| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
О сходимости многочленов Бибербаха: теоремы Келдыша и гипотеза Мергеляна А. И. Аптекарев Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша Российской академии наук
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2021, Volume 76, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/RM9991 
Реферативные базы данных:
      1. Введение10 февраля 2021 г. исполнилось 110 лет со дня рождения Мстислава Всеволодовича Келдыша. Достойный повод обратиться к некоторым страницам его математического творчества. Вскоре после кончины М. В. Келдыша было принято постановление ЦК КПСС и Совета министров СССР от 17 июля 1978 г. № 691 “Об увековечивании памяти академика М. В. Келдыша и обеспечении его семьи”. Среди мероприятий, в нём указанных, было поручение Академии наук СССР организовать Кабинет-музей академика М. В. Келдыша в Институте прикладной математики АН СССР. Официальное открытие Кабинета-музея состоялось 10 февраля 1981 г. и было приурочено к 70-летию со дня рождения М. В. Келдыша. Среди многочисленных материалов, связанных с именем Келдыша, в фонде музея наличествуют и автографы учёного. Особенно ценными представляются математические рукописи. Большая их часть была передана дочерью академика Светланой Келдыш в 1989 г. Эти рукописи не были сразу разобраны, видимо, потому, что к этому времени были уже собраны и изданы одним томом математические труды академика. Представлению имеющихся в фондах музея автографов М. В. Келдыша была посвящена работа [1]. Было отмечено, что некоторые из рукописей по математике и механике носят законченный характер и отсутствуют среди известных работ. Исследованию одной из таких рукописей (см. [2]) посвящена данная статья. В рассматриваемой математической заметке сформулирована и доказана теорема о сходимости последовательности многочленов Бибербаха в замыкании односвязной области при некотором условии гладкости на её границу. Поясним вкратце, о чём идёт речь. В математическом творчестве М. В. Келдыша вопросы приближения аналитических функций и комплексного анализа занимали лидирующее положение. Здесь наложили свой отпечаток и годы становления молодого математика-теоретика под руководством академика М. А. Лаврентьева, и работа математика-прикладника в ЦАГИ, куда двадцатилетний Слава Келдыш был распределён на работу по окончании Московского университета. Именно в ЦАГИ он сразу получил признание коллег за то, что для любой предъявленной ему области он мог быстро построить её конформное отображение на круг в явном виде или приближённо, с большой степенью точности. Знание конформных отображений областей – сечений элементов летательного аппарата позволяло придать чертежам конструкторов цифровую форму. Теперь немного определений. Пусть $D$ – односвязная область комплексной плоскости $\mathbb{C}=\{z=x+\mathrm{i}y\}$, содержащая точку $0 \in D$, и пусть $\Gamma$ – граница этой области. Известно, что функция $f(z)$, конформно отображающая $D$ на круг и нормированная в точке $0$: минимизирует интеграл:
$$
\begin{equation}
f\colon \int\!\!\!\!\int_D |F'(z)|^2\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y \to \min_{\{F\in \mathcal{H}(D),\ F(0)=0,\ F'(0)=1\}},
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
в классе всех голоморфных в $D$ функций $\{F(z)\}$ с нормировкой, как в (1.1). В свою очередь, многочленами Бибербаха называют многочлены $\Pi_n(z)$, минимизирующие интеграл (1.2) в классе многочленов $\{P_n(z)\}$ с нормировкой, как в (1.1), степени не выше $n$, $\deg P_n \leqslant n$, т. е.
$$
\begin{equation}
\Pi_n\colon \int\!\!\!\!\int_D |P'_n(z)|^2\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y \to \min_{\{\deg P_n \leqslant n,\ P_n(0)=0,\ P_n'(0)=1\}}.
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
Хотя определение (1.3) имеет неконструктивный характер, тем не менее оно допускает эквивалентные переформулировки, позволяющие вычислять многочлены Бибербаха с помощью интегральных характеристик области $D$. Действительно, если $B_n(z)$ – последовательность многочленов c $\deg B_n \leqslant n$, ортонормированных на $D$ по плоской мере Лебега:
$$
\begin{equation*}
\{B_n(z)\}\colon \int\!\!\!\!\int_D B_n(z)\overline{B_m(z)}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y =\delta_{m,n},
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
K_n(z,\zeta) :=\sum_{j=0}^n B_j(z)\overline{B_j(\zeta)}
\end{equation*}
\notag
$$
– ядра Кристоффеля–Дарбу, то многочлены Бибербаха имеют вид
$$
\begin{equation}
\Pi_n (z)=\frac{1}{K_{n-1}(0,0)} \int_{0}^{z}K_{n-1}(\xi,0)\,\mathrm{d}\xi.
