| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 4 научных статьях (всего в 4 статьях) Теория гомотопов в применении к несмещенным базисам, гармоническому анализу на графах и превратным пучкам А. И. Бондалabcd, И. Ю. Ждановскийbe a Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук b Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет), Лаборатория алгебраической геометрии и гомологической алгебры c Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики" d Kavli Institute for the Physics and Mathematics of the Universe, University of Tokyo, Kashiwa, Japan e Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики", Лаборатория алгебраической геометрии и ее приложений
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2021, Volume 76, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/RM9983 
Реферативные базы данных:
      1. ВведениеЦентральным объектом исследования в этой работе являются так называемые гомотопы. Напомним, что это такое. Предположим, что у нас есть алгебра $A$ с единицей и фиксированный элемент $\Delta \in A$. Взятие гомотопа – это простая алгебраическая конструкция, позволяющая получать новую алгебру из алгебры $A$ и элемента $\Delta$. Новая алгебра $B^+$ как векторное пространство совпадает с $A$, а умножение определяется “через элемент $\Delta$”: Так как может оказаться, что новая алгебра не содержит единицы, то добавим единицу внешним образом. Получившуюся алгебру обозначим буквой $B$, это и есть гомотоп. Алгебра $B^+$ будет аугментационным идеалом в $B$.Несмотря на простоту определения, теория представлений гомотопов имеет глубокие связи с передовыми современными конструкциями гомологической алгебры. Кроме того, гомотопы позволяют выработать общий подход к задачам из различных областей математики и физики. Среди них проблема классификации конфигураций прямых в гильбертовом пространстве, описание ортогональных разложений простых алгебр Ли в прямую сумму картановских подалгебр, гармонический анализ на графах, классификация взаимно несмещенных базисов, имеющая широкое применение в квантовой механике и теории квантовой информации, описание превратных пучков на стратифицированных топологических пространствах, представления квазинаследственных алгебр и т. д. Цель этой работы – объяснить, как гомотопы естественным образом возникают в некоторых из перечисленных областей, развить категорно-гомологический подход к теории представлений гомотопов, продемонстрировать применение гомотопов в новых ситуациях, таких как алгебраическое описание превратных пучков на некоторых стратифицированных топологических пространствах. Исходная алгебра $A$ и ее гомотоп $B$ связаны парой гомоморфизмов $B\to A$. Эти гомоморфизмы имеют важное значение для понимания теории представлений гомотопов. В рамках общей теории мы формализуем условия на элемент $\Delta\in A$, которые позволяют получить хорошее категорное описание представлений гомотопа $B$ в терминах представлений алгебры $A$. Условий два: одно из них – двусторонний идеал, порожденный $\Delta$, совпадает со всем $A$, а второе – аугментационный идеал $B^+$ гомотопа является проективным как левый и правый модуль над $B$. Такие элементы мы называем хорошо темперированными. Мы показываем, что свойство хорошей темперированности инвариантно на двойных смежных классах алгебры $A$ относительно действия группы обратимых элементов $A$. Мы обсуждаем гомологические свойства гомотопа и находим верхние границы его хохшильдовой и глобальной размерностей в терминах тех же размерностей для алгебры $A$. Условие проективности аугментационного идеала можно анализировать в терминах некоммутативной дифференциальной геометрии. Гомотопы оказываются Морита-эквивалентными при надлежащим образом определенной гомотопической эквивалентности элементов $\Delta$. Это побуждает нас сохранить историческое название гомотоп, появившееся в исследованиях по алгебре около шестидесяти лет назад. Интересно, что в случае, когда $A$ – коммутативная алгебра, конструкция гомотопа имеет геометрический смысл дивизориального стягивания. Впрочем, в этой ситуации элемент $\Delta$ хорошо темперирован, только если он обратим. Мы рассматриваем алгебру $B(\Gamma)$ для произвольного графа $\Gamma$ без кратных ребер и петель и изучаем ее теорию представлений. Чтобы описать эту алгебру, будем нумеровать ребра графа парами вершин графа. Алгебра $B(\Gamma)$ зависит от обратимых параметров $s_{ij}$, соответствующих ребрам $(ij)$ графа $\Gamma$. Порождающие $B(\Gamma)$ как алгебры – это идемпотенты $x_i$, где $i$ пробегает вершины графа, а соотношения выглядят так:
Нашей первоначальной мотивацией для рассмотрения алгебры $B(\Gamma)$ была задача классификации систем $m$ попарно ортогональных относительно формы Киллинга картановских подалгебр в алгебре Ли $\operatorname{sl}(n,\mathbb{C})$. Эта задача несложным образом переписывается в терминах представлений алгебры $B(\Gamma_m(n))$, где граф $\Gamma_m(n)$ представляет собой $m$ рядов вершин, по $n$ вершин в каждом ряду, при этом две вершины соединены ребром тогда и только тогда, когда они находятся в разных рядах. Проблема классификации ортогональных картановских подалгебр переформулируется как проблема нахождения системы проекторов, удовлетворяющих условию несмещенности (см. п. 2.2). Эти условия определяют представление $B(\Gamma_m(n))$ для параметров $s_{ij}=1/n$. В терминах представлений алгебр $B(\Gamma)$ для других графов можно переформулировать многие другие классические и современные проблемы в алгебре и алгебраической геометрии, в частности поризм Понселе [49] и его обобщения. Большой интерес представляет также унитарная версия представлений $B(\Gamma)$. В этом случае мы рассматриваем представления в эрмитовом (или евклидовом) пространстве и требуем, чтобы порождающие идемпотенты были представлены эрмитовыми (соответственно ортогональными) проекторами. Классификация таких представлений включает в себя классификацию наборов прямых в эрмитовом векторном пространстве с заданными углами между ними. Упомянутая выше алгебраическая версия этой проблемы имеет интерпретацию как комплексификация унитарной версии. Эрмитовы представления $B(\Gamma)$ определяют так называемые взаимно несмещенные базисы. Проблема классификации таких базисов привлекала широкое внимание специалистов в области квантовой теории информации в связи с квантовым кодированием, декодированием и квантовой томографией. В п. 3.3 мы кратко освещаем, как взаимно несмещенные базисы появляются в этом контексте, на примере квантовых протоколов передачи информации. Алгебра $B(\Gamma)$ – фактор знаменитых алгебр Темперли–Либа и Гекке для графа $\Gamma$. Таким образом, описание представлений алгебры $B(\Gamma)$ является первым шагом к изучению представлений алгебр Гекке для общих графов. Несмотря на очень богатую теорию представлений алгебр Гекке для обычных и аффинных диаграм Дынкина, про представления алгебр Гекке общих графов с некоммутативной фундаментальной группой известно очень мало. Теория представлений алгебры $B(\Gamma)$ тесно связана с гармоническим анализом локальных систем на графе. Основным наблюдением, позволяющим установить эту связь, является тот факт, что алгебра $B(\Gamma)$ – результат применения конструкции гомотопа к группоиду Пуанкаре графа и элементу $\Delta$, который является обобщенным лапласианом на $\Gamma$ (см. пп. 5.1, 5.3). Более того, обобщенные лапласианы – пример хорошо темперированных элементов в группоиде Пуанкаре. Эта конструкция позволяет построить пару гомоморфизмов из $B(\Gamma)$ в группоид Пуанкаре $\Gamma$. С их помощью можно описать представления $B(\Gamma)$ в терминах представлений группоида Пуанкаре и естественных функторов, возникающих из этих гомоморфизмов. Представления группоида Пуанкаре отождествляются с локальными системами на графе, что и позволяет установить связь с гармоническим анализом локальных систем. Отметим также, что эрмитова версия тесно связана с положительностью оператора Лапласа. Группоид Пуанкаре графа изоморфен матричной алгебре над групповой алгеброй фундаментальной группы. В частности, для односвязного графа (другими словами, дерева) получаем, что группоид Пуанкаре – это матричная алгебра над полем. Все ненулевые элементы этой алгебры хорошо темперированы. Было бы интересно получить классификацию хорошо темперированных элементов в матричных алгебрах над групповыми алгебрами свободных групп, каковыми являются фундаментальные группы графов. Если алгебра $A$ когерентна над нётеровым коммутативным кольцом $\mathbb{K}$, а элемент $\Delta$ хорошо темперирован, то гомотоп также будет когерентной алгеброй. Поэтому конечно представимые модули над ним образуют абелеву категорию. Мы описываем теорию представлений гомотопов. Сначала мы концентрируем внимание на свойствах функторов и естественных преобразований между категориями представлений алгебры $A$ и ее гомотопа $B$, построенного по хорошо темперированному элементу в $A$. Далее мы рассматриваем производные категории и в случае хорошо темперированного $\Delta$ показываем, что производная категория $D(B \text{-} \mathrm{mod})$ имеет данные склейки с подкатегорией $D(\mathbb{K} \text{-} \mathrm{mod})$ и факторкатегорией $D(A \text{-} \mathrm{mod})$. Мы определяем склеивающий DG-функтор $D(A \text{-} \mathrm{mod})\to D(\mathbb{K} \text{-} \mathrm{mod})$. Абелева категория $B \text{-} \mathrm{mod}$ оказывается сердцевиной $t$-структуры, полученной склейкой стандартных $t$-структур на подкатегории и факторкатегории. Этот факт является ключевым для понимания категорного смысла гомотопов и построения различных разумных обобщений конструкции гомотопа. Гомотоп появляется естественным образом в терминах DG-склейки категорий с подходящими условиями. А именно, он представляет собой алгебру эндоморфизмов тилтинг-объекта. Разумные обобщения условий склейки должны приводить к новым интересным с точки зрения теории представлений алгебраическим конструкциям, обобщающим гомотоп. На этом пути мы делаем только первые шаги – вводим понятие обобщенного гомотопа. Для хорошо темперированного $\Delta$ категория $D(B \text{-} \mathrm{mod})$ имеет полуортогональное разложение в подкатегории $D(\mathbb{K} \text{-} \mathrm{mod})$ и $D(A \text{-} \mathrm{mod})$. Поэтому с точки зрения производных категорий конструкция гомотопа в хорошо темперированном случае больше напоминает раздутие точки на поверхности, чем стягивание дивизора, как это имеет место быть для коммутативной $A$. Мы изучаем представления $B(\Gamma)$ для некоторых графов. Особенно интересна задача поиска представлений, имеющих