{\psi}_1(\overline{w}), \overline{\psi}_2(\overline{w}))$). Поскольку эти утверждения явно инвариантны относительно замен координат, мы можем вернуться к переменным $(u,v,w)$, в которых определено векторное поле $\Pi^{\ast}X$. Так как $w=\overline{w}$, то угол раствора сектора $V$ остаётся неизменным и формальная параметризация сепаратрисы $S$ будет обозначаться просто $\Psi(w)=(w,\psi_1(w),\psi_2(w))$ (где $\psi_1=\overline{\psi}_1+\overline{\psi}_2$ и $\psi_2=\overline{\psi}_1-\overline{\psi}_2$).
Зафиксируем сколь угодно малую окрестность начала координат $(u,v,w)$. Благодаря теореме Мальмквиста мы можем выбрать такое решение уравнения, задаваемого полем $Y$, которое на указанном выше секторе $V$ является асимптотическим для формального ряда $\Psi(w)=(w,\psi_1(w),\psi_2(w))$, задающего сепаратрису $S$ (напомним, что $w=\overline{w}$). В частности, имеются точки $w_0 \in \mathbb{C}$ со сколь угодно малым значением $\|w_0\|$ и листы слоения $\Pi^{\ast}\mathscr{F}$, на которые можно поднять пути вида $c(t)=(0,0,w_0 e^{2\pi it/(2n-3)})$ (относительно расслоения, заданного проекцией на ось $w$). Более того, эти поднятые пути содержатся в сколь угодно малых окрестностях начала координат при условии, что $\|w_0\|$ достаточно мало. Другими словами, выбрав удобный для наших целей круговой сектор $V$ с углом раствора $2\pi/(2n-3)$, мы можем “параметризовать” открытое подмножество некоторого листа $L$ слоения $\Pi^{\ast}\mathscr{F}$ отображением вида $w\mapsto (w,\psi_{1,V}(w),\psi_{2,V}(w))$, $w\in V$, где голоморфные функции $\psi_{i,V}$ являются асимптотическими на $V$ для формального ряда $\psi_i(w)$, $i=1,2$. Ограничение поля $\Pi^{\ast}X=w^{2k+1} h( u,v,w)Y$ на лист $L$ можно рассматривать в координате $w$, тем самым отождествляя его с одномерным векторным полем $Z(w)=\rho(w)\,\partial /\partial w$, заданным на $V$. Так как $h(0,0,0) \ne 0$ и формальные ряды $\psi_i(w)$ имеют нулевые линейные части (поскольку сепаратриса $S$ касается оси $w$), мы получаем, что с точностью до постоянного множителя функция $\rho$ имеет асимптотическое разложение вида где многоточие обозначает члены порядка выше $2n+2k-1$. Так как $k \geqslant 0$ и $V$ – это сектор с углом раствора $2\pi/(2n-3)$, из леммы 9 вытекает существование вложенного открытого пути $c \subset V$, интеграл по которому от временной формы, ассоциированной с полем $Z(w)$, равен нулю. Следовательно, векторное поле $\Pi^{\ast} X$ никогда не является полуполным (даже при $n=2$ и $k= 0$).Мы доказали, что векторное поле $\Pi^{\ast}X$ не является полуполным, но нам вcё ещё нужно показать, что исходное векторное поле $X$ не является полуполным. Именно в этой части рассуждения будет использовано предположение о том, что $n\geqslant3$ при $k=0$. Чтобы увидеть, что $X$ не является полуполным, нам нужно выяснить, не выполнено ли соотношение $c(0)^2=c(1)^2$ для вышеупомянутого пути $c\subset V$. Это означало бы, что разность аргументов величин $c(0)$ и $c(1)$ равна $\pi$. Однако выше было замечено (см. также лемму 9), что у построенного пути $c$ разность аргументов величин $c(0)$ и $c(1)$ можно сделать сколь угодно близкой к $2\pi/(2n+2k-2)=\pi/(n+k-1)$. Так как $n\geqslant2$, отсюда немедленно следует, что если $n\geqslant3$ или $k\geqslant 1$, то требуемый путь $c$ можно выбрать так, чтобы дополнительно было выполнено условие $c(0)^2\ne c(1)^2$. Теорема 4 в случае $h(0,0,0) \ne 0$ доказана. Теперь докажем теорему 4 в оставшемся случае. Доказательство теоремы 4 в случае $h(0,0,0)=0$. Рассмотрим слоение $\mathscr{F}$, заданное формулой (16). Каждая неприводимая компонента множества $\{h=0\}$ является гладкой, содержит сепаратрису $S$ и не инвариантна относительно слоения $\mathscr{F}$ (см. следствие 1 в разделе 7). В то время как $S$ является формальной сепаратрисой слоения $\mathscr{F}$ (и, следовательно, не содержится в его особом множестве), векторное поле $X$ тождественно обращается в нуль на $S$, поскольку это верно для $h$. Следовательно, рассуждение, использованное в предыдущем случае, здесь неприменимо, поскольку $X$ не индуцирует временную форму на $S$ (даже если формальная сепаратриса $S$ является сходящейся). В частности, нельзя гарантировать существование асимптотического листа, над которым $X$ индуцирует временную форму.
Чтобы преодолеть эту трудность, мы поступим следующим образом. Для начала произведём указанное выше раздутие $\Pi$ веса $2$, так что индуцированное слоение $\Pi^{\ast}\mathscr{F}$ будет иметь вид (18). Обозначим через $\widetilde{\{h=0\}}$ результат преобразования поверхности $\{h=0\}$ при раздутии $\Pi$, и пусть сепаратриса $S$ отождествляется с результатом её преобразования под действием $\Pi$. Плоскость $\{w=0\}$ инвариантна относительно слоения $\Pi^{\ast}\mathscr{F}$, и, кроме того, ограничение $\Pi^{\ast}\mathscr{F}$ на эту плоскость даёт слоение, имеющее особенность с собственными значениями $1$ и $-1$ в начале координат. В частности, отсюда следует, что $\Pi^{\ast}\mathscr{F}$ имеет в точности две сепаратрисы $S_1$ и $S_2$, лежащие в плоскости $\{w=0\}$. Более того, обе сепаратрисы $S_1$ и $S_2$ являются гладкими и взаимно трансверсальными. Действительно, они касаются соответствующих собственных векторов с собственными значениями $1$ и $-1$. Доказательство. Без ограничения общности мы можем считать, что множество $\{h=0\}$ неприводимо (иначе применим рассуждение к каждой неприводимой компоненте этой поверхности). Таким образом, поверхность $\{h=0\}$ гладкая и содержит формальную сепаратрису $S$, которая касается оси $z$. Значит, $h$ задаётся формулой $h(x,y,z)=ax+by+\cdots$, где по крайней мере одно из чисел $a$ и $b$ отлично от нуля, а многоточие обозначает члены более высокого порядка. Далее, напомним, что $\Pi(u,v,w)=(u,vw,w^2)=(x,y,z)$. Таким образом, если $a\ne 0$, то $\widetilde{h}(u,v,w)$ принимает вид $\widetilde{h}(u,v,w)=au+\cdots$ в координатах $(u,v,w)$. Следовательно, поверхность $\{\widetilde{h}=0\}$ касается плоскости $\{u=0\}$ в начале координат. Однако, как было замечено ранее, $S_1$ и $S_2$ лежат в плоскости $\{w=0\}$ и касаются плоскостей $\{u=v\}$ и $\{u=-v\}$ соответственно. Следовательно, утверждение верно при условии $a \ne 0$.
Предположим теперь, что $a=0$, так что $b\ne 0$. Если $h(x,0,0)$ тождественно обращается в нуль, то собственный прообраз поверхности $\{h=0\}$ (полученный отбрасыванием компоненты, связанной с исключительным дивизором) задаётся функцией, линейная часть которой равна $bv$. Таким образом, теперь соответствующая поверхность касается плоскости $\{v=0\}$ и снова не может содержать сепаратрис $S_1$ или $S_2$. Наконец, если $\tau(x)=h(x,0,0)$ не обращается в нуль тождественно, то пересечение указанной поверхности с плоскостью $\{w=0\}$ задаётся уравнением $\tau(x)=0$ и вновь не может содержать сепаратрис $S_1$ и $S_2$. Утверждение доказано. Оставшаяся часть доказательства состоит в обобщении на данную ситуацию некоторых хорошо известных свойств двумерных седло-узлов в духе работы [18]. Рассмотрим векторное поле $\Pi^{\ast}X=w^{2k+1}\widetilde{h}Y$, где $Y$ задаётся формулой (17). В силу приведённого выше утверждения векторное поле $\widetilde{h}Y$ регулярно в общих точках сепаратрисы $S_1$ (напомним, что $S_1$ – одна из двух сепаратрис слоения $\Pi^{\ast}\mathscr{F}$, лежащих в плоскости $\{w=0\}$). Если $T$ – локальная координата на $S_1$ вблизи начала координат, то ограничение векторного поля $\widetilde{h}Y$ на $S_1$ естественным образом можно отождествить с одномерным векторным полем вида $g(T)\,\partial/\partial T$, где $g$ – голоморфная функция. Кроме того, поскольку $h(0,0,0)=0$, отсюда следует, что $g(0)=g'(0)=0$, т. е. порядок нуля в начале координат ограничения векторного поля $\widetilde{h}Y$ на $S_1$ не менее $2$. Хотя векторное поле $\Pi^{\ast}X=w^{2k+1}[\widetilde{h} Y]$ тождественно обращается в нуль на $S_1 \subset \{w=0\}$, оно индуцирует аффинную структуру на $S_1$ (см. [18]). В данном случае эта аффинная структура имеет особую точку в начале координат, порядок которой совпадает с порядком нуля векторного поля $\widetilde{h}Y$. Другими словами, рассматриваемая аффинная структура задаётся вблизи $0 \in S_1$ векторным полем $g(T)\,\partial/\partial T$. Это происходит потому, что “индекс” сепаратрисы $S_1$ не влияет на вычисление индекса ветвления этой аффинной структуры; этот феномен аналогичен тому, что индекс Камачо–Сада сильно инвариантного многообразия седло-узла в размерности $2$ всегда равен нулю (см. [6], [18]). Для эффективного использования упомянутой выше аффинной структуры нам также понадобится отображение голономии для $S_1$. Обозначим через $\Sigma$ сечение, локально трансверсальное к сепаратрисе $S_1$, которое снабжено координатами $(\widetilde{z},w)$. Соответствующее отображение голономии $\sigma$ оставляет неподвижной точку $(0,0)$, так что его можно рассматривать как отображение из $(\mathbb{C}^2,0)$ в $(\mathbb{C}^2,0)$. В лемме 10 ниже утверждается, что $\sigma$ никогда не является тождественным отображением, хотя его производная в $(0,0)$ – тождественный оператор. Рассуждения из предыдущих двух абзацев приводят к следующему доказательству теоремы 4. Рассмотрим петлю $c \subset S_1$ такую, что $c(0)=c(1)=S_1 \cap \Sigma$. Обозначим через $\widetilde{c}_0$ поднятие петли $c$ на лист $L_0$, проходящий через точку $(\widetilde{z}_0,w_0) \in \Sigma$, достаточно близкую к $(0,0) \simeq \Sigma \cap S_1$. При $w_0 \ne 0$ векторное поле $\Pi^{\ast}X$ регулярно на $L_0$, так что определена соответствующая временная форма $dT_L$. Теперь тот факт, что аффинная структура, индуцированная полем $X$ на $S_1$, имеет особенность порядка не менее $2$ в начале координат, означает, что интеграл от формы $dT_L$ по пути $\widetilde{c}_0$ можно без ограничения общности считать равным нулю, с точностью до выбора точки $(\widetilde{z}_0,w_0)$ достаточно близкой к $(0,0)$. Точнее говоря, хотя рассматриваемый интеграл может не быть равным нулю, мы всегда можем “слегка возмутить” конечную точку пути $\widetilde{c}_0$ так, что интеграл формы $dT_L$ по новому пути будет действительно равен нулю. Более того, поскольку мы также можем предполагать, что $\sigma(\widetilde{z}_0,w_0)\ne (\widetilde{z}_0,w_0)$, путь $\widetilde{c}_0$ является открытым: возмущая конечную точку поднятия петли $c$, мы не можем сделать это поднятие замкнутым, так как точки $\widetilde{c}_0(0)$ и $\widetilde{c}_0(1)$ равномерно далеки друг от друга во внутренней метрике листа $L_0$. Резюмируя вышесказанное, видим, что интеграл от временной формы $dT_L$, индуцированной полем $\Pi^{\ast}X$ на листе $L_0$, обращается в нуль на открытом пути $\widetilde{c}_0$. В частности, векторное поле $\Pi^{\ast}X$ не является полуполным. Чтобы вывести отсюда, что исходное векторное поле $X$ также не является полуполным, необходимо проверить, что проекция $\Pi(\widetilde{c}_0)$ по-прежнему является открытым путём. Обозначим через $(\widetilde{z}_1,w_1)$ конечную точку пути $\widetilde{c}_0$ в $\Sigma$ (рассматриваемого как поднятие петли $c$, т. е. до возмущения его конечной точки). Так как отображение $\sigma$ касается тождественного, ясно, что если точка $(\widetilde{z}_0,w_0)$ стремится к $(0,0)$, то аргумент $w_1$ стремится к аргументу $w_0$. В частности, $w_1 \ne -w_0$, так что проекция $\Pi(\widetilde{c}_0)$ по-прежнему является открытым путём. Очевидно, что то же рассуждение применимо и после возможного “возмущения” конца пути $\widetilde{c}_0$. Это показывает, что само поле $X$ также не полуполное, и доказывает теорему 4. Чтобы завершить предыдущее рассуждение, нам необходимо доказать следующую лемму. Лемма 10. Отображение локальной голономии $\sigma$, соответствующее сепаратрисе $S_1$ слоения $\Pi^{\ast}\mathscr{F}$, не является тождественным. Кроме того, его производная в неподвижной точке, соответствующей сепаратрисе $S_1$, является тождественным оператором. Доказательство. Напомним, что слоение $\Pi^{\ast}\mathscr{F}$ задаётся в соответствующих координатах $(\overline{u},\overline{v},\overline{w})$ векторным полем $\overline{Y}$, определяемым формулой (19). Напомним также, что $A$ и $B$ являются голоморфными функциями порядка не менее $1$, а $C$ является голоморфной функцией порядка не менее $2$. В частности, собственные значения слоения $\Pi^{\ast}\mathscr{F}$ в начале координат суть $1$, $-1$ и $0$, что означает, что производная отображения $\sigma$ в неподвижной точке, соответствующей сепаратрисе $S_1$, является тождественным оператором. Остаётся проверить, что само отображение $\sigma$ не является тождественным.