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
Таким образом, вопрос о сходимости последовательности многочленов Бибербаха на замкнутой области $\overline{D}:=D\cup\Gamma$:
$$
\begin{equation}
\Pi_n (z) \rightrightarrows f(z), \qquad n\to\infty, \quad z\in\overline{D},
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
оказывается принципиально важным при их использовании для построения приближённых конформных отображений (и оценки точности этих приближений).
2. Равномерная сходимость и полнота в среднем многочленовСразу отметим, что этой тематике посвящена известная статья М. В. Келдыша, опубликованная на французском языке в 1939 г. в журнале “Математический сборник” (см. [3]). Остановимся на основных результатах этой статьи и на влиянии, которое они оказали на развитие теории аппроксимаций в комплексном анализе. Речь идёт о трёх результатах.
Все эти три результата очень красивые и сильные, они стали отправной точкой для многих исследователей. Остановимся немного на их развитии. Начнём с конца (пункт C) – с результатов о полноте многочленов в интегральной метрике. Для областей Каратеодори (т. е. конечных областей, у которых полная граница совпадает с границей компоненты дополнения, содержащей бесконечность) полнота в интегральной метрике была доказана А. И. Маркушевичем в 1934 г. В обсуждаемой нами сейчас статье 1939 г. [3] М. В. Келдыш, в частности, построил пример круговой “луночки” (она не является областью Каратеодори), в которой многочлены не полны в интегральной метрике. Среди работ, развивавших это направление, в первую очередь надо выделить обзорную статью С. Н. Мергеляна [4], опубликованную в 1953 г. в журнале “Успехи математических наук”. В ней не только приведены примеры топологически эквивалентных некаратеодориевых областей, как обладающих, так и не обладающих свойством полноты многочленов в интегральной метрике, но и изложен ряд общих метрических критериев полноты. Один из них – не публиковавшийся ранее метрический критерий Келдыша, полученный им в 1945 г. и с его согласия впервые появившийся в статье С. Н. Мергеляна (см. [4; сноска на с. 26]). Отметим, что окончательное решение проблемы количественной метрической характеристики, а именно достаточное и необходимое условие полноты многочленов в областях, топологически эквивалентных “луночке” Келдыша, получено С. Н. Мергеляном и опубликовано в статье [4]. Это условие настолько элегантно, что мы хотим его привести здесь. Пусть $D$ – односвязная область в верхней полуплоскости, ограниченная двумя касающимися в точке $0$ окружностями разного радиуса (“луночка”). Рассмотрим “толщину” области $D$ на расстоянии $\delta$ от $z=0$, т. е. меру $\sigma(\delta)$ двух дуг окружности $|z|=\delta$, отсекаемых от неё областью $D$. Необходимое и достаточное условие Мергеляна полноты многочленов в области $D$ – это расходимость интеграла:
$$
\begin{equation*}
\int_0^\alpha\log\sigma(r)\,\mathrm{d}r=\infty, \qquad \alpha>0.
\end{equation*}
\notag
$$
В дальнейшем вопросы полноты в областях, не принадлежащих классу Каратеодори, изучались В. П. Хавиным в 1968 г. (см. [5], [6]) и С. О. Синаняном в 1970-е годы (см. обзор [7]). Теперь перейдём к вопросам расходимости многочленов Бибербаха в равномерной метрике. Понимание природы отсутствия равномерной сходимости многочленов Бибербаха проливает свет на возможность их использования для построения приближённых конформных отображений. Так что в этом направлении исследования шли широким фронтом (см., например, третью часть классической монографии Д. Гайера [8], посвящённую приближению конформных отображений с помощью экстремальных многочленов). Мы остановимся лишь на одном результате, полученном не так давно. Напомним, что в статье [3] область $D$ с сингулярностью на границе, в которой имеет место равномерная расходимость, строилась как предел последовательно конструируемых областей $D_0,D_1,\dots$ . То есть, по сути, в [3] было доказано существование области расходимости $D$ без её явного описания. В работе 2000 г. [9] В. В. Андриевским и И. Е. Прицкером были рассмотрены результаты о равномерной сходимости и расходимости многочленов Бибербаха на конкретных областях с внутренними нулевыми углами (каспами), которые играют существенную роль в задаче сходимости–расходимости. В частности, они построили в явном виде область типа Келдыша с расходимостью в точках каспа, а также обсудили вопрос о критическом уровне порядка касания в нулевом угле, разделяющем сходимость и расходимость многочленов Бибербаха, для достаточно тонких каспов. 