минимальную ненулевую размерность. В частности, если $B(\Gamma)=B(\Gamma_m(n))$, то минимальная размерность не меньше $n$, и представления такой размерности в точности соответствуют ортогональным картановским подалгебрам в $\operatorname{sl}(n,\mathbb{C})$. Другой пример – когда $\Gamma$ есть циклический граф с $n$ вершинами. Тогда минимально возможная размерность представления $B(\Gamma)$ равна $n-2$ для определенного выбора праметров $s_{ij}$. Последняя тема, которая затрагивается в этом обзоре, – связь гомотопов с теорией превратных пучков на стратифицированных топологических пространствах. Так как категории представлений гомотопа и категории превратных пучков являются сердцевинами склеенных $t$-структур, то можно ожидать, что в некоторых ситуациях гомотопы дают описание превратных пучков. Эта задача особенно актуальна, так как явное описание превратных пучков на стратифицированных пространствах используется в последнее время для их категорификаций, которые называются шоберами [34]. Мы делаем первые шаги в этом направлении: показываем, как описать с помощью гомотопа хорошо известную категорию превратных пучков на диске, стратифицированном точкой в центре диска и дополнением к ней. Наше описание внешне отличается от описания с помощью близких и исчезающих циклов, и этим может представлять независимый интерес. Кроме того, категория превратных пучков на комплексной рациональной кривой с двойной точкой эквивалентна категории конечномерных представлений $B(\Gamma) \text{-} \mathrm{mod}$, где $\Gamma$ – циклический граф, а обобщенный оператор Лапласа выбран подходящим образом. Этот пример можно считать мостиком между дискретным гармоническим анализом и топологией стратифицированных топологических пространств. Было бы интересно сравнить этот результат с описанием микролокальных пучков на римановых поверхностях с обыкновенными двойными точками, предложенным в [4]. 2. Ортогональные картановские подалгебры и алгебраически несмещенные проекторы2.1. Ортогональные картановские подалгебрыРассмотрим простую алгебру Ли $L$ над алгебраически замкнутым полем характеристики 0. Пусть $K$ – форма Киллинга на $L$. В 1960 г. Дж. Томпсон в связи с изучением целочисленных решеток сформулировал следующие определения. Определение. Две картановские подалгебры $H_1$ и $H_2$ называются ортогональными, если $K(h_1,h_2)=0$ для любых $h_1 \in H_1$, $h_2 \in H_2$. Определение. Разложение алгебры Ли $L$ в прямую сумму картановских подалгебр, $L=\bigoplus\limits^{h+1}_{i=1}H_i$, называется ортогональным, если картановские подалгебры попарно ортогональны. Тогда же началось и интенсивное изучение ортогональных разложений (см. книгу [40] и ссылки в ней). Для алгебры Ли $\operatorname{sl}(n)$ A. И. Кострикин, И. А. Кострикин и В. А. Уфнаровский пришли к следующей гипотезе, которая была названа гипотезой Винни-Пуха [38]. Причиной для такого названия была игра слов в книге Милна в русском переводе (см. [40]). Гипотеза 1. Алгебра Ли $\operatorname{sl}(n)$ имеет ортогональное разложение тогда и только тогда, когда $n=p^m$ для простого $p$. Гипотеза до сих пор не доказана, даже вопрос отсутствия ортогонального разложения в случае первого числа $n=6$, не являющегося степенью простого (т. е. для алгебры Ли $\operatorname{sl}(6)$), остается открытым. В связи с этим, а также ввиду приложений к квантовой теории информации, о которых будет сказано ниже, интересно было бы найти максимальное число попарно ортогональных картановских подалгебр в $\operatorname{sl}(n)$ для любого заданного $n$ и классифицировать с точностью до очевидных симметрий такие максимальные наборы картановских подалгебр. Напомним интерпретацию и обобщение проблемы ортогональных разложений в терминах системы минимальных проекторов и представлений алгебр Темперли–Либа и Гекке некоторых графов. Эта связь была открыта первым автором настоящей работы около 35 лет назад (см. [40]). 2.2. Алгебраически несмещенные проекторыПусть $V$ есть $n$-мерное векторное пространство над полем характеристики 0. Пара минимальных (т. е. ранга 1) проекторов $p$ и $q$ на $V$ называется алгебраически несмещенной, если Это условие можно сформулировать эквивалентным образом так:Также мы будем рассматривать ортогональные проекторы. Ортогональность в этом случае означает следующие уравнения: Два максимальных (т. е. мощности $n$) набора минимальных ортогональных проекторов $(p_1,\dots,p_n)$ и $(q_1,\dots,q_n)$ назовем алгебраически несмещенными, если $p_i$ и $q_j$ алгебраически несмещенные для любых пар $(i,j)$. Пусть $\operatorname{sl}(V)$ – алгебра Ли операторов со следом нуль, действующих в пространстве $V$. Форма Киллинга в этом случае – след произведения операторов. Расширяя произвольную картановскую подалгебру $H$ тождественным оператором, получаем абелеву подалгебру $H'$ в матричной алгебре. Беря все проекторы ранга 1 в $H'$, получаем максимальный набор ортогональных проекторов в $V$. Очевидно, что такой набор единственный. Будем говорить, что эти проекторы ассоциированы с $H$. Если $p \in H'$ – минимальный проектор, то $\operatorname{tr}(p)=1$ и, следовательно, $p-\dfrac{1}{n} E \in H$. Если проекторы $p$, $q$ ассоциированы с двумя ортогональными картановскими подалгебрами, то
$$
\begin{equation*}
\operatorname{tr}\biggl(p-\frac{1}{n}E\biggr)\biggl(q-\frac{1}{n}E\biggr)=0,