Рассмотрим ограничение слоения $\Pi^{\ast}\mathscr{F}$ на инвариантную плоскость $\{\overline{w}=0\}$ и соответствующее ограничение отображения $\sigma$. Мы можем считать, что это ограничение отображения $\sigma$ является тождественным отображением, так как иначе доказывать нечего. Однако в этом случае ограничение слоения $\Pi^{\ast}\mathscr{F}$ на плоскость $\{\overline{w}=0\}$ линеаризуемо в силу неопубликованного результата Ж.-Ф. Маттеи (обобщения этого результата были опубликованы в [13] и [31]). Таким образом, с точностью до замены координат $(u,v,z)$ можно считать, что слоение $\Pi^{\ast}\mathscr{F}$ задаётся векторным полем вида
$$
\begin{equation*}
\bigl(u+zF(u,v,z)\bigr)\frac{\partial}{\partial u}+ \bigl(-v+zG(u,v,z)\bigr)\frac{\partial}{\partial v}+ z^n \frac{\partial}{\partial z}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
а сепаратриса $S_1$ задаётся уравнениями $\{u=z=0\}$. Положим $v(t)=e^{2\pi i t}$; тогда $dv/dt=2\pi i e^{2\pi i t}$. Так как
$$
\begin{equation*}
\frac{du}{dt}=\frac{du}{dv}\,\frac{dv}{dt} \quad\text{и} \quad \frac{dz}{dt}=\frac{dz}{dv}\,\frac{dv}{dt}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
мы получаем систему уравнений
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \bigl(-v zG(u,v,z)\bigr)\dfrac{du}{dt}=\bigl(u+zF(u,v,z)\cdot 2\pi i v, \\ \bigl(-v+zG(u,v,z)\bigr)\dfrac{dz}{dt}=z^n\cdot 2\pi i v. \end{cases}
\end{equation}
\tag{21}
$$
Теперь применим стандартный метод вычисления отображений голономии при помощи степенных рядов. Положим
$$
\begin{equation*}
F(u,v,z)=\sum_{k,l \geqslant 0} F_{kl} u^k z^l\quad\text{и}\quad G(u,v,z)=\sum_{k,l \geqslant 0} G_{kl} u^k z^l,
\end{equation*}
\notag
$$
где коэффициенты $F_{kl}$ и $G_{kl}$ являются функциями переменной $v$. Аналогично, положим
$$
\begin{equation*}
u=\sum_{i+j \geqslant 1} a_{ij}(t)u_0^iz_0^j\quad\text{и}\quad z=\sum_{i+j \geqslant 1} b_{ij}(t)u_0^iz_0^j.
\end{equation*}
\notag
$$
В этих обозначениях отображение голономии $\sigma$ имеет вид Так как при $t=0$ соответствующее отображение является тождественным, мы имеем $a_{10}(0)=b_{01}(0)=1$, а остальные коэффициенты $a_{ij}$ и $b_{ij}$ равны нулю.
С другой стороны, очевидно, что
$$
\begin{equation}
\frac{du}{dt}=\sum_{i+j \geqslant 1}a_{ij}'(t)u_0^i z_0^j\quad\text{и}\quad \frac{dz}{dt}=\sum_{i+j \geqslant 1}b_{ij}'(t)u_0^i z_0^j.
\end{equation}
\tag{22}
$$
Подставляя эту формулу для $dz/dt$ в (21) и используя соотношение $v=e^{2\pi i t}$, получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber 2\pi i e^{2\pi it}\biggl(\,\sum_{i+j \geqslant 1}b_{ij}u_0^iz_0^j\biggr)^n&= \biggl[-e^{2\pi i t}+\sum_{k+l \geqslant 0} G_{kl}(v) \biggl(\,\sum_{i+j \geqslant 1} a_{ij}u_0^iz_0^j\biggr)^k \\ &\qquad \times \biggl(\,\sum_{i+j \geqslant 1} b_{ij}u_0^iz_0^j\biggr)^{l+1}\biggr] \biggl(\,\sum_{i+j \geqslant 1}b_{ij}'(t)u_0^i z_0^j\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{23}
$$
Сравнивая мономы от $u_0$, $z_0$ в (23), мы видим, что в левой части этого соотношения нет мономов $u_0^i z_0^j$, $i+j < n$, с ненулевыми коэффициентами. Отсюда следует, что $b_{10}'(t)=b_{01}'(t)=0$, т. е. эти коэффициенты постоянны как функции от $t$. Из начальных условий при $t=0$ мы получаем, что $b_{10}(t)=0$, а $b_{01}(t)=1$ для любого $t\in \mathbb{R}$. Отсюда по индукции заключаем, что коэффициент $b_{i+j}(t)$ постоянен и равен нулю при $2 \leqslant i+j < n$. Наконец, для $b_{0n}$ справедливо соотношение Так как для любого $t \in \mathbb{R}$ выполнены равенства $b_{01}(t)=1$ и $b_{ij}'(t)=0$ при $i+j \leqslant n-1$, мы получаем, что $b_{0n}'(t)=-2\pi i$, и, следовательно, $b_{0n}(t)=-2\pi i t$, так как $b_{0n}(0)=0$. В частности, откуда следует, что $\sigma$ не является тождественным отображением. Лемма доказана. Завершим этот раздел доказательством теоремы B и её следствий. Доказательство теоремы B. Пусть $X$ – полуполное векторное поле на $(\mathbb{C}^3,0)$, а $\mathscr{F}$ – ассоциированное с ним слоение. Предположим, что утверждение 2) в теореме B не имеет места, т. е. $\mathscr{F}$ нельзя превратить в слоение, все особые точки которого элементарны, с помощью раздутий с центрами на особых множествах. Тогда из теоремы 1 следует, что существует последовательность одноточечных раздутий, начинающаяся в начале координат, которая приводит к слоению $\widetilde{\mathscr{F}}$ с устойчиво нильпотентной особой точкой $p$ и формальной сепаратрисой $S$ в точке $p$. Соответствующее преобразованное векторное поле будет обозначаться через $\widetilde{X}$.
Далее будем рассуждать от противного, предположив, что линейная часть поля $X$ в начале координат равна нулю. Тогда векторное поле $\Pi_1^{\ast}X$, полученное из $X$ после первого раздутия, тождественно обращается в нуль на исключительном дивизоре. Поскольку последующие раздутия всегда производятся в особых точках слоения и эти точки содержатся в дивизоре нулей рассматриваемых векторных полей, дивизор нулей поля $\widetilde{X}$ непуст в окрестности точки $p$. Поэтому линейная часть поля $X$ равна нулю в точке $p$, так что из теоремы 4 следует, что поле $X$ не является полуполным. Полученное противоречие доказывает теорему B. Замечание 4. Предыдущее доказательство проясняет, почему мы не могли бы обойтись без первого условия в теореме 2 (о том, что каждое взвешенное раздутие строго инвариантно относительно рассматриваемой квазиоднородной фильтрации), если бы доказывали теорему B с помощью теоремы 2. Если бы особенности ассоциированного слоения были “редуцированы” некоторым произвольным выбором взвешенных раздутий, то не было бы ясно, остаётся ли прообраз векторного поля $X$ голоморфным с непустым дивизором нулей в окрестности устойчиво нильпотентной особенности $p$. Этот вопрос не возникает в рассуждении выше, поскольку там используются только стандартные раздутия с центрами в особых множествах соответствующих слоений. Следствие C непосредственно вытекает из теоремы B, а следствие D требует дополнительных пояснений. Доказательство следствия D. Строго говоря, это утверждение является скорее довеском к доказательству теоремы 4, чем следствием теоремы B. Рассмотрим компактное многообразие $M$ и голоморфное векторное поле $X$ на $M$. Обозначим через $\mathscr{F}$ сингулярное слоение, ассоциированное с $X$, и, рассуждая от противного, предположим, что $\mathscr{F}$ имеет особую точку $p$, которую нельзя разрешить последовательностью раздутий, аналогично теореме B. Поскольку такие конечные последовательности (одноточечных) раздутий, как в теореме B, не меняют ни компактности многообразия $M$, ни голоморфности поля $X$, мы можем предположить, что $X$ допускает нормальную форму (16).