3. Теорема и гипотеза МергелянаНаконец, вернёмся к основному предмету нашего обсуждения: равномерной сходимости многочленов Бибербаха $\Pi_n$ в замкнутой области $\overline{D}$. Как мы уже упоминали выше, этот вид сходимости впервые был доказан Келдышем в [3] при условии, что граница $\Gamma$ области $D$ имеет ограниченную кривизну. Надо признать, что это условие довольно сильное, оно означает не просто то, что в каждой точке $\Gamma$ существует касательная (что характеризует гладкость $\Gamma$), а то, что каждой точки $\Gamma$ можно коснуться окружностью и радиусы всех этих окружностей ограничены (что может рассматриваться как “двойная” гладкость). Таким образом, обсуждаемый результат Келдыша из работы [3] не только открыл возможность приближать в замкнутой области $\overline{D}$ конформное отображение $f$ области $D$ многочленами Бибербаха $\Pi_n$ (конструктивно вычисляемыми – см. (1.4) – с помощью многочленов, ортогональных по площади в $D$), но и побудил ряд специалистов в комплексном анализе заняться нахождением более слабых условий на границу $\Gamma$, чем ограниченность её кривизны. По “горячим следам” эту задачу исследовал С. Н. Мергелян. В монографической статье [10], опубликованной в 1951 г. в Трудах МИАН СССР, глава VIII называется “О полиномах Бибербаха”. В этой главе Мергелян доказывает равномерную сходимость многочленов $\Pi_n$ для существенно более широкого, чем в [3], класса замкнутых областей $\overline{D}$, а именно областей $D$ с кусочно гладкой границей $\Gamma$. Точнее, граница $\Gamma$ состоит из конечного числа кривых, имеющих непрерывно вращающуюся касательную и составляющих между собой углы с положительными внутренними растворами. Отметим, что основная техническая трудность в доказательстве преодолевалась рассмотрением областей $D$ с гладкой границей $\Gamma$ (без углов). Количественная характеристика сходимости выражается оценкой её скорости:
$$
\begin{equation}
|f(z)-\Pi_n(z)| \leqslant\frac{C(\varepsilon,D)}{n^{1/2-\varepsilon}} \qquad\forall\,\varepsilon>0, \quad z\in\overline{D}.
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Отметим, что показатель $1/2$ в скорости сходимости (3.1) у Мергеляна в два раза меньше, чем соответствующий показатель в (2.1) у Келдыша (но в работе Мергеляна у границы и “гладкости в два раза меньше”). Тем не менее Мергелян в своей работе (см. [10; с. 89]) написал: “Вероятно, показатель $1/2-\varepsilon$ может быть заменён на $1-\varepsilon$”, т. е., как и в теореме Келдыша (2.1),
$$
\begin{equation}
|f(z)-\Pi_n(z)| \leqslant\frac{C(\varepsilon,D)}{n^{1-\varepsilon}} \qquad\forall\,\varepsilon>0, \quad z\in\overline{D}.
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Однако, несмотря на большое количество последовавших в этом направлении работ, с 1951 г. эта гипотеза Мергеляна о сохранении скорости Келдыша (2.1) равномерной сходимости многочленов Бибербаха для областей с гладкой границей (т. е. у $\Gamma$ непрерывно изменяющаяся касательная) остаётся открытой. Среди последующих работ выделим уже упоминавшуюся выше монографию Д. Гайера [8] и монографию П. К. Суетина [11], в которых результаты Келдыша и Мергеляна о равномерной сходимости многочленов Бибербаха в замкнутых областях $\overline{D}$ с гладкой границей подробно обсуждаются и развиваются. Д. Гайер продолжил исследовать эту тематику и позднее (см. [12]–[14]). Ослабления условий гладкости границы $\Gamma$ для равномерной сходимости многочленов Бибербаха активно исследовали математические школы юга европейской части Советского Союза. Одна из первых работ в этом направлении – статья [15] ростовского математика И. Б. Симоненко. В ней была установлена равномерная сходимость многочленов Бибербаха в замкнутой области, ограниченной липшицевой кривой (дуга называется липшицевой, если поворотом её можно превратить в график функции, удовлетворяющей условию Липшица). В. В. Андриевский из Донецка доказал равномерную сходимость многочленов Бибербаха в замкнутой области с квазиконформной границей [16]. Продолжали исследование этой тематики и другие донецкие математики (теперь работающие за рубежом): Ф. Г. Абдуллаев [17], И. Е. Прицкер [18], Д. М. Исрафилов [19], [20]. Остановимся вкратце на последней из процитированных работ: [20]. В ней гипотеза Мергеляна доказана при дополнительном условии на гладкую границу $\Gamma$ области $D$. Пусть $g(w)$ – функция, обратная $f(z)$ – конформному отображению с нормировкой (1.1) области $D$ на круг, при этом радиус круга будет равен $R$. Далее, пусть $g(Re^{\mathrm{i}t})$, $0\leqslant t \leqslant 2 \pi$, – конформная параметризация границы $\Gamma$. Справедлива следующая теорема. Теорема 3.1 [20]. Пусть $\beta(t)$, угол наклона касательной к гладкой границе $\Gamma$ в точке $g(Re^{\mathrm{i}t})$, является функцией ограниченной вариации, т. е. Отметим, что метод доказательства в [20] существенно использует ограниченность вариации (3.3). Как видим, учёт бесконечных колебаний касательной к границе $\Gamma$ остается препятствием к доказательству гипотезы Мергеляна. 