\end{equation*}
\notag
$$
т. е. $p$ и $q$ алгебраически несмещены. Таким образом, имеем биекцию между парами ортогональных (или, по-другому, ортогональными парами) картановских подалгебр и двумя алгебраически несмещенными максимальными наборами минимальных ортогональных проекторов. Аналогично, ортогональные разложения $\operatorname{sl}(n)$ соответствуют $n+1$ попарно алгебраически несмещенным максимальным наборам минимальных ортогональных проекторов. При работе над гипотезой 1 имеет смысл рассматривать алгебраическую несмещенность не только максимальных наборов ортогональных проекторов, но и неполных ортогональных наборов. Соответственно, мы приходим к необходимости рассматривать наборы проекторов, попарно удовлетворяющих условиям или (2)–(3), или (4). Здесь отметим, что это как раз и задает представление редуцированной алгебры Темперли–Либа, о которой пойдет речь в разделе 4. Выразим алгебраическую несмещенность через векторы и ковекторы. Пусть проекторы $p$ и $q$ заданы так: где $e,f \in V$ и $x,y \in V^*$. Уравнения $p^2=p$ и $q^2=q$ в этих терминах означают: здесь $(\,\cdot\,,\,\cdot\,)$ – стандартное спаривание между векторами и ковекторами. Тогда алгебраическая несмещенность означает следующее: Ортогональность в свою очередь можно сформулировать так:2.3. Переформулировка задачи в терминах графовРассмотрения из предыдущего пункта приводят нас к следующей формулировке общей задачи на системы проекторов. Зафиксируем конечный граф $\Gamma$ без кратных путей и петель. Рассмотрим конечномерное пространство $V$ и свяжем с каждой вершиной графа проектор в $V$ ранга 1. Если две вершины соединены ребром, то будем считать, что соответствующие проекторы алгебраически несмещены, а если ребра нет – что проекторы ортогональны. Задача состоит в том, чтобы для данного графа классифицировать (по модулю автоморфизмов $V$) все возможные системы проекторов, удовлетворяющие этим условиям. Отметим, что в этой проблеме роли пространства $V$ и его двойственного $V^*$ симметричны. А именно, уравнения (2), (3) и (4) инвариантны относительно замены проекторов в пространстве $V$ на сопряженные операторы в двойственном пространстве: Тем самым любой конфигурации проекторов в пространстве $V$ соответствует конфигурация проекторов в $V^*$, и наоборот.Проекторы ранга 1 могут быть параметризованы точками многообразия ${\mathbb P}(V)\times {\mathbb P}(V^*)\setminus D$, где $D$ – дивизор инцидентности. Каждый проектор $p$ задается как $p=e\otimes x$, где $e$ – вектор и $x$ – ковектор, удовлетворяющие соотношению $(e,x)=1$. На $V \otimes V^*$ имеется действие тора $k^*$ по формулам $e\mapsto \lambda e$, а $x\mapsto \lambda ^{-1}x$ для $\lambda \in k^*$. Очевидно, что если $p=e \otimes v$, то $e$ и $v$ определены с точностью до действия $k^*$. Далее, на $V \times V^*$ определена стандартная симплектическая форма, которую сохраняет действие тора. Множество решений уравнения $(e,x)=1$ – это прообраз единицы при отображении моментов. Следовательно, фактор многообразия, заданного этим уравнением по действию $k^*$, – это симплектическая редукция. В результате этот фактор становится симплектическим многообразием. Очевидным образом, симплектическая структура на ${\mathbb P}(V)\times {\mathbb P}(V^*)\setminus D$ совпадает со скобкой Костанта–Кириллова–Ли на (ко)присоединенной орбите минимальных проекторов алгебры Ли $\operatorname{gl}(V)$. Рассмотрим многообразие модулей решений задачи классификации систем проекторов. На самом деле, тонкое многообразие модулей образует стэк, так как любая конфигурация проекторов имеет очевидную группу автоморфизмов $k^*$. Однако при наложении подходящих условий на конфигурацию других автоморфизмов не будет. Предложение 2. Пусть $\Gamma$ – связный граф. Предположим, что конфигурация проекторов удовлетворяет одному из двух условий: либо образы всех проекторов порождают все пространство $V$, либо пересечение всех ядер проекторов – тривиально. Тогда автоморфизмами конфигураций проекторов будут только скалярные операторы (т. е. группа автоморфизмов – это $k^*$). Доказательство. Для определенности предположим, что образы всех проекторов порождают все пространство $V$. Автоморфизмы конфигурации должны каждый проектор оставлять на месте. Если проекторы $p$ и $q$ алгебраически несмещены, то для ненулевого вектора $v$ из образа проектора $p$ имеем следующее: что, в частности, означает, что $qv$ – ненулевой вектор из образа $q$. Применяя к этому равенству любой обратимый автоморфизм, коммутирующий с $p$ и $q$, получаем, что такой оператор действует на $v$ и $qv$ умножением на один и тот же скаляр. Следовательно, на образах $p$ и $q$ этот оператор действует умножением на общий скаляр. Так как граф связный, скаляр один и тот же для образов всех проекторов. А поскольку образы проекторов порождают $V$, получаем, что автоморфизм действует скалярно. Применение двойственности влечет требуемое для случая тривиального пересечения ядер. Предложение доказано. Будем говорить, что конфигурация минимальна, если образы проекторов порождают все пространство $V$ и пересечение ядер проекторов тривиально. Пусть $\widetilde{\mathscr M}^n(\Gamma)$ – стэк модулей минимальных конфигураций в ${\mathbb C}^n$. Из предложения 2 получаем, что это $k^*$-сноп. Обозначим через ${\mathscr M}^n(\Gamma)$ грубое многообразие модулей этого снопа. Это многообразие – фактор по действию $\operatorname{GL}(V)$ подмногообразия в прямом произведении копий ${\mathbb P(V)}\times {\mathbb P(V^*)}\setminus D$, по одной копии на каждую вершину. Однако это описание не очень удобно для вычислений. С каждой конфигурацией ассоциируем каноническим образом минимальную конфигурацию за счет уменьшения размерности $V$. Для этого возьмем подпространство, порожденное образами всех проекторов. В этом подпространстве имеем индуцированную конфигурацию, отвечающую тому же графу. Если пересечение ядер проекторов в новой конфигурации нетривиально, то профакторизуем пространство по этому пересечению. В результате получим минимальную конфигурацию. Будем говорить, что две конфигурации $S$-эквивалентны, если соответствующие минимальные конфигурации изоморфны. Рассмотрим множество ${\mathscr M}(\Gamma)$ классов изоморфизма всех минимальных конфигураций для всех возможных $n$. Мы снабдим его структурой аффинного многообразия. На нем имеется стратификация со стратами ${\mathscr M}^n(\Gamma)$, которые параметризуют минимальные конфигурации данной размерности $n$: Эквивалентным образом, это многообразие параметризует классы $S$-эквивалентности конфигураций в векторном пространстве размерности, равной числу вершин в графе. Отметим, что все это имеет естественную интерпретацию в контексте теории представлений и склейки $t$-структур, о которых речь ниже. Вопросы симплектической геометрии теории несмещенных проекторов обсуждаются в работе [11]. 2.4. Многообразие модулей конфигураций – торПокажем, что ${\mathscr M}(\Gamma)$ является тором $k^{*N}$. Опишем порождающее множество функций на нем. Рассмотрим цикл $\gamma$ длины $s$ в графе $\Gamma$. Выберем у него ориентацию и возьмем произведение $p_{\gamma}=p_1\cdots p_s$ проекторов, соответствующих вершинам цикла, взятым в соответствии с любым полным порядком, согласованным с циклическим порядком, индуцированным ориентацией цикла (некоторые вершины могут повторяться). Очевидным образом, след $T_{\gamma}$ полученного оператора не зависит от выбора полного порядка, согласованного с циклическим. Получаем регулярную функцию на многообразии модулей конфигураций. Это множество функций параметризовано гомотопическими классами циклических путей в $\Gamma$. Так как оператор $p_{\gamma}p_1$, если он ненулевой, имеет те же ядро и образ, что и проектор $p_1$, то он пропорционален $p_1$. Беря след, получаем коэффициент пропорциональности: Теперь возьмем циклический путь $\widehat{\gamma}$ с теми же вершинами, что и $\gamma$, но с противоположной ориентацией. Рассмотрим оператор $p_{\widehat{\gamma}}=p_s\cdots p_1$. Порядок вершин в этом произведении противоположен полному порядку вершин, выбранных для определения $\gamma$. Как и ранее, выполнено равенствоИспользуя это равенство, приходим к формуле
$$
\begin{equation}
T_{\gamma}T_{\widehat\gamma}p_1=p_{\gamma}p_1p_{\widehat\gamma}= \frac{1}{n^s} p_1,
\end{equation}
\tag{10}
$$
которая получается в результате последовательного применения (2) и (3) несколько раз. Таким образом, Удобно ввести нормализованные функции $S_{\gamma}$: здесь $|\gamma|$ – длина циклического пути $\gamma$, т. е. число ребер в $\gamma$. Тогда соотношение (11) переписывается в более удобном виде: Рассмотрим $\Gamma$ как топологическое пространство, т. е. одномерный CW-комплекс. Теорема 3. (i) $S_{\gamma}$ зависит только от гомотопического класса свободной петли $\gamma$. (ii) Соответствие $\gamma \mapsto S_{\gamma}$ продолжается до гомоморфизма ${\rm H}_1(\Gamma,{\mathbb Z})\to k^*$. (iii) $S_{\gamma}$ не зависит от выбора представителя в классе $S$-эквивалентности. (iv) Отображение ${\mathscr M}(\Gamma)\to {\rm H}^1(\Gamma,k^*)$, заданное $S_{\gamma}$, биективно. Доказательство. Для данного циклического пути $\gamma$ существует минимальная свободная петля $\gamma_0$ в графе, представляющая гомотопический класс $\gamma$. Циклический путь $\gamma$ может быть стянут на $\gamma_0$ последовательностью элементарных стягиваний, т. е. таких, при которых стягиваются ребро с одной ориентацией и следующее за ним в цикле то же ребро с противоположной ориентацией. Из соотношений (2) и (3) получаем, что $S_{\gamma}$ не зависит от этих стягиваний. Это доказывает (i). Доказательство остальных утверждений теоремы будет удобнее воспроизвести после того, как мы разовьем более концептуальный подход с помощью группоида Пуанкаре (см. п. 7.3). Рассмотрим граф $\Gamma_m(n)$, который состоит из $m$ рядов вершин, по $n$ вершин в каждом, при этом две вершины соединены ребром тогда и только тогда, когда они лежат в разных рядах. Ввиду того, что было объяснено в п. 2.2, конфигурация проекторов, соответствующая графу $\Gamma_m(n)$, в векторном пространстве $V$ размерности $n$ определяет набор $m$ попарно ортогональных картановских подалгебр в $\operatorname{sl}(n)$. Ограничение на размерность представления имеет здесь решающее значение. На многообразии модулей конфигураций это соответствует выделенному страту тора, который параметризует представления минимально возможной размерности. Отметим также, что модули набора ортогональных картановских подалгебр – это фактор ${\mathscr M}^n(\Gamma_m(n))$ по действию произведения симметрических групп $S_n$, переставляющих вершины в каждом ряду графа. 