Теперь рассмотрим кривую особых точек слоения $\mathscr{F}$, локально заданную уравнением $\{y=z=0\}$. Поскольку $M$ компактно, эта кривая особых точек $\mathscr{C}$ определена глобально и компактна в $M$. Кроме того, с точностью до разрешения её особых точек (как кривой) мы можем считать кривую $\mathscr{C}$ гладкой. Таким образом, к кривой $\mathscr{C}$ можно применить глобальное раздутие веса $2$, как в лемме 8. Это взвешенное раздутие снова рассматривается как отображение с двумя прообразами, а не как бирациональное отображение. Тем не менее многообразие $\widetilde{M}$, получаемое в результате раздутия, остаётся компактным. Аналогично, вычисления в доказательстве леммы 8 показывают, что векторное поле $\Pi^{\ast}X$, получаемое как прообраз $X$, по-прежнему голоморфно. Следовательно, поле $\Pi^{\ast}X$ полно на $\widetilde{M}$. Таким образом, ограничение поля $\Pi^{\ast}X$ на открытое множество $U\subset\widetilde{M}$ является полуполным векторным полем. Это приводит к противоречию, так как в доказательстве теоремы 4 было замечено, что векторное поле $\Pi^{\ast}X$ никогда не является полуполным в окрестности седло-узла коразмерности $2$, возникающего в связи с преобразованием сепаратрисы $S$. Это завершает доказательство следствия D. 6. Примеры и дополненияВ первом пункте этого раздела подробно обсуждаются два примера, иллюстрирующих соответственно теорему B и теорему 1. Пункт 6.2 посвящён уточнению теоремы 4, которое, конечно, также может быть использовано для некоторого уточнения теоремы B. 6.1. Два примераСначала приведём пример полного векторного поля с устойчиво нильпотентной особой точкой, обосновывающий утверждение, сделанное во введении. Затем мы дадим явный пример устойчиво нильпотентной особенности, который нельзя свести к примерам Санчо и Санца. Рассуждение, показывающее, что этот пример не может быть сведён к примеру Санчо и Санца, является элементарным и отличается от проведённого в [26]. Из обсуждения в разделах 3 и 4 ясно, что слоение $\mathscr{F}$, ассоциированное с векторным полем $Z$, имеет устойчиво нильпотентную особую точку в начале координат, которая связана со сходящейся сепаратрисой $\{y=z=0\}$. Таким образом, сепаратриса, порождающая последовательность бесконечно близких (нильпотентных) особых точек, в этом случае является сходящейся и, следовательно, к ней можно применить раздутие, разрешающее рассматриваемую особенность. Тем не менее читатель заметит, что наше определение устойчиво нильпотентной особой точки учитывает только раздутия с центрами в особых множествах слоений, так что это наблюдение не имеет большого значения. Докажем, что $Z$ можно продолжить до полного векторного поля на подходящем открытом многообразии $M$. Для начала отметим, что координата $x(T)$ удовлетворяет соотношению так что $x(T)$ определено для любого $T \ne 1/x_0$. Далее, $\dfrac{d^2 y}{dt^2}=z\dfrac{dx}{dt}+x\dfrac{dz}{dt}$ , и векторное поле $Z$ даёт уравнение которое имеет регулярную особую точку при $T=1/x_0$ и неособо при остальных значениях $T$. Теперь из классической теории Фробениуса (см., например, [22]) следует, что функция $y (T)$ голоморфна и определена при всех $T \in \mathbb{C}$. Векторное поле $Z$ даёт также уравнение Так как функция $y(T)$ голоморфна на всём $\mathbb{C}$, функция $z(T)$ также голоморфна на всём $\mathbb{C}$.Подводя итог вышесказанному, получаем, что интегральная кривая векторного поля $Z$ с начальным условием $\phi(0)=(x_0,y_0,z_0)$ определена для всех $T \in \mathbb{C} \setminus \{1/x_0\}$. Более того, при $T \to 1/x_0$ координата $x(T)$ уходит на бесконечность, а $y(T)$ и $z(T)$ голоморфны в точке $T=1/x_0$. В‘частности, векторное поле $Z$ полуполно на всём $\mathbb{C}^3$.Чтобы показать, что $Z$ можно продолжить до полного векторного поля на подходящем многообразии $M$, потребуется немного больше работы. Обозначим через $\mathscr{F}$ слоение, ассоциированное с $Z$ на $\mathbb{C}^3$. Заметим, что плоскость $\{x=0\}$ инвариантна относительно $\mathscr{F}$, а $\mathscr{F}$ трансверсально слоям проекции $\pi_1(x,y,z)=x$ вне плоскости $\{x=0\}$. Ось $x$ также инвариантна относительно $\mathscr{F}$, а само слоение $\mathscr{F}$ можно рассматривать как линейную систему от переменной $x$, а именно: $dy/dx=z/x$ и $dz/dx=y/x^2-z/x$ (см. [21; гл. III]). Пусть $L$ – лист слоения $\mathscr{F}$, не содержащийся в плоскости $\{x=0\}$. Ограничение проекции $\pi_1$ на $L$ задаёт локальный диффеоморфизм из $L$ на ось $x$. В свете предыдущего обсуждения этот локальный диффеоморфизм можно использовать для подъёма путей, лежащих на множестве $\{y=z=0\} \setminus \{(0,0,0)\}$. Аналогично, благодаря описанию $\mathscr{F}$ как линейной системы, параллельный перенос вдоль листов слоения $\mathscr{F}$ индуцирует линейные отображения между слоями проекции $\pi_1$ (изоморфными $\mathbb{C}^2$). Наконец, голономия (монодромия), соответствующая инвариантной оси $x$, является тождественным отображением (см. лемму 13 ниже). Итак, мы доказали следующее утверждение. Лемма 11. Вне плоскости $\{x=0\}$ листы слоения $\mathscr{F}$ являются графиками над проколотой осью $x$. В частности, пространство этих листов естественным образом отождествляется с пространством $\mathbb{C}^2$ с координатами $(y,z)$. Очевидно, что ограничение векторного поля $Z$ на инвариантную плоскость $\{x=0\}$ является полным. Чтобы получить продолжение поля $Z$ до полного векторного поля на подходящем открытом многообразии $M$, поступим следующим образом. Зафиксируем лист $L$ слоения $\mathscr{F}$ такой, что $L \subset \mathbb{C}^3 \setminus \{x=0\}$, и обозначим ограничение $Z$ на $L$ через $Z_L$. Рассмотрим параметризацию листа $L$ вида $x \mapsto (x,A(x),B(x))$, где $x \in \mathbb{C}^{\ast}$ и где $A$ и $B$ являются голоморфными функциями. В координате $x$ одномерное векторное поле $Z_L$ принимает вид $x^2\,\partial/\partial x$, и, таким образом, оно может быть преобразовано в полное векторное поле добавлением к $L$ “бесконечно удалённой точки” (т. е. точки $\{u=0\}$ в координате $u=1/x$). Следовательно, чтобы получить многообразие $M$, мы просто добавляем “бесконечно удалённую точку” к каждому листу $L$ слоения $\mathscr{F}$ ($L \not\subset \{ x=0\}$). Описание листов слоения $\mathscr{F}$ как линейной системы и голоморфность функций $y(T)$ и $z(T)$ при $T \to 1/x_0$ гарантирует, что полученное пространство может быть наделено структурой комплексного многообразия $M$. Более того, векторное поле $Z$ естественным образом полно на $M$, как и требуется. Пример 3. Рассмотрим росток слоения $\mathscr{F}_{\lambda}$, заданного векторным полем где $\lambda \in \mathbb{C}$. Как уже упоминалось, первые примеры устойчиво нильпотентных особенностей получили Санчо и Санц. Однако представляется интересным дать новый явный пример вместе с доказательством того, что его нельзя свести к примерам Санчо и Санца. Для начала заметим, что при $\lambda\ne 0$ ни векторное поле $X_{\lambda}$, ни векторные поля, которые рассматривали Санчо и Санц (см. раздел 4), не имеют нормальной формы, указанной в теореме 3. Тем не менее выполнено следующее утверждение. Лемма 12. Слоение, ассоциированное с векторным полем $X_{\lambda}$, имеет формальную сепаратрису, проходящую через начало координат. Эта сепаратриса является строго формальной при $\lambda \ne 0$. Доказательство. Заметим, что листы слоения, ассоциированного с векторным полем $X_{\lambda}$, можно рассматривать как решения следующей системы дифференциальных уравнений:
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \dfrac{dx}{dz}=\dfrac{y-\lambda z}{z^3}, \\ \dfrac{dy}{dz}=\dfrac{x}{z^2}\,. \end{cases}
\end{equation}
\tag{24}
$$
Будем искать формальное решение $\varphi(z)=(x(z),y(z))$ системы (24) в виде $x(z)=\displaystyle\sum_{k \geqslant 0}a_k z^k$ и $y(z)=\displaystyle\sum_{k \geqslant 0}b_k z^k$. Подставляя эти выражения в первое из уравнений (24) и сравнивая левую и правую части, мы получаем
$$
\begin{equation*}
b_0=0, \quad b_1=\lambda,\quad b_2=0 \quad \text{и} \quad b_{k+3}=(k+1)a_{k+1} \quad\text{при } k \geqslant 0.
\end{equation*}
\notag
$$
В свою очередь, подстановка указанных выражений во второе из уравнений (24) и сравнение левой и правой частей дают Следовательно, $b_0=b_2=0$, $b_1=\lambda$ и при $k \geqslant 0$. Отсюда следует, что для любого $l \geqslant 0$ коэффициенты $b_{3l}$ и $b_{3l+2}$ ряда $y(z)$ равны нулю. Более того, при $l \geqslant 1$ имеем В частном случае $\lambda=0$ рассматриваемые ряды тождественно обращаются в нуль. Это означает, что кривая, заданная в координатах $(x,y,z)$ уравнениями $\{x=0,y=0\}$, является сходящейся сепаратрисой слоения $\mathscr{F}_0$. Таким образом, далее мы можем предполагать, что $\lambda \ne 0$.
