| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Сообщения Московского математического общества Модели Ландау–Гинзбурга полных пересечений в лагранжевых грассманианах В. В. Пржиялковскийa, К. Ритшb a Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук b King's College London, UK
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2021, Volume 76, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/RM9984 
Реферативные базы данных:
      Рассмотрим лагранжев грассманиан $\operatorname{LG}(n)$, параметризующий лагранжевы линейные подпространства $2n$-мерного комплексного симплектического пространства. Он вкладывается по Плюккеру в проективное пространство $\mathbb{P}$, так что для $H=\mathscr O_{\mathbb{P}}(1)$ имеем $\operatorname{Pic}(\operatorname{LG}(n))=\mathbb{Z} H$. Рассмотрим гладкое полное пересечение Фано $X\subset \operatorname{LG}(n)$ степеней $d_1,\dots,d_k$. Имеем $\sum_{i=1}^k d_i<n+1$, так что индекс Фано для $X$ равен $d_{k+1}=n+1-\sum_{i=1}^k d_i$. Пусть $p_i$, $i=1,\dots,n$, – формальные переменные; рассмотрим ряд
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I&=\sum_{l_1,\dots,l_n\in \mathbb{Z}_{\geqslant 0}}\, \prod_{j=1}^{k+1}\biggl(d_j\biggl(\sum l_i\biggr)\biggr)!\, \frac{\prod_{1\leqslant i<j\leqslant n}\,\prod_{m=1}^{l_i+l_j}(p_i+p_j+m)} {\prod_{i=1}^n\,\prod_{m=1}^{l_i}(p_i+m)^{2n}} \\ &\qquad\times\prod_{1\leqslant i<j\leqslant n}(p_j-p_i+l_j-l_i) \cdot t^{d_{k+1}(\sum l_i)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $\Omega=\prod_{1\leqslant i<j\leqslant n}(p_i-p_j)$. Легко увидеть, что $I$ делится на $\Omega$.
Теорема 1 (см. [2; теорема F.1]). Пусть $\tilde I^X_0$ – регуляризованный $I$-ряд для $X$. Тогда $\tilde I^X_0=(I/\Omega)_{p_1=\dots=p_n=0}$. Пусть $Y_n$ – диаграмма Юнга, состоящая из строки длины $n$, затем строки длины $n-1$ и т. д., вплоть до $n$-й строки длины $1$. Поставим в соответствие $(r,n+1-s)$-й ячейке диаграммы переменную $b_{rs}$; таким образом, $1\leqslant s\leqslant n$ и $1\leqslant r\leqslant s$. Положим $S=\{\underline{i}=(i_1,\dots,i_m)\in \mathbb{Z}^m\mid 1=i_1<i_2<\cdots<i_m<n+1\}$. Для $\underline i=(i_1,\dots,i_m)\in S$ положим $i_{m+1}=n+1$. Набору $\underline i\in S$ поставим в соответствие моном $C(\underline i)=\prod_{\{(r,s)\mid i_r\leqslant s < i_{r+1}\}}b_{rs}$. Для $s=1,\dots,n$ определим $T_s$ как сумму всех переменных из $s$-го столбца (считая справа) диаграммы Юнга $Y_n$, так что $T_s=\sum_{r=1}^{s}b_{rs}$. Кроме того, положим $T_{0}=\sum_{\underline i\in S}(C(\underline i))^{-1}$. Рассмотрим многочлен Лорана $\mathscr W_{\operatorname{LG}(n)}=\sum_{i=0}^n T_i$ от переменных $b_{rs}$. В [6] показано, что $\mathscr W_{\operatorname{LG}(n)}$ согласован с ограничением открытого “тора Люстига” суперпотенциала в теории Ли, ассоциированного с $G/P=\operatorname{LG}(n)$ в [9]. Теорема 2. Разбиение многочлена $\mathscr W_{\operatorname{LG}(n)}$ на слагаемые $\sum_{i\in E_j} T_i$ согласно разбиению $\{0,1,\dots,n\}=\bigsqcup_{j=0,\dots,k} E_j$, где $|E_j|=d_j$ для всех $j=1,\dots,k$, определяет неф-разбиение, соответствующее $(d_1,\dots,d_k)$. Доказательство. Пусть $X_\Delta$ – торическое многообразие Фано с веерным многогранником $\Delta$, совпадающим с многогранником Ньютона для $\mathscr W_{\operatorname{LG}(n)}$. Согласно [10], где многогранник моментов для $X_\Delta$ отождествляется с телом Ньютона–Окунькова для $\operatorname{LG}(n)$, оно является вырождением грассманиана $\operatorname{LG}(n)$. Для всех $0\leqslant r<s\leqslant n$ легко найти линейную функцию на $\Delta$, равную $1$ на вершинах, соответствующих $T_r$, и $-1$ на вершинах, соответствующих $T_s$, а на остальных вершинах обращающуюся в 0, что и доказывает теорему.