2.5. Обобщения проблемыЕстественно рассмотреть задачу о конфигурациях проекторов в более широком контексте. Для этого заменим константы $1/n$ в правых частях (2) и (3) ненулевой константой $r \in k^*$. Два проектора ранга 1 назовем $r$-несмещенными, если или, что эквивалентно,Далее, при рассмотрении проблемы для системы проекторов для данного графа мы можем считать, что $r$ зависит от ребра. Тогда начальными данными будут граф $\Gamma$ и набор констант $r_{ij} \in k^*$ для каждого ребра $(ij)$ графа. Соответствующие соотношения на порождающие выглядят так: если ребро $(ij)$ есть в графе. Если ребра $(ij)$ нет, то будем считать, что проекторы $p_i$ и $p_j$ ортогональны.Все, что мы сформулировали в п. 2.4, будет верно (с небольшими изменениями) и для обобщенной версии. В частности, формула (12) для $S_{\gamma}$ будет такой:
$$
\begin{equation}
S_{\gamma}=\frac{1}{\sqrt{\prod r_{i,i+1}}}T_{\gamma},
\end{equation}
\tag{18}
$$
здесь произведение под знаком квадратного корня берется по всем ребрам в $\gamma$, а $T_{\gamma}$ – след произведения проекторов, соответствующих вершинам в циклическом пути $\gamma$. Остальное – mutatis mutandis. Теорема 3 имеет очевидное обобщение, формулировку которого мы оставляем читателю. Кроме того, мы можем обобщить нашу задачу на случай проекторов большего ранга. В этом случае уравнения (16) и (17) неэквивалентны. Соответственно, надо накладывать оба этих соотношения. Отметим, что из этих соотношений немедленно следует, что проекторы $p_i$ и $p_j$ имеют одинаковые ранги. Таким образом, все проекторы – одного ранга, если граф связный. Мы переформулируем эту задачу в терминах представлений алгебры $B(\Gamma)$ в разделе 4. Аналогично гомологической интерпретации для случая ранга 1, случай большего ранга соответствует локальным системам большего ранга на графе $\Gamma$, рассматриваемом как топологическое пространство. 2.6. Обобщенные матрицы АдамараВ этом пункте мы покажем, как обобщенные матрицы Адамара связаны с ортогональными парами картановских подалгебр в алгебре Ли $\operatorname{sl}(n)$. Обозначим через $\mathscr M$ множество $(n \times n)$-матриц над полем $k$ с ненулевыми элементами. Матрицу $A=\{a_{ij}\} \in {\mathscr M}$ будем называть обобщенной матрицей Адамара (или обобщенной адамаровой матрицей), если для всех $i \ne s$.Это условие можно выразить в терминах инволюции Адамара $h\colon {\mathscr M} \to {\mathscr M}$, определенной по формуле Предложение 4. Матрица $A$ – обобщенная адамарова тогда и только тогда, когда $A$ обратима и $h(A)=A^{-1}$. Напомним, что любые две картановские подалгебры в простой алгебре Ли переводятся друг в друга автоморфизмом алгебры Ли. В случае $\operatorname{sl}(n)$ получаем, что картановские подалгебры сопряжены элементами из $\operatorname{GL}(n)$. Тогда мы можем фиксировать диагональную картановскую подалгебру в качестве одной из наших картановских, а вторую считать сопряженной ей с помощью невырожденной матрицы $A$. Нормализатор диагональной подалгебры состоит из мономиальных матриц. Следовательно, матрица $A$ определена с точностью до преобразований где $M_1$ и $M_2$ – обратимые мономиальные матрицы.Предложение 5 [40]. Две картановские подалгебры $H$ и $AHA^{-1}$ образуют ортогональную пару в $\operatorname{sl}(n)$ тогда и только тогда, когда $A$ – обобщенная адамарова матрица. Напомним, что ортогональные пары картановских подалгебр соответствуют конфигурациям проекторов, отвечающих графу $\Gamma_2(n)$. И значит, такие конфигурации описываются, с точностью до конечных симметрий, многообразием обобщенных адамаровых матриц. Теорема 3 говорит нам, что пространство модулей конфигураций во всех размерностях является $k^*$-тором размерности $(n-1)^2$ (ранг первых гомологий графа $\Gamma_2(n)$). Этот тор можно отождествить с фактором многообразия ${\mathscr M}$ по правому и левому умножению на диагональные матрицы. Несложно видеть, что уравнения (19) инвариантны относительно этого действия. Эти уравнения определяют страт тора, параметризующий представления минимально возможной размерности, которая для рассматриваемого случая равна $n$. 3. Эрмитов случай3.1. Взаимно несмещенные базисы и конфигурация прямых в эрмитовом пространствеПонятие несмещенных базисов впервые появилось в физике [50], [31]. Это унитарная версия несмещенности, введенной в разделе 2. В этом разделе мы определим их, а затем объясним на примере, как применяются взаимно несмещенные базисы в квантовой теории информации. Пусть $V$ есть $n$-мерное комплексное пространство с фиксированной эрмитовой формой $\langle-,-\rangle$. Два ортонормированных базиса $\{e_i\}$ и $\{f_j\}$ в $V$ называются взаимно несмещенными, если для всех пар $(i,j)$ выполнено следующее условие: Рассмотрим ортогональные проекторы $p_i$ и $q_j$, соответствующие этим базисам. Они определяются так:
$$
\begin{equation*}