Нам необходимо проверить, что ряд $y=y(z)=\displaystyle\sum_{k \geqslant 0}b_k z^k$ расходится, т. е. отображение $z \mapsto (x(z),y(z),z)$ задаёт строго формальную сепаратрису слоения $\mathscr{F}_{\lambda}$. Для этого заметим, что ряд $y(z)$ можно записать в виде $z \displaystyle\sum_{k \geqslant 0} c_k z^{3k}$, где $c_0=0$ и $c_k=\lambda \displaystyle\prod_{j=1}^k \dfrac{(3j-1)!}{(3j-3)!}$ . Рассматривая новую переменную $w=z^3$, получаем, что радиус сходимости этого ряда равен Лемма доказана.Подведём итог предыдущему рассуждению: ось $z$ инвариантна относительно слоения $\mathscr{F}_{\lambda}$ при $\lambda=0$. При $\lambda \ne 0$ слоение $\mathscr{F}_{\lambda}$ допускает строго формальную сепаратрису $S_{\lambda}$, параметризованную тройкой формальных рядов
$$
\begin{equation*}
z \to \varphi(z)=\biggl(\,\sum_{k \geqslant 1}a_k z^k, \sum_{k \geqslant 1} b_k z^k,z\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Ясно, что $\varphi'(z) \ne (0,0,0)$, так что сепаратриса $S_{\lambda}$ является формально гладкой. В случае $\lambda=0$ слоение $\mathscr{F}_0$ удовлетворяет условиям теоремы 3 и поэтому имеет устойчиво нильпотентную особенность в нуле. В случае $\lambda \ne 0$ заметим, что сепаратриса $S_{\lambda}$ не касается оси $z$. Однако, рассуждая, как в лемме 7, можно показать, что существует полиномиальная замена координат $H$ вида $H(\widetilde{x},\widetilde{y},z)= \bigl(h_1(\widetilde{x},z),h_2(\widetilde{y},z),z\bigr)$, в результате которой формальная сепаратриса $S_{\lambda}$ становится касательной к оси $z$ (со сколь угодно большим порядком касания). Тем самым слоение $\mathscr{F}_{\lambda}$ приводится к нормальной форме, указанной в теореме 3, и порождает устойчиво нильпотентную особенность со строго формальной сепаратрисой. Независимо от того, равно $\lambda$ нулю или нет, кратность $\operatorname{mult}(\mathscr{F}_{\lambda},S_{\lambda})$ слоения $\mathscr{F}_{\lambda}$ вдоль сепаратрисы $S_{\lambda}$ равна $3$. Это отличает наш пример от примеров Санчо и Санца, в которых соответствующая кратность всегда равна $2$. Поскольку кратность вдоль формальной сепаратрисы, очевидно, инвариантна относительно (формальных) замен координат, особенности слоения $\mathscr{F}_{\lambda}$ не сопряжены с особенностями Санчо и Санца. Кроме того, как показано в разделах 3 и 4, величина $\operatorname{mult}(\mathscr{F}_{\lambda},S_{\lambda})$ инвариантна относительно раздутий с центрами на особых множествах соответствующих слоений. Следовательно, особенности слоения $\mathscr{F}_{\lambda}$ не могут привести к особенности из семейства Санчо и Санца посредством какой-либо конечной последовательности раздутий, описанных выше. 6.2. Локальная голономия и полуполные устойчиво нильпотентные особенностиВ заключение этого раздела мы ещё раз обратимся к полуполным векторным полям. Предположим, что $X$ – векторное поле, ассоциированное слоение $\mathscr{F}$ которого обладает устойчиво нильпотентной особенностью в точке $(0,0,0)\in\mathbb{C}^3$. Предположим также, что $X$ полуполно. Благодаря теореме 4 векторное поле $X$ имеет нормальную форму из теоремы 3 с $n=2$. Обозначая через $S$ формальную сепаратрису слоения $\mathscr{F}$, порождающую последовательность бесконечно близких нильпотентных особенностей, имеем $\operatorname{mult}(X,S)=\operatorname{mult}(\mathscr{F},S)=2$. Так что такие векторные поля очень близки к примерам Санчо и Санца. Это поднимает проблему классификации полуполных векторных полей из семейства Санчо и Санца. В дальнейшем мы будем проводить эту классификацию только в частном случае $\lambda=0$, т. е. когда формальная сепаратриса $S$ действительно сходится. Наша цель при этом – описать роль, которую играет голономия этой сепаратрисы, что соотносится с некоторыми идеями из доказательства теоремы 4 для случая $h(0,0,0)=0$. Более того, имея дело только со случаем сходящихся сепаратрис, мы избегаем некоторых технических трудностей, которые потребовали бы более длительного обсуждения. Такое обсуждение, будучи интересным само по себе, не так уж нужно с точки зрения данной статьи. Наконец, отметим, что доказываемая ниже лемма 13 уже использовалась при изучении векторного поля $Z=x^2\,\partial/\partial x+ xz\,\partial/\partial y+(y-xz)\,\partial/\partial z$. Начнём с напоминания некоторых моментов, связанных с доказательством теоремы 4. Произведя раздутие веса $2$, мы нашли содержащийся в листе раздутого слоения $\Pi^{\ast}\mathscr{F}$ открытый путь $c$, интеграл по которому от соответствующей временной формы равен нулю. Хотя это означает, что векторное поле $\Pi^{\ast}X$ не является полуполным, мы не смогли заключить отсюда, что $\Pi(c(0)) \ne \Pi(c(1))$ при $n=2$ и $k=0$. Таким образом, при $n=2$ и $k=0$ мы не можем исключить возможность, что векторное поле $X$ является полуполным. Рассмотрим эту задачу для семейства Санчо и Санца с $\lambda=0$, т. е. для семейства векторных полей вида
$$
\begin{equation*}
X=x^2\frac{\partial}{\partial x}+(xz-\alpha xy)\frac{\partial}{\partial y}+ (y-\beta xz)\frac{\partial}{\partial z}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим для дальнейшего, что случай $\alpha=0$ и $\beta=1$ соответствует рассмотренному ранее векторному полю $Z$. Пусть $V$ – окрестность начала координат, в которой поле $X$ предполагается полуполным. Обозначим через $S$ сепаратрису слоения $\mathscr{F}$, заданную инвариантной осью $\{y=z=0\}$. Зафиксируем локально трансверсальное сечение $\Sigma_r$, проходящее через базовую точку $(r,0,0) \in V$. Обозначим через $L_p$ лист слоения $\mathscr{F}$, проходящий через точку $(r,p)$, где $p \in \Sigma_r$ (с очевидными отождествлениями). Если точка $p$ достаточно близка к $(0,0)$, то замкнутый путь $c(t)=(re^{2\pi i t},0,0)$ можно поднять относительно проекции на ось $x$, получив путь $c_p$, лежащий на листе $L_p$. Кроме того, мы имеем где $dT_L$ обозначает временную форму, индуцированную полем $X$ на листе $L_p$. Таким образом, векторное поле $X$ не может быть полуполным, если отображение голономии, задаваемое слоением $\mathscr{F}$ и сепаратрисой $S$, не является тождественным. Далее, справедливо следующее утверждение.Лемма 13. Пусть поле $X$ и слоение $\mathscr{F}$ таковы, как описано выше. Тогда отображение голономии, задаваемое $\mathscr{F}$ и сепаратрисой $S$, является тождественным в том и только том случае, когда $\alpha,\beta \in \mathbb{Z}$ и $\alpha \ne \beta$. Доказательство. Будем использовать предыдущие обозначения и положим $c_p(t)=(x(t),y(t),z(t))$, тогда $x(t)=r e^{2\pi i t}$. Функции $y(t)$ и $z(t)$ удовлетворяют следующим дифференциальным уравнениям:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{dy}{dt}&=\frac{dy}{dx}\,\frac{dx}{dt}= \frac{xz-\alpha xy}{x^2}\cdot 2\pi i x=2\pi i (z-\alpha y), \\ \frac{dz}{dt}&=\frac{dz}{dx}\,\frac{dx}{dt}= \frac{y-\beta xz}{x^2}\cdot 2\pi i x=2\pi i (e^{-2\pi i t}y-\beta z). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В матричном виде имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{bmatrix} \dot{y} \\ \dot{z} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -2\pi i \alpha & 2\pi i \\ 2\pi i e^{-2\pi i t} & -2\pi i \beta \end{bmatrix}\,\begin{bmatrix} y \\ z \end{bmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Решение этой (неавтономной) системы может быть легко получено в терминах матрицы коэффициентов (в дальнейшем обозначаемой через $A(t)$). В частности,
$$
\begin{equation*}
\begin{bmatrix} y(1) \\ z(1) \end{bmatrix}=\exp\biggl\{\int_0^1 A(s) \, ds\biggr\}\begin{bmatrix} y(0) \\ z(0) \end{bmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
где Следовательно, матрица $B=\displaystyle\int_0^1 A(s)\,ds$ имеет два различных собственных значения тогда и только тогда, когда $\alpha \ne \beta$. При $\alpha=\beta$ матрица $e^B$ имеет вид так что отображение голономии задаётся как $(y,z) \mapsto e^{-2\pi i \alpha}(y+2\pi i z, z)$, и поэтому оно никогда не является тождественным.
Предположим, что $\alpha \ne \beta$. Тогда мы имеем $B=PDP^{-1}$, где Следовательно, Эта матрица (а значит, и голономия) является тождественной тогда и только тогда, когда $\alpha,\beta \in \mathbb{Z}$. Лемма доказана.Лемма 13 гарантирует, что поле $X$ не является полуполным, если $\alpha=\beta$ или если один из двух параметров $\alpha$ или $\beta$ не является целым числом. Обратное утверждение содержится в следующей лемме. Лемма 14. Векторное поле является полуполным для любых $\alpha,\beta\in \mathbb{Z}$, $\alpha \ne \beta$. Доказательство. Рассуждение очень похоже на то, которое использовалось для векторного поля $Z$ ($\alpha=0$ и $\beta=1$). Рассмотрим интегральную кривую $(x (T),y (T),z(T))$ поля $X$. Ясно, что $x(T)=x_0/(1-x_0T)$, что является однозначной функцией на $\mathbb{C}\setminus\{1/x_0\}$. Таким образом, необходимо проверить, что $y=y(T)$ и $z=z(T)$ также являются однозначными функциями $T$. Поскольку это очевидно для интегральных кривых, содержащихся в инвариантном множестве $\{x=0\}$, рассмотрим оставшиеся орбиты поля $X$. Эти оставшиеся орбиты или, скорее, листы ассоциированного слоения можно локально параметризовать с помощью $x$, т. е. отображением вида $x\mapsto (x,y(x),z(x))$. Поскольку $x$ является однозначной функцией $T$, необходимо показать, что $y(x)$ и $z(x)$ являются однозначными функциями $x$. Для этого заметим, что $dy/dx$ и $dz/dx$ являются решениями линейной системы
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{z}{x}-\alpha \dfrac{y}{x}\,, \\ \dfrac{dz}{dx}=\dfrac{y}{x^2}-\beta \dfrac{z}{x}\,. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Эта система не имеет особенностей при $x \ne 0$. Вдобавок параллельный перенос вдоль листов приводит к линейным отображениям. В частности, отображение голономии, возникающее при обходе вокруг точки $\{x=0\}$, само линейно. Однако это последнее отображение является тождественным по лемме 13. Таким образом, функции $y(x)$ и $z(x)$ являются однозначными функциями переменной $x \in \mathbb{C}^{\ast}$ (дополнительные подробности см. в [21; гл. III]). Лемма доказана. 7. Нормирования и доказательства предложения 4 и теоремы AБо́льшую часть этого раздела занимает доказательство предложения 4. Как уже упоминалось, это доказательство в значительной степени опирается на работу Кано, Роша и Спиваковского [9]. В свою очередь, доказательство теоремы A будет легко следовать из наших предыдущих результатов в сочетании с теоремой Пильтана [28]. Пусть $\mathscr{F}$ – голоморфное слоение, заданное вблизи $(0,0,0) \in \mathbb{C}^3$. Особое множество слоения $\mathscr{F}$ будет обозначаться через $\operatorname{Sing}(\mathscr{F})$. На протяжении этого раздела мы рассматриваем только последовательности (стандартных) раздутий
$$
\begin{equation}
\mathscr{F}=\mathscr{F}_0 \xleftarrow{\Pi_1} \mathscr{F}_1 \xleftarrow{\Pi_2} \cdots\xleftarrow{\Pi_k} \mathscr{F}_k,
\end{equation}
\tag{25}
$$
удовлетворяющие следующему условию: центром каждого раздутия $\Pi_i$ является либо точка в $\operatorname{Sing}(\mathscr{F})$, либо гладкая аналитическая кривая, содержащаяся в $\operatorname{Sing}(\mathscr{F})$. С этого момента мы также предполагаем, что слоение $\mathscr{F}$ такое, как описано в предложении 4. Другими словами, никакая последовательность раздутий (25) не приводит к слоению, все особые точки которого элементарны. Начнём с уточнения стандартной терминологии, чтобы избежать недопонимания. Пусть $\mathscr{F}$ такое, как указано выше, и обозначим через $\nu$ нормирование над $\mathbb{C}$. Авторы работы [9] во многом следуют подходу Зариского к разрешению особенностей. Основная идея этого подхода состоит в том, чтобы попытаться упростить особенности слоения $\mathscr{F}$ только в центре нормирования $\nu$, вместо того, чтобы упрощать все особенности. Чтобы понять смысл этого утверждения, рассмотрим раздутие $\pi$ объемлющего многообразия, на котором определены $\mathscr{F}$ и $\nu$. Нормирование $\nu$ может быть продолжено (индуцировано при помощи $\pi$) до нормирования на раздутом многообразии. Центр этого нового нормирования, которое мы будем по-прежнему обозначать $\nu$, естественно содержится в раздутом многообразии, на котором также определено раздутое слоение $\mathscr{F}_1$. В качестве первого шага к (глобальному) упрощению особых точек слоения $\mathscr{F}$ мы можем рассматривать только те особенности слоения $\mathscr{F}_1$, которые лежат в центре соответствующего продолженного нормирования $\nu$. Как обычно принято в литературе, в дальнейшем мы, допуская некоторую вольность, будем называть центр продолженного нормирования центром $\nu$. Другими словами, всякий раз, когда рассматривается последовательность раздутий, говоря о центре нормирования $\nu$, мы имеем в виду центр продолженного нормирования (которое по-прежнему будет обозначаться $\nu$) на каждом этапе рассматриваемой последовательности раздутий. В этом смысле так называемая “локальная” проблема униформизации (разрешения) слоений состоит в нахождении последовательности раздутий вида (25), приводящей к слоению $\mathscr{F}_k$, все особые точки которого, лежащие в центре нормирования $\nu$, элементарны. Что касается статьи [9], то первая проблема, на которую необходимо обратить внимание, – это выбранная там стратегия по превращению локальных результатов (в указанном выше смысле) в глобальные. Эта стратегия, основанная на теореме Пильтана о склейке (см. [28]), заключается в следующем. Предположим, что для каждого заданного нормирования $\nu$ слоение $\mathscr{F}$ может быть преобразовано последовательностью раздутий (25) в новое слоение $\mathscr{F}'$, все особенности которого, лежащие в центре нормирования $\nu$, лог-элементарны (соответственно элементарны). Тогда $\mathscr{F}$ также можно превратить в слоение $\mathscr{F}''$, все особые точки которого лог-элементарны (соответственно элементарны). Это утверждение доказано в [9; ч. III]. Доказательство сводится к проверке того, что в этом случае выполняются аксиомы Пильтана [28]. В то время как авторы статьи [9] сосредотачиваются на случае, когда особенности являются лог-элементарными (и тем самым они могут вывести свою теорему 2 из утверждения о локальной униформизации, обеспечиваемой их теоремой 1), их рассуждение не зависит от того, идёт речь о лог-элементарных или элементарных особых точках. Применяя предыдущее рассуждение к слоению $\mathscr{F}$, описанному в предложении 4, мы получаем, что существует нормирование $\nu$, для которого никакая последовательность раздутий (25) не приводит к слоению, имеющему только элементарные особенности в центре нормирования $\nu$. Следующая лемма описывает некоторые простые дополнительные предположения, которые можно сделать без потери общности. Лемма 15. Пусть $\mathscr{F}$ – слоение, описанное в предложении 4. Тогда существует такое нормирование $\nu$ с полем вычетов $\mathbb{C}$, что для каждой конечной последовательности раздутий (25) выполняется следующее: Кроме того, ранг нормирования $\nu$ равен либо $1$, либо $2$. Доказательство. Пусть нормирование $\nu$ выбрано таким образом, что $\mathscr{F}$ нельзя преобразовать в слоение с элементарными особенностями в центре $\nu$ при помощи последовательности раздутий (25). Существование такого $\nu$ вытекает из предыдущих рассуждений. Теперь согласно [9; ч. II, разд. 9] можно предположить без потери общности, что поле вычетов $k_{\nu}$ нормирования $\nu$ совпадает с $\mathbb{C}$. Фактически в других случаях объемлющее многообразие имеет размерность $2$, и они после небольшой модификации покрываются теоремой Зайденберга. В свою очередь, поскольку поле вычетов $k_{\nu}$ есть $\mathbb{C}$, отсюда также следует, что центр нормирования $\nu$ состоит из одной точки, и это по-прежнему верно для всех продолжений $\nu$ при помощи раздутия, описанных выше.