4. Об одной неопубликованной математической заметке М. В. КелдышаТеперь мы вполне подготовлены непосредственно к обсуждению результата, сформулированного и доказанного в найденной рукописи М. В. Келдыша (см. [2]). Пусть $s$ обозначает длину дуги границы $\Gamma$, а $\theta(s)$ – угол между направлением оси $Ox$ и касательной к $\Gamma$ в соответствующей точке. Теорема Келдыша из рукописной заметки утверждает (см. рис. 1), что если угол касательной $\theta(s)$ удовлетворяет условию Гёльдера:
$$
\begin{equation}
|\theta(s_1)-\theta(s_2)|<K|s_1-s_2|^{\lambda},\qquad 0<\lambda\leqslant1,
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
то полиномы Бибербаха удовлетворяют неравенству
$$
\begin{equation}
|f(z)-\Pi_n(z)|\leqslant \frac{C(\varepsilon)}{n^{\lambda-\varepsilon}}\qquad \forall\,\varepsilon>0,\quad z\in\overline{D},
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
из которого следует их равномерная сходимость в замкнутой области $\overline{D}$ к отображающей функции $f$ с нормировкой (1.1). Сравним эту теорему с теоремой Келдыша из [3] (см. (2.1) выше) и с теоремой Мергеляна из [10] (см. (3.1) выше). Условие на $\Gamma$ в теореме из [3], т. е. ограниченность кривизны, – самое жёсткое. С ним стыкуется условие (4.1) при $\lambda=1$ (условие Липшица), и (4.1) является более общим при $0<\lambda<1$. С другой стороны, условие на $\Gamma$ в теореме Мергеляна из [10], т. е. непрерывность угла касательной в точках $\Gamma$, – самое мягкое. Условие Гёльдера (4.1) на угол касательной, конечно, влечёт его непрерывность. Таким образом, теорема из рукописной заметки дополняет теорему из [3]: их условия и утверждения (2.1), (4.2) стыкуются при $\lambda=1$ и дополняют друг друга при $0<\lambda<1$. Тем самым, ответ на вопрос о времени, когда была написана заметка, будет, скорее всего, – после написания статьи [3]. Конечно, условия теоремы из заметки выполнены при условиях теоремы Мергеляна из [10], и если бы гипотеза Мергеляна о скорости приближения (2.1) была доказана, то и теорема из заметки, и теорема из [3] превратились бы в следствия этого результата. Однако на сегодняшний день теорема Мергеляна из [10] (см. (3.1)) перекрывает теорему Келдыша (см. (4.2)) при $0<\lambda\leqslant1/2$, а при $\lambda\in(1/2,1)$ эта теорема из рукописной заметки остаётся наилучшим известным результатом. Очевидно, тот факт, что доказательство гипотезы Мергеляна обобщит обе теоремы Келдыша: из [3] и из его неопубликованной заметки [2], приводит к большей важности этой гипотезы и её “спортивной” привлекательности. И заключительная “вишенка на торте”. Почему замечательный математический текст, содержащий актуальный до сих пор результат, не был опубликован? Был ли он известен математическому сообществу? Ответы на эти вопросы нам представляются понятными. Приоритеты научного творчества в то время были не в количестве публикаций. Уж если садиться за написание статьи, то не для фиксации промежуточного, дополнительного результата, а для первого – “прорывного”, или для заключительного описания серьёзной теории, а то можно и вовсе на неопределённый период отложить писание статей, так как стране требуется более важный научный продукт. Была ли известна теорема из неопубликованной заметки математическому сообществу? Как оказалось, да! Если внимательно перечитать монографическую статью Мергеляна [10], то в основном для нас месте, где обсуждается эта тематика (в главе VIII), упоминается только теорема Келдыша с оценкой (2.1), опубликованная в [3], а вот во введении, на с. 9, описывая вкратце содержание главы VIII, С. Н. Мергелян пишет: “Известный в этом направлении результат М. В. Келдыша [3] о сходимости полиномов Бибербаха в замкнутых областях, для которых наклон касательной к границе удовлетворяет условию Гёльдера…”. Как видим, приведена точная формулировка условий теоремы из найденной рукописи Келдыша, на самом деле не вошедшей в статью [3]! Автор выражает благодарность за интересные и очень полезные беседы профессорам Владимиру Андриевскому (Kent State University, Ohio, USA), Виктору Горяинову (МФТИ, Россия), Марку Мельникову (Universitat Autònoma de Barcelona) и Никосу Стилианопулосу (Nikos Stylianopoulos, University of Cyprus).
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Apt21} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|