p_i(-)=e_i\otimes \langle -,e_i \rangle,\qquad q_j(-)=f_j\otimes \langle -,f_j \rangle.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда условие (6) выполнено для этих проекторов, т. е. пары проекторов $(p_i,q_j)$ для любых $i$, $j$ алгебраически несмещены. Отметим, что эти проекторы имеют ранг 1 и, будучи таковыми, определены ненулевыми векторами в своих образах. Будем говорить, что пара проекторов ранга 1 несмещенная, если это алгебраически несмещенная пара эрмитовых проекторов. Можно поставить общую задачу классификации конфигураций несмещенных эрмитовых проекторов, сходную с задачей конфигураций алгебраически несмещенных проекторов. Поскольку эрмитовы проекторы ранга 1 определены своим образом – одномерным подпространством (прямой) в $V$, то конфигурации можно понимать в терминах точек в ${\mathbb P}(V)$, но мы пока остановимся на формулировке в терминах прямых. Зафиксируем конечный граф $\Gamma$ без кратных ребер и петель и конечномерное эрмитово векторное пространство $V$ размерности $n$. Каждой вершине графа поставим в соответствие вектор длины 1 в $V$. Если две вершины соединены ребром, то наложим условие на векторы $e$ и $f$, соответствующие этим вершинам. Если ребра между вершинами нет, то потребуем, чтобы векторы были перпендикулярны. Задача состоит в том, чтобы классифицировать все такие системы по модулю действия автоморфизмов $V$ и групп $\mathrm{U}(1)$, соответствующих заменам фазы векторов, отвечающих вершинам.Имеется также эрмитова версия обобщенной алгебраической задачи. Для этого рассмотрим полный граф $\Gamma$ вместе с числами $r_{ij}$, $0 \leqslant r_{ij} \leqslant 1$, соответствующими ребрам $(ij)$. Проблема состоит в том, чтобы найти конфигурацию прямых, соответствующих вершинам графа и удовлетворяющих условию для любого выбора $e_i$ и $e_j$ векторов длины 1 в прямых, соответствующих вершинам $i$ и $j$ в графе. Условие $r_{ij}=0$ соответствует отсутствию ребра в графе между вершинами $i$ и $j$ в алгебраической версии проблемы (в этом случае условие задано двумя соотношениями (7) вместо одного в эрмитовом случае).Отметим, что все эти условия всего лишь фиксация углов между прямыми в конфигурации. Обобщая, можно рассмотреть подпространства фиксированной размерности в эрмитовом пространстве и зафиксировать углы между ними. Это будет соответствовать представлениям более высокого ранга алгебры $B(\Gamma)$ (см. ниже). 3.2. Пространство модулей конфигураций прямых и комплексно-адамаровы матрицыВ случае базисного поля комплексных чисел можно интерпретировать алгебраическую несмещенность как комплексификацию несмещенности. А именно, рассмотрим многообразие ${\mathscr M}(\Gamma)$ всех конфигураций проекторов, соответствующих графу. Это алгебраическое подмногообразие произведения нескольких копий ${\mathbb P}(V)\times {\mathbb P}(V^*)\setminus D$, по одной на каждую вершину $\Gamma$. Зафиксируем эрмитову форму на $V$. Эрмитова инволюция определяет новую двойственность на множестве алгебраических конфигураций: Эта двойственность индуцирует антиголоморфную инволюцию на ${\mathscr M}(\Gamma)$. Несложно увидеть, что эта инволюция переводит $S_{\gamma}$ в $\overline S_{\widehat\gamma}$.Также отметим, что инволюция сохраняет все страты ${\mathscr M}^n(\Gamma)$ и, в частности, переводит минимальные конфигурации в минимальные. Так как проекторы, соответствующие взаимно несмещенным базисам, являются алгебраически несмещенными, то эти базисы служат примерами ортогональных картановских подалгебр в $\operatorname{sl}(n)$. Задавая $m$ попарно взаимно несмещенных базисов ${\mathscr B}_1,{\mathscr B}_2,\dots,{\mathscr B}_{m}$ в эрмитовом пространстве $V$, мы получаем $m$ попарно ортогональных картановских подалгебр $H_1,H_2,\dots,H_{m}$ в $\operatorname{sl}(n)$. В частности, набор $n+1$ взаимно несмещенных базисов в $n$-мерном эрмитовом пространстве дает пример ортогонального разложения $\operatorname{sl}(n)$. Этот факт был отмечен в работе [13]. Пусть $\mathscr B$ – ортонормированный базис в $\mathbb{C}^n$. Назовем матрицу $A=(a_{ij})$ комплексной адамаровой, если базисы $\mathscr B$ и $A({\mathscr B})$ взаимно несмещены. Также будем говорить, что две комплексно-адамаровы матрицы $A$ и $C$ эквивалентны, если $A=M_1 C M_2$ для некоторых унитарных мономиальных матриц $M_1$, $M_2$. Отметим связь комплексно-адамаровых и обобщенно-адамаровых матриц: $A$ является комплексно-адамаровой $(n \times n)$-матрицей тогда и только тогда, когда $A$ – обобщенно-адамарова матрица и $|a_{ij}|=1/n$. Задача классификации обобщенных (или комплексных) матриц Адамара фактически является задачей классификации ортогональных пар картановских подалгебр в $\operatorname{sl}(n)$ (соответственно пар взаимно несмещенных базисов в $\mathbb{C}^n$). Эта задача к настоящему времени решена полностью только в случае $n \leqslant 5$ (см. [39], [28]): установлено, что в случаях $n=2,3,5$ есть только конечное число обобщенных матриц Адамара, в случае же $n=4$ эти матрицы параметризуются кривой. В случае $n=6$ долгое время была гипотеза о существовании четырехмерного семейства матриц (см. [43], [51], [52]). Эта гипотеза была доказана авторами в [12]. Однако это не полная классификация обобщенных (или комплексных) матриц Адамара в размерности 6 – помимо четырехмерного многообразия есть, как минимум, изолированные, т. е. не входящие ни в какие семейства, обобщенные матрицы Адамара. Также была гипотеза, сформулированная С. Попа (см. [47]), о существовании только конечного числа комплексных (обобщенных) матриц Адамара в случае, когда размерность пространства – простое число. Эта гипотеза была опровергнута его учеником М. Петреску [46], который с помощью компьютерных вычислений построил одномерные семейства в случае размерности 7, 13, 19, 31 и 79. В случае размерности 7 Р. Нишоара [44] заметил, что проекторы, соответствующие векторам взаимно несмещенных базисов, удовлетворяют коммутаторному соотношению. В дальнейшем это наблюдение получило развитие в работах [37], [56]. 