Наконец, тот факт, что ранг нормирования $\nu$ равен $1$ или $2$, следует непосредственно из предложения 4 в [9]: центр нормирования ранга $3$ можно превратить в элементарную особенность посредством описанных выше раздутий. Лемма доказана. С этого момента мы считаем фиксированным нормирование $\nu$, описанное в лемме 15. Поскольку $k_{\nu}=\mathbb{C}$, теорема 3 в [9] обеспечивает существование формального степенного ряда $\widehat{f}$, имеющего трансверсально-максимальный контакт с $\nu$. Напомним, что формальный степенной ряд $\widehat{f}$ имеет трансверсально-максимальный контакт с $\nu$, если он является пределом Крулля последовательности (конечных) степенных рядов $f_i$, на которых $\nu$ принимает строго возрастающие значения (более геометрическая интерпретация этого условия приведена ниже). Естественно, из стандартного разрешения особенностей поверхностей мы получаем, что формальная поверхность $\widehat{W}$ является гладкой в центре нормирования $\nu$. Однако в [9] доказан более точный результат. А именно, с точностью до конечного числа раздутий (т. е. после некоторой “подготовки”) формальный ряд $\widehat{f}$ допускает одну из следующих нормальных форм (здесь $(x,y,z)$ – регулярная система параметров):
$$
\begin{equation}
\widehat{f}=z+\sum_{i,j}c_{ij} x^i y^j \quad\text{или} \quad \widehat{f}=z+\sum_{i} c_{i} x^i.
\end{equation}
\tag{26}
$$
Первая из этих нормальных форм имеет место, если ранг нормирования равен $2$. В этом случае переменные $x$, $y$ таковы, что $\nu(x)$ и $\nu(y)$ линейно независимы над $\mathbb{Z}$. Если же ранг $\nu$ равен $1$, то мы имеем вторую нормальную форму, причём $x$ таково, что $\nu(x) \ne 0$, а $\widehat{f}$ не зависит от переменной $y$. Теперь мы можем сделать важное упрощение в формулировке предложения 4. Лемма 16. Без ограничения общности можно считать, что формальная поверхность $\widehat{W}$ является (формально) инвариантной относительно слоения $\mathscr{F}=\mathscr{F}_0$. Чтобы доказать лемму 16, начнём с напоминания о том, что центр нормирования $\nu$ (в пространстве, на котором определено слоение $\mathscr{F}$) состоит из одной точки, которую можно считать началом некоторой системы локальных координат. Выберем голоморфное векторное поле
$$
\begin{equation}
X=F \frac{\partial}{\partial x}+G \frac{\partial}{\partial y}+ H \frac{\partial}{\partial z}\,,
\end{equation}
\tag{27}
$$
представляющее слоение $\mathscr{F}$ в окрестности центра нормирования $\nu$ (отождествляемого с началом координат). Для данного степенного ряда $\widehat{f}$ его базис состоит из точек $q$, в которых $\widehat{f}$ естественно определяет формальный ряд. Ясно, что начало координат принадлежит базису ряда $\widehat{f}$, но базис может (хотя и не обязан) содержать также другие точки. Например, если $\widehat{f}=z+\displaystyle\sum_{i}c_{i} x^i$, то выражение $\widehat{f}$ можно рассматривать в каждой точке оси $y$. Однако это не обязательно так для $\widehat{f}=z+\displaystyle\sum_{i,j} c_{ij} x^i y^j$. Теперь рассмотрим (формальное) множество касания $\operatorname{Tang}(\mathscr{F},\widehat{W})$ в начале координат поверхности $\widehat{W}$ и слоения $\mathscr{F}=\mathscr{F}_0$. Множество касания $\operatorname{Tang}(\mathscr{F},\widehat{W})$ (в начале координат) задаётся формальным уравнением
$$
\begin{equation}
d\widehat{f}\cdot X=\frac{\partial\widehat{f}}{\partial x}F+ \frac{\partial\widehat{f}}{\partial y}G+ \frac{\partial\widehat{f}}{\partial z}H=0.
\end{equation}
\tag{28}
$$
Будем говорить, что формальная кривая $t \mapsto (\gamma_1(t),\gamma_2(t),\gamma_3(t))$, проходящая через начало координат, содержится в множестве $\operatorname{Tang}(\mathscr{F},\widehat{W})$, если она удовлетворяет формальному уравнению (28). По определению начало координат принадлежит $\operatorname{Tang}(\mathscr{F},\widehat{W})$ (напомним, что наше определение формальной кривой требует, чтобы хотя бы один из рядов $\gamma_i$ не обращался в нуль тождественно). Аналогичное рассуждение можно провести в любой точке $q$ базиса ряда $\widehat{f}$ при условии, что вектор $X(q)$ лежит в формальном касательном пространстве к $\widehat{W}$ в точке $q$. Это приводит к понятию множества касания поверхности $\widehat{W}$ и слоения $\mathscr{F}=\mathscr{F}_0$ в точке $q$. В дальнейшем, когда базисная точка будет ясна из контекста, мы будем просто говорить о множестве касания $\operatorname{Tang}(\mathscr{F},\widehat{W})$ поверхности $\widehat{W}$ и слоения $\mathscr{F}$ без дополнительных комментариев. Предположим теперь, что поверхность $\widehat{W}$ не является формально инвариантной относительно $\mathscr{F}$. Поскольку слоение $\mathscr{F}$ имеет особую точку в начале координат, отсюда следует существование формальной кривой $S$, содержащейся в $\operatorname{Tang}(\mathscr{F},\widehat{W})$. Естественно, формальная кривая $S$ должна рассматриваться как заданная формальным отображением $t\mapsto (\gamma_1(t),\gamma_2(t),\gamma_3(t))$, где $\gamma_1(0)=\gamma_2(0)=\gamma_3(0)=0$ и хотя бы один из степенных рядов $\gamma_1$, $\gamma_2$ и $\gamma_3$ не обращается в нуль тождественно. Доказательство существования кривой $S$ – это простое вычисление, которое, по сути, совпадает со стандартным результатом для случая аналитической поверхности: просто заметим, что мономы степени, скажем, $d$ в ряду $\gamma$ зависят только от конечной части формального ряда $\widehat{f}$. Теперь напомним геометрическую интерпретацию того факта, что поверхность $\widehat{W}=\{\widehat{f}=0\}$ имеет трансверсально-максимальный контакт с $\nu$. Для этого рассмотрим формальный ряд $\widehat{f}$ и отображение раздутия $\Pi$, являющееся композицией конечной последовательности раздутий (25). Преобразование ряда $\widehat{f}$ в результате $\Pi$ есть не что иное, как композиция $\widehat{f} \circ \Pi$. Естественно, такое преобразование не имеет смысла как формальный ряд в общей точке исключительного дивизора, ассоциированного с $\Pi$. Однако это преобразование имеет смысл в центре нормирования $\nu$ при условии, что $\widehat{f}$ и $\nu$ имеют трансверсально-максимальный контакт. Действительно, по определению $\widehat{f}$ – это предел Крулля конечных рядов $f_i$, на которых $\nu$ принимает строго возрастающие значения. Преобразования рядов $f_i$ в результате раздутия корректно определены (эти ряды конечны), и они по-прежнему сходятся в топологии Крулля в центре (продолжения) нормирования $\nu$. Их предел Крулля в центре (продолжения) нормирования $\nu$ определяет формальный ряд, который естественным образом задаёт результат преобразования ряда $\widehat{f}$ в центре нормирования $\nu$. Это фундаментальное наблюдение позволяет нам рассматривать поверхность, получаемую из $\widehat{W}$ в результате раздутия $\Pi$, как формальную поверхность, “проходящую через центр нормирования $\nu$”. Оно даёт геометрическую интерпретацию условия наличия трансверсально-максимального контакта, которое часто кратко выражается словами “формальная поверхность $\widehat{W}$ продолжает проходить через центр нормирования $\nu$” для каждой последовательности раздутий (25). Эта терминология будет также использоваться в оставшейся части нашего обсуждения. Теперь зафиксируем формальную кривую $S$ указанного выше типа, которая содержится в $\operatorname{Tang}(\mathscr{F},\widehat{W})$. С точностью до конечного числа раздутий кривую $S$ можно считать формально гладкой. Предположим, что $S$ не содержится в особом множестве слоения $\mathscr{F}$. Тогда мы утверждаем, что для каждой последовательности раздутий (25) прообраз кривой $S$ проходит через центр соответствующего продолжения нормирования $\nu$. Это доказывается следующим образом. Прежде всего отметим, что поверхность, получаемая из $\widehat{W}$ в результате раздутий, проходит через центр продолжения нормирования $\nu$ в силу предположения о трансверсально-максимальном контакте. Поскольку слоение, получаемое раздутиями из $\mathscr{F}$, имеет особенность в рассматриваемой точке, рассуждения выше показывают существование (ветви) формальной кривой касания $\widetilde{S}$ преобразованного слоения $\mathscr{F}$ и преобразованной поверхности $\widehat{W}$, выходящей из центра (продолженного) нормирования $\nu$. Теперь заметим, что кривая $\widetilde{S}$ не содержится в центре никакого раздутия из последовательности (25), так как эти центры лежат в особых множествах соответствующих слоений, в отличие от кривой $S$ (которая по предположению не содержится в особом множестве слоения $\mathscr{F}$). Поскольку последовательность раздутий (25), начинающаяся с $p=p_0$, не может создавать новые точки касания преобразованного слоения $\mathscr{F}$ и преобразованной поверхности $\widehat{W}$, мы заключаем, что $\widetilde{S}$ является прообразом кривой $S$. В частности, если $S$ не состоит полностью из особых точек слоения $\mathscr{F}$, то она удовлетворяет условиям предложения 4. Замечание 5. Уместно отметить следующий факт, уже подразумеваемый в предыдущем абзаце. Если $\Pi$ – отображение раздутия из (25), центр которого не лежит на кривой $S$, то центр соответствующего продолжения нормирования $\nu$ определяется прообразом кривой $S$. А именно, преобразованная кривая определяет единственную точку в исключительном дивизоре, связанном с $\pi$, и эта точка является центром продолженного нормирования. Доказательство леммы 16. В силу сказанного выше нам нужно рассмотреть лишь случай, когда кривая $S$ является гладкой и целиком состоит из особых точек слоения $\mathscr{F}$. Поэтому $S$ на самом деле является аналитической кривой, содержащейся в особом множестве слоения $\mathscr{F}$, и, следовательно, также может использоваться в качестве центра некоторого раздутия. С точностью до конечного числа (одноточечных) раздутий мы можем выбрать координаты $(x,y,z)$ с началом координат $(0,0,0)$ в центре нормирования $\nu$, для которых имеет место следующее:
Утверждение 1. Можно считать, что кривая $\gamma$ не лежит в множестве касания поверхности $\widehat{W}$ и слоения $\mathscr{F}$. Доказательство. Заметим, что описываемая ситуация инвариантна относительно (одноточечных) раздутий в центре нормирования $\nu$ (задаваемом пересечением преобразованной поверхности $S$ с исключительным дивизором, см. замечание 5).