Определение 3. Модель Ландау–Гинзбурга типа Гивенталя [4] для $X$, построенная по модели Ландау–Гинзбурга $\mathscr W_{\operatorname{LG}(n)}$ для $\operatorname{LG}(n)$ и неф-разбиению $E_0,\dots,E_{k}$, соответствующему $X$, – это многообразие $G_X\subset(\mathbb{C}^*)^{n(n+1)/2}= \operatorname{Spec}\mathbb{C}[b_{rs}^{\pm 1}]$, определенное системой уравнений $\bigl\{\sum_{s\in E_1} T_s=\cdots=\sum_{s\in E_k} T_s=1\bigr\}$, и функция $w_X=\sum_{j\in E_{0}} T_j$. Положим $\delta_{-1}=0$ и $\delta_j=d_{k+1}-1+\sum_{i=1}^{j}d_i$. Для набора из ${n(n+1)}/2-k$ переменных $a_{rs}$, $1\leqslant r \leqslant s\leqslant n$, $(r,s)\ne(\delta_j,\delta_j)$, $1\leqslant j\leqslant k$, и чисел $a_{\delta_j,\delta_j}=1$, $1\leqslant j\leqslant k$, положим $A_{E_j}=\sum_{s\in E_j} A_s=\sum_{s\in E_j}\,\sum_{r=1}^s a_{rs}= \bigl(\,\sum_{s=\delta_{j-1}+1}^{\delta_j}\, \sum_{r=1}^{\min({s,\delta_j-1})}a_{rs}\bigr)+1$. Предложение 4. Многообразие $G_X$ с функцией $w_X$ бирационально эквивалентно над $\mathbb{C}$ тору $\check X=(\mathbb{C}^*)^{{n(n+1)}/2-k}$ с функцией, задаваемой многочленом Лорана Для $m\colon S\to \mathbb{Z}_{\geqslant 0}$ положим $M_{r,s}=\sum_{\{\underline i\mid i_r\leqslant s<i_{r+1}\}}m(\underline i)$. Пусть $[f]$ – свободный член многочлена Лорана $f$. Положим $I_f=\sum [f^i]t^i$. Комбинаторно доказывается следующее. Предложение 5. Имеем Следствие 7. Многочлен $f_X$ является слабой моделью Ландау–Гинзбурга [8] для $X$. Он удовлетворяет торическому условию [7], т. е. его многогранник Ньютона совпадает с веерным многогранником торического вырождения для $X$. Доказательство следует из [1; предложение 3.5] для $n=4$. (Заметим, что $\operatorname{LG}(2)$ является гиперплоским сечением грассманиана $\operatorname{Gr}(2,4)$, т. е. трехмерной квадрикой.)
Проблема 9. Используя теорему 2 и результаты работы [5], найти превратную фильтрацию Лере для $f_X$.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{PrzRie21} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|