| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Сообщения Московского математического общества О квантовании линейных систем дифференциальных уравнений с квадратичным инвариантом в гильбертовом пространстве В. В. Козлов Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2021, Volume 76, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/RM9992 
Реферативные базы данных:
      1.Пусть $V$ – вещественное сепарабельное гильбертово пространство со скалярным произведением $(\,\cdot\,{,}\,\cdot\,)$; случай $\dim V < \infty$ не исключается. Пусть $A$ – линейный оператор с плотной областью определения $D(A) \subset V$, который не предполагается ограниченным. Свяжем с ним линейное дифференциальное уравнение Предположим, что эта система имеет квадратичный инвариант В частности, оператор $A$ будет кососимметрическим.Ненулевые собственные значения $A$ чисто мнимые. Пусть это будут числа
$$
\begin{equation}
\pm i \omega_1, \pm i \omega_2, \dots,\quad\text{где } \omega_n > 0.
\end{equation}
\tag{3}
$$
Тогда найдутся $\zeta_k=\xi_k+i\eta_k$ ($\xi_k,\eta_k \in V$) такие, что В [1] показано, что $(\xi_k,\xi_k)=(\eta_k,\eta_k)$ и $(\xi_k,\eta_k)=0$. Далее, пусть $\pi_n$ – двумерные инвариантные плоскости оператора $A$, натянутые на векторы $\xi_n$ и $\eta_n$. Положим $x=p \xi_n+q \eta_n \in \pi_n$, $p,q \in \mathbb{R}$. Из (4) вытекает, что ограничение системы (1) на инвариантную плоскость $\pi_n$ имеет вид
$$
\begin{equation}
\dot p=\omega_n q,\quad \dot q=-\omega_n p,\qquad n \geqslant 1.
\end{equation}
\tag{5}
$$
Это уравнение колебаний гармонического осциллятора с частотой $\omega_n$. Если среди чисел (3) нет равных, то при $k \ne l$ плоскости $\pi_k$ и $\pi_l$ ортогональны. В дальнейшем предполагается, что 1) дискретный спектр оператора $A$ простой, 2) ортонормированная система векторов $\xi_1,\eta_1,\xi_2,\eta_2,\dots$ полна. 2.Гильбертово пространство $V$ разлагается в прямую сумму инвариантных подпространств $\pi_1 \oplus \pi_2\oplus \cdots$, на каждом из которых линейная система (1) гамильтонова. Этому можно придать инвариантный смысл, введя скобку Пуассона непрерывных квадратичных форм (ср. с [1], [2]). Если $f=(Fx,x)/2$ и $g=(Gx,x)/2$ – две такие формы, то их скобка определяется как где $J$ – кососамосопряжённый оператор, который задаётся на базисных векторах $\xi_1,\eta_1,\xi_2,\eta_2,\dots$ следующим образом: $J\xi_n=\eta_n$, $J\eta_n=-\xi_n$, $n \geqslant 1$. Ясно, что $J^{*}=-J$ и $J^2=-I$. Линейная система (1) допускает следующее представление на пространстве квадратичных форм: где $f=(Fx,x)/2$, $F=\sum \omega_n P_n$, а $P_n$ – ортогональный проектор на плоскость $\pi_n$. Квадратичная форма $f$ играет роль гамильтониана; она определена не всюду на $V$ (как и исходная линейная система (1)).3.Поскольку в предположениях п. 1 система (1) c квадратичным инвариантом является гамильтоновой, то можно по обычным правилам провести её квантование. Исходная классическая гамильтонова система есть прямое произведение бесконечного числа невзаимодействующих линейных гамильтоновых систем с одной степенью свободы. Поэтому каждую из них можно проквантовать независимо. Фазовым пространством каждой отдельной квантовой системы с частотой $\omega_n$ будет комплексное гильбертово пространство $\mathscr{H}_n$, а фазовым пространством полной квантовой системы будет, как известно, тензорное произведение отдельных гильбертовых пространств $\mathscr{H}=\mathscr{H}_1 \otimes \mathscr{H}_2 \otimes \cdots$ . Далее, полная квантовая система имеет дискретный спектр
$$
\begin{equation}
\biggl\{\frac{\omega_n \hbar}{2}\,,\frac{3\omega_n\hbar}{2}\,, \frac{5\omega_n \hbar}{2}\,,\dots\biggr\},\qquad n \geqslant 1,
\end{equation}
\tag{6}
$$
где $\hbar$ – постоянная Планка. Если все отношения $\omega_k/\omega_l$ ($k \ne l$) иррациональны, то спектр (6) также простой. Можно показать, что линейная система (1) с положительным инвариантом (2) представима в виде уравнения Шрёдингера (комплексная структура на $V$ вводится с помощью оператора $J$). Поэтому описанную здесь процедуру можно назвать повторным квантованием. 4.К линейным системам с положительно определённым квадратичным инвариантом приводятся многие эволюционные уравнения математической физики: гиперболические уравнения, описывающие колебания упругой среды, уравнение Лиувилля из статистической механики, уравнения Максвелла и уравнение Шрёдингера. Квантование гамильтоновых уравнений колебаний упругой струны является обычной задачей, слегка усложнённой её бесконечномерностью. Свойство гамильтоновости уравнения Лиувилля изучалось в [3]. В частности, соображения из п. 3 позволяют проквантовать эргодическую теорию. Конечно, динамическая система с инвариантной мерой в общем случае не гамильтонова. Однако эволюция измеримых функций на фазовом пространстве, переносимых её фазовым потоком, описывается уравнением Лиувилля, которое (ввиду его гамильтоновости) может быть проквантовано. Гамильтоново представление уравнений Максвелла и их квантование составляет существенную часть релятивистской квантовой теории [4]. Уравнения Шрёдингера с дискретным спектром также допускают повторное квантование, которое следует отличать от вторичного квантования. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Koz21} |
|
||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|