Предположим, что кривая $\gamma$ содержится в множестве касания поверхности $\widehat{W}$ и слоения $\mathscr{F}$. В частности, $\gamma$ инвариантна относительно $\mathscr{F}$ (это включает в себя случай, когда $\gamma$ лежит в особом множестве слоения $\mathscr{F}$). Далее, пусть $X$ – локальное векторное поле, представляющее слоение $\mathscr{F}$ в окрестности точки $(0,0,0)\in\mathbb{C}^3$ (отождествляемой с центром нормирования $\nu$), и рассмотрим его первую ненулевую однородную компоненту $X_n$ в $(0,0,0)$. Касательный вектор к $\gamma$ в точке $(0,0,0)$, очевидно, инвариантен относительно $X_n$, поскольку $\gamma$ инвариантна относительно $\mathscr{F}$. То же самое относится и к вектору $(0,0,1)$, поскольку слоение $\mathscr{F}$ особо на всей оси $z$ (отождествляемой с кривой $S$). Следовательно, плоскость, порождённая вектором $(0,0,1)$ и касательным вектором к $\gamma$ в точке $(0,0,0)$, инвариантна относительно $X_n$. Разумеется, эта плоскость – касательное пространство к поверхности $\widehat{W}$, поскольку эта поверхность гладкая. Подведём итог сказанному выше: если кривая $\gamma$ содержится в множестве касания поверхности $\widehat{W}$ и слоения $\mathscr{F}$, то касательное пространство к $\widehat{W}$ инвариантно относительно первой ненулевой однородной компоненты векторного поля, представляющего слоение $\mathscr{F}$ вблизи центра нормирования $\nu$. Однако, как указывалось ранее, в этой ситуации мы можем произвести любую последовательность одноточечных раздутий в центре нормирования $\nu$. Поскольку поверхность $\widehat{W}$ не инвариантна относительно $\mathscr{F}$, мы можем найти подходящую последовательность, при которой касательное пространство к преобразованной поверхности $\widehat{W}$ больше не будет инвариантным относительно первой ненулевой однородной компоненты локального векторного поля, представляющего соответствующее преобразование слоения $\mathscr{F}$. Тогда соответствующая кривая $\gamma$ не будет содержаться в множестве касания соответствующих преобразований слоения $\mathscr{F}$ и поверхности $\widehat{W}$. Таким образом, утверждение 1 доказано. Вернёмся к исходным локальным координатам $(x,y,z)$. На основании утверждения 1 можно считать, что множество касания поверхности $\widehat{W}$ и слоения $\mathscr{F}$ в окрестности точки $(0,0,0)$ сводится к определённой выше кривой $S$ (локально совпадающей с осью $z$). Вспоминая, что кривая $S$ гладкая и содержится в особом множестве слоения $\mathscr{F}$, произведём раздутие с центром на $S$. Сначала мы фиксируем голоморфное векторное поле $X$ вида (27), представляющее слоение $\mathscr{F}$ вблизи начала координат. Поскольку $S$ содержится в особом множестве слоения $\mathscr{F}$, функция $H$ тождественно обращается в нуль на оси $z$. Кроме того, компонента в направлении $\partial/\partial z$ векторного поля, получаемого из $X$ при раздутии с центром на $S\simeq\{x=y=0\}$, является просто результатом преобразования функции $H$ при этом раздутии. Другими словами, при таком раздутии цилиндрического типа особое множество $\operatorname{Sing}(\mathscr{F}_1)$ полученного раздутого слоения $\mathscr{F}_1$ содержится в поверхности, получаемой при раздутии из $\{H=0\}$. Поскольку мы будем производить раздутия с центром $S$, нам необходимо распространить замечание 5 на этот тип раздутий. Действительно, пусть $\Pi$ обозначает раздутие с центром $S$, тогда центр (продолжения) нормирования $\nu$ определяется тем, что он лежит в пересечении $\Pi^{-1}(0,0,0)$ с преобразованной поверхностью $\widehat{W}$. Точнее, формальная кривая $\gamma$, полученная как пересечение поверхности $\widehat{W}$ с плоскостью $\{z=0\}$, задаёт точку $p_1$ в $\Pi^{-1}(S) \cap \{z=0\}$ (где, допуская некоторую вольность обозначений, мы считаем, что $\{z=0\}$ обозначает как исходную плоскость $\{z=0\}$, так и результат её преобразования при раздутии $\Pi$). Эта точка $p_1$ является (новым) центром нормирования $\nu$. Вблизи точки $p_1$ пусть $S_1$ обозначает множество касания раздутого слоения $\mathscr{F}_1$ и (преобразованной) поверхности $\widehat{W}$. Как было замечено ранее, это множество касания определено корректно. Более того, это множество касания должно содержать формальную кривую $S_1$, поскольку точка $p_1$ должна быть особой точкой слоения $\mathscr{F}_1$. В данной ситуации кривая $S_1$, очевидно, гладкая, содержится в исключительном дивизоре $\Pi_1^{-1}(S)$ и трансверсальна к поверхности $\{z=0\}$. Если кривая $S_1$ не содержится в $\operatorname{Sing}(\mathscr{F}_1)$, то $S_1$ – формальная сепаратриса, удовлетворяющая условиям предложения 4, и доказывать больше нечего. Следовательно, можно предположить, что $S_1$ содержится в $\operatorname{Sing}(\mathscr{F}_1)$. Как было замечено ранее, это означает, в частности, что $S_1$ лежит в поверхности, получаемой при раздутии из $\{H=0\}$. Вышеописанную процедуру теперь можно повторить с центром $S_1$ (который является аналитической кривой, содержащейся в $\operatorname{Sing}(\mathscr{F}_1)$). Утверждение 2. Если поверхность $\{H=0\}$ неинвариантна, то можно считать, что $S_1$ не содержится в $\operatorname{Sing}(\mathscr{F}_1)$. Доказательство. Для каждой точки общего положения $z_0 \in S$ пересечение $\Pi_1^{-1}(z_0)$ с раздутием поверхности $\{H=0\}$ состоит из ограниченного числа точек. Действительно, ситуация по существу эквивалентна двумерному случаю: в частности, из теоремы Зайденберга мы получили бы элементарные особые точки, расположенные над точками общего положения оси $z$. Таким образом, после достаточно большого количества раздутий данного типа общая точка пересечения раздутия поверхности $\{H=0\} $ и (цилиндрического) исключительного дивизора должна будет стать регулярной для соответствующего раздутого слоения $\mathscr{F}_k$ (поскольку поверхность $\{H=0\}$ не инвариантна относительно $\mathscr{F}$). Утверждение 2 доказано. Благодаря утверждению 2 в предположении, что поверхность $\{H=0\}$ не является инвариантной, множество касания слоения $\mathscr{F}_k$ и соответствующего преобразования поверхности $\widehat{W}$ дало бы сепаратрису, что, в свою очередь, доказывало бы предложение 4. Поскольку мы рассуждаем от противного, отсюда можно заключить, что поверхность $\{H=0\}$ должна быть инвариантной. Чтобы завершить доказательство леммы, достаточно показать, что инвариантная поверхность $\{H=0\}$ имеет трансверсально-максимальный контакт с $\nu$ (так что предположение об инвариантности $\widehat{W}$ относительно $\mathscr{F}$ не умаляет общности, что и составляет содержание доказываемой леммы). Однако проверка того, что поверхность $\{H=0\}$ имеет трансверсально-максимальный контакт с $\nu$, равносильна доказательству того, что собственные преобразования этой поверхности по-прежнему проходят через центр нормирования $\nu$. Последнее же утверждение доказывается следующим образом. Для всех раздутий с центром на кривых $S_i$ (как выше) поверхность $\{H=0\}$ должна проходить через центр нормирования. Два других возможных типа раздутия следующие. (i) Одноточечные раздутия центра нормирования $\nu$. Опять же, новый центр нормирования $\nu$ будет определяться раздутием кривой $S$ (которая локально задаётся осью $z$). Как видно из рассуждений в разделах 2 и 3, в соответствующих координатах $(u,v,z)\mapsto (uz,vz,z)$ компонента векторного поля $X$ в направлении $\partial/\partial z$ преобразуется как функция $H$. Таким образом мы получаем искомую сепаратрису, что доказывает предложение 4, если только поверхность $\{H=0\}$ не проходит по-прежнему через центр нормирования. (ii) Раздутия с центрами на гладких кривых, содержащихся в плоскости $\{z=0\}$ и проходящих через начало координат (отождествляемое с центром нормирования $\nu$). Тогда в подходящих координатах компонента векторного поля $X$ в направлении $\partial/\partial z$ снова преобразуется как функция $H$. Подводя итог предыдущему обсуждению, мы получаем требуемую сепаратрису, если (аналитическая) инвариантная поверхность, заданная как $\{H=0\}$, не проходит через центр нормирования для каждой последовательности раздутий (25). Это, однако, означает, что поверхность $\{H=0\}$ можно считать имеющей трансверсально-максимальный контакт с $\nu$, и завершает доказательство леммы 16. Оставшаяся часть статьи посвящена доказательству предложения 4 в случае, когда формальная поверхность $\widehat{W}$ имеет трансверсально-максимальный контакт с $\nu$ и, кроме того, инвариантна относительно $\mathscr{F}$. Как будет подробно описано ниже, этот случай очень близок к двумерной ситуации, рассмотренной в теореме Зайденберга. Рассмотрим локальные координаты вблизи центра нормирования $\nu$ (отождествляемого с точкой $(0,0,0) \in \mathbb{C}^3$) вместе с формальной поверхностью $\widehat{W}=\{\widehat{f}=0\}$. Поскольку $\widehat{W}$ гладкая, существует формальная замена координат, при которой $\widehat{W}$ отождествляется с координатной плоскостью. Естественно, что в этих формальных координатах слоение становится только формальным. Другими словами, векторное поле $X$ из (27), представляющее слоение $\mathscr{F}$ вблизи начала координат (т. е. центра нормирования $\nu$), становится только формальным. Это, однако, незначительная проблема, поскольку для задач разрешения особенностей по существу нет разницы между формальными и голоморфными векторными полями. Итак, мы можем рассмотреть локальные координаты $(x,y,z)$, в которых поверхность $\widehat{W}$ совпадает с плоскостью $\{z=0\}$, за счёт рассмотрения $X$ как формального векторного поля. В частности, в координатах $(x,y,z)$ (формальное) векторное поле $X$ принимает вид (27), где $F$, $G$ и $H$ – формальные ряды и $H$ делится на $z$. Замечание 6. Выбор формальных координат $(x,y,z)$, в которых поверхность $\widehat{W}$ отождествляется с плоскостью $\{z=0\}$, – это, по сути, удобный способ сокращения обозначений. Мы могли бы напрямую работать в начальных координатах и с формальной определяющей функцией $\widehat{f}$ поверхности $\widehat{W}$, но это привело бы к довольно громоздким обозначениям. Использование формальных координат, как указано выше, на самом деле помогает сделать рассуждения более прозрачными, поскольку в большей их части нет разницы между формальными или голоморфными векторными полями. При этом мы иногда будем позволять себе рассуждать так, как если бы $X$ было голоморфным векторным полем. Однако это будет делаться лишь тогда, когда общая процедура достаточно проста и не может быть путаницы. Вспоминая, что теорема Зайденберга вполне применима к формальным векторным полям, мы можем рассмотреть случай ограничения поля $X$ на инвариантную плоскость $\{z=0\}$. Однако применение теоремы Зайденберга в данном контексте требует, чтобы мы различали ограничение трёхмерного слоения на инвариантную плоскость и слоение на инвариантной плоскости, индуцированное ограничением упомянутого слоения. Другими словами, в размерности 2 особенности всегда изолированы: если координатные функции векторного поля имеют общий множитель, то этот множитель может быть исключен при рассмотрении ассоциированного слоения. Когда мы рассматриваем векторные поля, заданные в трёхмерном пространстве, это уже не так. Точнее говоря, если $X$ имеет вид (27), то функции $F(x,y,0)$ и $G(x,y,0)$ могут иметь нетривиальный общий делитель, не делящий, например, функцию $H$. Это приводит к кривой особых точек поля $X$, лежащих в плоскости $\{z=0\}$, которая, действительно, составляет кривую особенностей слоения в размерности $3$. Однако если мы посмотрим на слоение, индуцированное ограничением предыдущего слоения на плоскость $\{z=0\}$, то полученное двумерное слоение может быть продолжено на все точки рассматриваемой кривой, кроме конечного их числа, как регулярное слоение. Следующая лемма уточняет эти комментарии. Лемма 17. Без ограничения общности можно считать, что (формальное) векторное поле $X$, представляющее слоение в окрестности точки $(0,0,0)$ (отождествленной с центром нормирования $\nu$), имеет следующий вид: Если рассмотреть нормальную форму (29), ясно, что по крайней мере одно из чисел $m$ и $n$ должно быть строго положительным, иначе начало координат является элементарной особой точкой векторного поля $X$. Аналогично, $h(0,0,0)$ должно быть равно нулю, так как иначе поле $X$ имело бы ненулевое собственное значение в направлении $\partial/\partial z$. Далее, мы можем предположить, не ограничивая общности, что функции $r$ и $s$ делятся на $x^ny^m$. Действительно, обозначим через $\Pi$ раздутие с центром на оси $x$ и рассмотрим координаты $(x,y,v)$, в которых это раздутие задаётся формулой $\Pi(x,y,v)=(x,y,yv)$. Тогда плоскость $\{z=0\}$ преобразуется в плоскость $\{v=0\}$, а векторное поле $X$ – в поле
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber \Pi^{\ast}X&=x^ny^m Y+yv\biggl[r(x,y,yv)\frac{\partial}{\partial x}+ s(x,y,yv)\frac{\partial}{\partial y}\biggr] \\ &\qquad+v[-x^ny^{m-1}g(x,y)-vs(x,y,yv)+h(x,y,yv)] \frac{\partial}{\partial v}\,. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{30}
$$
В частности, мы видим, что “новые” функции $r$ и $s$ приобрели множитель $y$. Следовательно, повторяя описанные выше раздутия с центрами либо на оси $x$, либо на оси $y$, мы получаем требуемое утверждение. Из формулы (30) также вытекает следующая лемма. Лемма 18. Без ограничения общности можно считать, что функция $h$ допускает разложение $h=h^{(0)}(x,y)+zh^{(z)}(x,y,z)$, где $h^{(z)}$ делится на $x^ny^m$. Доказательство. Из формулы (30) вытекает, что каждый сомножитель $z$ в функции $h$ приводит к появлению множителя $y$. Аналогично, каждая новая функция $s$ возникает с дополнительным множителем $y$ (как было показано выше). Теперь утверждение леммы получается итерациями описанной процедуры. Замечание 7. Как показывает предыдущее рассуждение, можно считать, что функции $r$, $s$ и $h^{(z)}$ делятся на $x^ay^b$ для любых заранее заданных $a,b \in \mathbb{N}$. Мы также можем считать (хотя в дальнейшем в этом нет необходимости), что функция $(x,y) \mapsto x^ny^ {m-1}g(x,y)$ делится на $x^ny^m$. Действительно, если $(0,0)$ – регулярная точка векторного поля $Y$, то можно считать, что функция $g$ тождественно обращается в нуль. В противном случае $(0,0)$ – элементарная (неприводимая) особенность поля $Y$ и, поскольку мы работаем с формальными векторными полями, можно без потери общности предположить, что в этом случае $g$ делится на $y$. В дальнейшем мы также можем считать, что $h$ и, следовательно, $h^{(0)}$ не делится ни на $x$, ни на $y$, иначе мы можем уменьшить хотя бы одно из чисел $m$ и $n$. Пусть теперь $P$ обозначает (однородный) многочлен, равный первой ненулевой однородной компоненте формального ряда $h^{(0)}$. Пусть $d\geqslant1$ – степень многочлена $P$. Таким образом, $P$ имеет вид Следовательно, множество $\{P=0\}$ состоит из $k$ прямых $C_1,\dots,C_k$, проходящих через $(0,0)\in\mathbb{C}^2$, где $k\leqslant d$. Фактически если каждую из прямых $C_j$ рассматривать с кратностью, то мы получим $k=d$. Объединение $C_1\cup\cdots\cup C_k$ указанных прямых естественным образом образует касательный конус к множеству $\{h^{(0)}=0\}$, рассматриваемому в плоскости $\{z=0\}$ (с другой точки зрения касательный конус – это “цилиндр” над $C_1\cup\cdots\cup C_k$). Ясно, что множество $\{h^{(0)}=0\}\cap\{z=0\}$ состоит из конечного числа неприводимых (возможно, особых) аналитических кривых. Доказательство предложения 4. Мы используем предыдущие обозначения. Поскольку функции $r$, $s$ и $h^{(z)}$ делятся на $x^ny^m$ и $d\geqslant1$, ось $z$ содержится в особом множестве слоения $\mathscr{F}$. Таким образом, эту ось можно использовать как центр раздутия.
Здесь уместно отметить простое свойство раздутия $\Pi$ с центром на оси $z$ и соответствующего центра нормирования $\nu$. В отличие от предыдущих случаев, в данной ситуации центр (продолженного) нормирования $\nu$ определяется не сразу. Ясно, что новый центр нормирования $\nu$ содержится в рациональной кривой $\Pi^{-1}(0,0,0)$, но эта кривая полностью лежит в поверхности, полученной из $\widehat{W}\simeq\{z=0\}$ в результате раздутия, так что априори любая точка из $\Pi^{-1}(0,0,0)$ может быть центром нормирования $\nu$. В дальнейшем, допуская вольность обозначений, через $\{z=0\}$ будем обозначать как исходную координатную плоскость, так и её прообраз при раздутии $\Pi$. Напомним, что векторное поле $X$ из (29) представляет слоение $\mathscr{F}$ вблизи $(0,0,0)$. В свою очередь, векторное поле, получаемое из $x^ny^m[(f+z r)\,\partial/\partial x+(g+zs)\,\partial/\partial y]$ при раздутии $\Pi$, имеет нуль порядка $m+n$ на исключительном дивизоре. Аналогично, векторное поле, полученное при этом раздутии из $h^{(0)}(x,y)\,\partial/\partial z$ (соответственно из $zh^{(z)}(x,y,z)\,\partial/\partial z$), имеет на исключительном дивизоре нуль порядка $d$ (соответственно порядка $m+n$ или произвольного большего порядка, если необходимо). Следовательно, векторное поле, полученное из $X$ в результате раздутия $\Pi$, обращается в нуль на исключительном дивизоре с порядком равным $\min\{d,m+n\}$. Чтобы сделать дальнейшие рассуждения более понятными, удобно сначала рассмотреть два случая. Случай 1: $d > m+n$. В этом случае, разделив на общую степень образующей идеала, ассоциированного с исключительным дивизором, мы видим, что раздутие $\mathscr{F}_1$ слоения $\mathscr{F}$ регулярно в точках множества $\Pi^{-1}(0,0,0) \cap \{z=0\}$, за исключением двух точек, задаваемых осями $x$ и $y$ (обе точки особые для $\mathscr{F}$). В частности, центр нормирования $\nu$ должен быть одной из этих двух точек. Кроме того, поскольку этот центр не стал элементарной особой точкой, процедуру можно продолжить с точностью до повторного применения конструкции из леммы 18. В результате соответствующие (новые) функции $r$, $s$ и $h^{(z)}$ будут такими, как указано выше. Продолжая эту процедуру, заметим, что при $k\geqslant2$ степень нового многочлена $P$ строго меньше $d$. Мы вернемся к этому вопросу в более общем рассуждении ниже. Случай 2: $d \leqslant m+n$. Это более интересный случай. Слоение $\mathscr{F}_1$ представлено векторным полем $X_1$, компонента которого в направлении $\partial /\partial z$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
z[\widetilde{P}+z\widetilde{h}^{(z)}]\frac{\partial}{\partial z}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\widetilde{P}$ (соответственно $\widetilde{h}^{(z)}$) является преобразованием многочлена $P$ (соответственно $h^{(z)}$) после деления на упомянутый выше общий множитель, возникающий из исключительного дивизора. В частности, $\widetilde{P}$, рассматриваемый как многочлен от переменных $x$, $y$ на плоскости $\{z=0\}$, обращается в нуль в точности на прообразах прямых $C_1,\dots,C_k$. Соответственно, центр нормирования $\nu$ должен совпадать с одной из точек в $\Pi^{-1}(0,0,0)\cap\{z=0\}$, задаваемых этими прямыми.
