| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Сообщения Московского математического общества Неабелево обобщение волчка Эйлера на В. В. Соколов Институт теоретической физики им. Л. Д. Ландау Российской академии наук
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2021, Volume 76, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/RM9988 
Реферативные базы данных:
      В работах [1], [2] был предложен общий подход к построению интегрируемых некоммутативных обобщений данной интегрируемой системы с полиномиальной правой частью. Мы применяем его для нахождения некоммутативных аналогов волчка Эйлера. Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений
$$
\begin{equation}
u'=z_1\,v w, \quad v'=z_2\,u w, \quad w'=z_3\,u v, \qquad z_i\in \mathbb C, \quad z_i\ne 0,
\end{equation}
\tag{1}
$$
где $'$ означает производную по $t$. Система (1) обладает первыми интегралами $I_1=z_3 u^2-z_1 w^2$, $I_2=z_3 v^2-x_2 w^2$. Для любых $i$, $j$ система
$$
\begin{equation}
u_{\tau}=z_1\,v wI_1^i I_2^j, \quad v_{\tau}=z_2\,u wI_1^i I_2^j, \quad w_{\tau}=z_3\,u vI_1^i I_2^j
\end{equation}
\tag{2}
$$
является инфинитезимальной симметрией системы (1). С помощью растяжений независимой переменной и неизвестных функций параметры $z_i$ всегда можно превратить в единицы. Везде далее мы считаем, что $z_1=z_2=z_3=1$.
Наша цель – обобщить систему (1) на случай, когда неизвестные являются матрицами произвольного размера $n\times n$. Предполагая, что правые части по-прежнему являются однородными квадратичными полиномами и что при $n=1$ система совпадает с (1), приходим к анзацу
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, u'&=k_1 v w+(1-k_1)w v+c^1_{12}[v,w]+c^1_{23}[w,u]+c^1_{31}[u,v], \\ v'&=k_2 w u+(1-k_2)u w+c^2_{12}[w,u]+c^2_{23}[u,v]+c^2_{31}[v,w], \\ w'&=k_3 u v+(1-k_3)v u+c^3_{12}[u,v]+c^3_{23}[v,w]+c^3_{31}[w,u]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3}
$$
Потребуем, чтобы для каждого интеграла $R_{ij}=I_1^i I_2^j$ системы (1) у системы (3) существовал интеграл $\overline R_{ij}$ вида $\operatorname{trace} P_{ij}$, где $P_{ij}$ – некоторый матричный многочлен, который при $n=1$ совпадал бы с $R_{ij}$. Мы будем называть $\overline R_{ij}$ неабелиaнизацией интеграла $R_{ij}$. Предложение 1. Если для системы (3) существуют неабелиaнизации всех интегралов $R_{ij}$ при $i+j\leqslant 3$, то система имеет вид где $X$, $Y$, $Z$ – произвольные числовые параметры. Замечание 2. Перестановка переменных $u$, $v$, $w$ приводит к перестановке коэффициентов $X$, $Y$, $Z$. Кроме того, у коэффициентов можно менять знаки. Например, замена $u \to -u$, $t \to -t$ приводит к изменению знака $Y$. Для любых параметров $X$, $Y$, $Z$ у системы (4) имеется представление Лакса $L_t=[A,L]$ в алгебре Ли матриц над телом кватернионов (ср. [3]). Подразумевается, что кватернионы коммутируют с неабелевыми переменными $u$, $v$, $w$. Матрицы $L$ и $A$ имеют вид
$$
\begin{equation*}
L=\begin{pmatrix} L_1 & L_2 \\ -L_2 & L_1 \end{pmatrix}, \qquad A=\begin{pmatrix} A_1 & A_2 \\ -A_2 & A_1 \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} L_1&=2(\nu-\mu)\operatorname{Det}(S)u, &\qquad L_2&=\langle P,\Omega\rangle v+\langle Q,\Omega \rangle w, \\ A_1&=(-Y\,u-X\,v-Z\,w)\boldsymbol{1}+\sigma L_1, &\qquad A_2&=\mu \langle P,\Omega\rangle\,v+\nu\,\langle Q,\Omega\rangle\,w. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $\sigma$, $\mu$, $\nu$ – произвольные попарно неравные числа, $\Omega=({\mathbf i},{\mathbf j},{\mathbf k})$, $P$ и $Q$ – трехмерные векторы такие, что $\langle P,Q \rangle=0$, $\langle P,P \rangle=[4(\sigma-\mu)(\nu-\mu)]^{-1}$, $\langle Q,Q \rangle= [4(\sigma-\nu)(\mu-\nu)]^{-1}$, a $S$ – матрица со строками $P$, $Q$, $\Omega$. Если заменить кватернионные единицы ${\mathbf i}$, ${\mathbf j}$, ${\mathbf k}$ матрицами Паули, то получается пара Лакса в матрицах размера $4\times 4$, зависящая от одного существенного параметра $\kappa=(\sigma-\mu)(\nu-\mu)/[(\sigma-\nu)(\mu-\nu)]$. Остальные параметры нормируются сопряжением кватернионом, сдвигом $A \to A+\operatorname{const}L$ и растяжением переменных $t$, $u$, $v$, $w$. В частности, можно положить $\sigma=0$ и $\mu=1$.
Гипотеза 3. В случае системы (4) следы степеней оператора $L$ порождают неабелиaнизации всех интегралов $R_{ij}$. Замечание 4. Система (4) с $X=Y=Z=0$ может быть получена редукцией из (неабелева) уравнения Нама: $u'=[v,w]$, $v'=[w,u]$, $w'=[u,v]$. Эта система, как и само уравнение Нама, обладает первыми интегралами, но не имеет неабелевых полиномиальных симметрий. Возможно, у них есть нелокальные симметрии. Предложение 5. Если система (4) допускает неабелиaнизацию симметрии (2) с $i=1$, $j=0$, то заменами из замечания 2 она сводится к одной из следующих: 1) $X=Y=Z=1/2$; 2) $Y=Z=0$, $X=1/2$. Любопытно было бы понять, чем эти наборы параметров выделены с точки зрения предъявленной выше пары Лакса. Кроме того, интересно было бы применить подход из статьи [4] для квантования системы (4) и попытаться обобщить результаты работы [5] на неабелев случай. Автор благодарен И. З. Голубчику, М. Дунайскому (M. Dunajski) и В. Н. Рубцову за полезные обсуждения.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Sok21} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|