С точностью до построений из доказательства леммы 18 на каждом этапе мы можем выполнить описанную выше последовательность раздутий. Следующее утверждение получается как результат этой последовательности раздутий; оно также подводит итог рассмотренным выше двум случаям. Утверждение. С точностью до выполнения описанного выше раздутия $\Pi$ и рассмотрения соответствующего слоения $\mathscr{F}_1$, получаемого из $\mathscr{F}$ в результате раздутия $\Pi$, мы можем без ограничения общности считать, что векторное поле $X$, представляющее слоение $\mathscr{F}$ (см. (29)), удовлетворяет одному из следующих условий: Рассмотренная выше процедура раздутий на самом деле приводит к несколько более точному описанию. Вспоминая, что $h$ не обращается в нуль над соответствующими прообразами (исходных) инвариантных осей, мы приходим к одной из двух ситуаций:
В первой ситуации слоение $\mathscr{F}$ имеет элементарные особые точки на кривой $\Pi^{-1}(0,0,0) \cap \{z=0\}$, за исключением точки $p$, которая задается пересечением с $\Pi^{-1}(0,0,0) \cap \{z=0\}$. Точка $p$ является регулярной для векторного поля, получаемого в результате преобразования из $Y$. Таким образом, вблизи $p$ можно выбрать локальные координаты (по-прежнему обозначаемые через $(x,y,z)$), в которых $\{y=z=0\} \subset \Pi^{-1}(0,0,0) \cap \{z=0\}$ и векторное поле $X$ принимает следующий вид (случай (a)):
$$
\begin{equation}
X=y^m\frac{\partial}{\partial x}+z\biggl(r\frac{\partial}{\partial x}+ s\frac{\partial}{\partial y}\biggr)+z(h^{(0)}+z h^{(z)}) \frac{\partial}{\partial z}\,.
\end{equation}
\tag{31}
$$
Кроме того, касательный конус для $h$ (или для $h^{0)}$) совпадает с осью $y$. Во второй ситуации мы можем исключить кривую $\Pi^{-1}(0,0,0) \cap \{z=0\}$ из особого множества векторного поля $x^n y^m Y$. Таким образом, $X$ принимает следующий вид (случай (b)):
$$
\begin{equation}
X=x^n\biggl[(f+zr)\frac{\partial}{\partial x}+ (g+zs)\frac{\partial}{\partial y}\biggr]+z(h^{(0)}+zh^{(z)}) \frac{\partial}{\partial z}\,.
\end{equation}
\tag{32}
$$
Кроме того, функция $h^{(0)}$ обращается в нуль лишь на множестве $\Pi^{-1}(0,0,0) \cap \{z=0\}$, т. е. $h=y^l h_1$, где $h_1(0,0,0) \ne 0$ и $l \geqslant 1$. В оставшейся части доказательства мы разберём каждый из этих случаев. Предположим сначала, что имеет место случай (a). Рассмотрим раздутие $\Pi$ с центром на оси $z$, которая согласно нашим обсуждениям леммы 18 выше образована особыми точками поля $X$. В частности, если мы рассматриваем $h$ как компоненту поля $X$ в направлении $\partial/\partial z$, то она преобразуется как функция. Следовательно, раздутое векторное поле $X_1$ тождественно обращается в нуль на цилиндрическом исключительном дивизоре. Действительно, раздутие поля $y^m\,\partial/\partial x+z(r\,\partial/\partial x+s\,\partial/\partial y)$ имеет нуль порядка $m-1$ на исключительном дивизоре, тогда как множество нулей поля, получаемого в результате раздутия из $z(h^{(0)}+zh^{(z)})\,\partial/\partial z$, есть объединения исключительного дивизора и поверхности, являющейся собственным прообразом $\{h=0\}$. Обозначив через $k$ минимум порядков обращения в нуль этих двух векторных полей на исключительном дивизоре, получаем, что раздутое слоение $\mathscr{F}_1$ индуцировано векторным полем $X_1$, делённым на $k$-ю степень образующей идеала, ассоциированного с исключительным дивизором. Теперь должно иметь место строгое неравенство $k<m-1$, поскольку в противном случае все особенности слоения $\mathscr{F}_1$, лежащие в $\Pi^{-1}(0,0,0) \cap \{z=0\}$, будут иметь ненулевое собственное значение, связанное с направлениями, лежащими в плоскости $\{ z=0\}$. Таким образом, $k<m-1$, и после деления $X_1$ на $k$-ю степень образующей идеала, ассоциированного с исключительным дивизором, мы видим, что компонента полученного векторного поля в направлении $\partial/\partial z$ обращается в нуль только на собственном прообразе поверхности $\{h=0\}$. Следовательно, каждая точка множества $\Pi^{-1}(0,0,0)\cap\{z=0\}$ либо регулярна, либо элементарна для слоения $\mathscr{F}_1$, за исключением точки, задаваемой собственным прообразом поверхности $\{h=0\}$. Обозначая эту точку через $p_1\in\Pi^{-1}(0,0,0)\cap\{z=0\}$, сначала отметим, что $p_1$ должна совпадать с (новым) центром нормирования $\nu$. Более того, структура раздутого слоения $\mathscr{F}_1$ вблизи точки $p_1$ снова такая же, как в cлучае (a). Однако при этом целое число $m$ строго уменьшилось. Следовательно, после конечного числа описанных выше раздутий центр нормирования $\nu$ превратится либо в регулярную точку, либо в элементарную особенность соответствующего слоения. В любом случае это приводит к противоречию, показывающему, что такая ситуация невозможна. Наконец, предположим, что имеет место случай (b). Напомним, что $h= y^lh_1$, где $h_1(0,0,0) \ne 0$. Рассмотрим снова раздутие $\Pi$ с центром на оси $z$ и заметим, что мы можем разделить векторное поле, получаемое в результате раздутия из $X$, на образующую исключительного дивизора в степени $k=\min\{m,l\}$. Предположим, что $m\geqslant l$. Тогда у раздутого слоения $\mathscr{F}_1$ имеются элементарные особенности (с ненулевым собственным значением в направлении $\partial/\partial z$) на всей кривой $\Pi^{-1}(0,0,0)\cap\{z=0\}$, кроме точки, задаваемой осью $x$ (т. е. уравнением $\{y=0\}$). Вблизи этой точки мы снова имеем ситуацию, описанную в случае (b), за тем исключением, что значение $m$ заменено на $m-l$ и, следовательно, строго уменьшилось. Наоборот, если $l>m$, то функция $h$ по-прежнему обращается в нуль на кривой $\Pi^{-1}(0,0,0)\cap\{z=0\}$ (и, фактически, на цилиндрическом исключительном дивизоре). Однако результат преобразования векторного поля $(f+zr)\,\partial/\partial x+(g+zs)\,\partial/\partial y$ имеет только регулярные или элементарные особые точки на $\Pi^{-1}(0,0,0) \cap\{z=0\}$, кроме точки $q$, заданной осью $y$ (уравнением $x=0$). Заметим, что вблизи $q$ касательный конус к поверхности $\{h=0\}$ сводится к $\Pi^{-1}(0,0,0)\cap\{z=0\}$, поскольку прообраз его начальной компоненты, заданной уравнением $\{y=0\}$, пересекает кривую $\Pi^{-1}(0,0,0)\cap\{z=0\}$ в точке, отличной от $q$. Таким образом, мы снова имеем ситуацию, описанную в случае (b), за тем исключением, что теперь значение $l$ заменено на $l-m$. Следовательно, при каждом описанном выше раздутии по крайней мере одно из значений $m$ и $l$ становится строго меньше. Как только одно из них обращается в нуль, мы получаем элементарную особую точку в центре нормирования $\nu$, что, конечно, невозможно. Доказательство предложения 4 завершено. Читатель заметит, что доказательство предложения 4 также показывает, что формальная поверхность $\widehat{W}$, имеющая трансверсально-максимальный контакт с нормированием $\nu$, не может быть инвариантной относительно слоения $\mathscr{F}$. Действительно, рассуждение выше показывает, что если поверхность $\widehat{W}$ инвариантна, то особенности в центре нормирования $\nu$, имеющего трансверсально-максимальный контакт с $\widehat{W}$, могут быть превращены в элементарные. Это наблюдение можно переформулировать следующим образом. Следствие 1. Пусть $\mathscr{F}$ – слоение, описанное в предложении 4. Рассмотрим формальную сепаратрису $S$, порождающую последовательность бесконечно близких неэлементарных особых точек. Тогда $S$ не может содержаться в формальной поверхности, инвариантной относительно слоения $\mathscr{F}$. Доказательство. Ясно, что формальная поверхность, содержащая $S$, всегда будет проходить через центр (продолженного) нормирования, ассоциированного с $S$, так что утверждение следует из предыдущего рассуждения. Следствие 1 не является неожиданным, поскольку оно, по сути, очень хорошо согласуется с основным результатом работы [8]. Мы завершим эту статью доказательством теоремы A. Доказательство теоремы A. Пусть $\mathscr{F}$ – слоение на $(\mathbb{C}^3,0)$. Зафиксируем нормирование $\nu$. Предположим, что никакая последовательность раздутий (25) не преобразует $\mathscr{F}$ в слоение, все особые точки которого, содержащиеся в центре (продолжения) нормирования $\nu$, элементарны. Тогда можно предположить, что $\nu$ удовлетворяет условиям леммы 15. В свою очередь, из предложения 4 и теоремы 1 следует, что $\mathscr{F}$ можно превратить в слоение с устойчиво нильпотентной особенностью в центре нормирования $\nu$. Таким образом, мы улучшили локальную теорему об униформизации из [9] (см. [9; теорема 1]) до следующего утверждения: слоение $\mathscr{F}$ можно преобразовать в слоение, особенности которого в центре нормирования $\nu$ либо элементарны, либо являются устойчиво нильпотентными.
Далее заметим, что процедура раздутия, которую мы использовали на протяжении всей нашей конструкции, удовлетворяет тем же условиям “естественности”, которым удовлетворяет процедура из [9]. Следовательно, наша процедура удовлетворяет аксиомам Пильтана из [28]; см. [9; с. 256, 257]. Таким образом, мы получаем следующий глобальный результат. Утверждение. Каждое слоение $\mathscr{F}$ на $(\mathbb{C}^3,0)$ может быть преобразовано последовательностью раздутий (25) в слоение $\mathscr{F}_k$, все особые точки которого либо элементарны, либо являются устойчиво нильпотентными особенностями. Чтобы завершить доказательство теоремы A, поступим следующим образом. Заметим, что согласно теореме 3 множество, образованное устойчиво нильпотентными особыми точками слоения $\mathscr{F}_k$, состоит из изолированных точек. Таким образом, уменьшая при необходимости рассматриваемую окрестность точки $(0,0,0)\in\mathbb{C}^3$, можно считать, что это множество конечно. Наконец, каждую особую точку из этого конечного набора можно превратить в элементарную особую точку с помощью раздутия веса 2 (см. лемму 8). Теорема A доказана. Авторы весьма благодарны К. Рошу, который неоднократно в течение последних нескольких лет делился с нами своим опытом работы в данной области. Мы горячо благодарим Ф. Кано, который давно указал нам на то, что особенность, которая не может быть разрешена стандартными раздутиями, должна обладать “устойчивой” формальной сепаратрисой. Мы также признательны Д. Панаццоло за объяснение структуры работы [26] и А. А. Глуцюку за его проницательные вопросы и за интерес к нашей статье. И последнее, но не менее важное: мы благодарим рецензента за то, что он указал нам некоторые дополнительные ссылки, и особенно за то, что он сообщил нам, что алгоритм Панаццоло [27] обладает следующим свойством: центры взвешенных раздутий строго инвариантны относительно квазиоднородной фильтрации; тем самым был дан ответ на вопрос, поднятый в предварительной версии этой статьи.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{RebRei21} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|