3.3. Квантовые протоколыРассмотрим конечномерную квантово-механическую систему, у которой пространство состояний является $n$-мерным комплексным пространством $V$. Напомним, что состояния системы – это векторы из $V$, определенные с точностью до умножения на ненулевой скаляр. Наблюдаемые системы – это эрмитовы операторы в $V$. Для простоты выберем наблюдаемую, имеющую различные собственные значения $\lambda_i$, $i=1,\dots,n$, собственный базис которой – стандартный ортонормированный базис $\{e_i\}_{i \in [1,n]}$. Согласно базисному квантово-механическому принципу, измерение этой наблюдаемой, когда система находится в нормированном состоянии $f$ (т. е. $|f|=1$), выдает одно из собственных значений наблюдаемой $\lambda_i$ с вероятностью, равной $|\langle e_i,f \rangle|^2$. Еще один важный результат измерения состоит в том, что система переходит в состояние $e_i$. Это приводит к многочисленным проблемам квантовой теории, так как система изменяет состояние после измерения и повторить с нею то же измерение, вообще говоря, нельзя. Условие взаимной несмещенности (22) часто встречается в задачах квантовой теории информации. Опишем типичный пример. Пусть Алиса передает квантовую информацию Бобу, используя квантовый канал, который представляет собой поток частиц, чьи квантовые состояния описываются векторами в пространстве $V$. Протокол для передачи квантовой информации – набор взаимно несмещенных базисов в $V$. Алиса и Боб договариваются о последовательности различных взаимно несмещенных базисов, которые будут использовать, скажем, $\{e_i\}$, $\{f_j\}$, $\{g_k\}$ и т. д. Алиса пересылает состояния системы: сначала один из векторов $e_i$, потом один из векторов $f_j$ и т. д. Примером переданной информации может быть такая строка: $(e_2,f_5,g_3,\dots)$. Сама информация заключена в наборе индексов $2,5,3,\dots$ . Теперь предположим, что к каналу подключилась Ева, которая перехватывает информацию. Так как протокол – это открытая информация, то Ева знает все множество базисов, но она не знает их последовательность, о которой заранее договорились Алиса и Боб. Ева не получит никакой информации даже вероятностно, если будет использовать неправильный базис из протокола для измерения состояния переданной частицы. В самом деле, если Алиса передаст один из векторов $e_i$, а Ева измерит наблюдаемую, которая как эрмитов оператор диагонализируется в базисе $\{f_j\}$, то она получит любое из собственных значений этой наблюдаемой с равной вероятностью $1/n$. Понятно, что чем больше взаимно несмещенных базисов в протоколе, тем более независим протокол от попыток перехвата информации. Протоколы для квантовых каналов активно используются также для защиты информации от помех, т. е. “шумов”. Известный протокол BB84 – это первый протокол, который по сути использует несмещенные базисы в простейшей ситуации двумерного пространства состояний квантового кубита [3]. Имеется один с точностью до сопряжения максимальный набор из трех базисов. При отождествлении несмещенных базисов с одномерными картановскими подалгебрами в $\operatorname{sl}(2,\mathbb C)$ этот набор соответствует картановским подалгебрам, натянутым на матрицы Паули. В случае, когда пространство квантовых состояний передаваемых частиц имеет бо́льшую размерность, возникает проблема классификации максимальных наборов несмещенных базисов. Из соответствия несмещенных базисов и ортогональных картановских подалгебр выводим, что таких базисов заведомо не больше $n+1$, где $n$ – размерность пространства состояний. Необходимость описания максимальных наборов несмещенных базисов объясняет значение проблемы Винни-Пуха в квантовой теории информации. Существуют другие примеры применения взаимно несмещенных базисов в физике (см. [23], [48], [54], [22], [30], [53], [27], [15] и др.). 4. Алгебра $B(\Gamma)$, алгебра Гекке и группоид Пуанкаре графа4.1. Алгебра $B(\Gamma)$Обсуждение задачи о конфигурациях проекторов приводит нас к изучению представлений алгебры $B(\Gamma)$, которую мы введем в этом разделе. При некоторых специализациях параметров эта алгебра является фактором более известной алгебры Темперли–Либа графа $\Gamma$. А та в свою очередь есть фактор алгебры Гекке графа. Пусть $\Gamma$ – конечный граф без кратных ребер и петель. Обозначим $V(\Gamma)$ и $E(\Gamma)$ множества вершин и ребер $\Gamma$. Пусть $\mathbb{K}$ – коммутативное кольцо. Выберем набор обратимых элементов $\{s_{ij}\}$ кольца $\mathbb{K}$, где $(ij)$ пробегает ребра $\Gamma$. Например, можно взять универсальное кольцо $\mathbb{K}=k[\{s_{ij}\},\{s^{-1}_{ij}\}]$, где $k$ – поле характеристики 0. Определим алгебру $B(\Gamma)$ как ассоциативную алгебру с единицей над $\mathbb{K}$. Порождающими алгебры будут элементы $x_i$, пронумерованные вершинами графа. Соотношения в алгебре будут такими:
Определим идеал аугментации $B^+(\Gamma)$ как идеал в $B(\Gamma)$, порожденный $x_i$, $i \in V(\Gamma)$. Отметим, что любой автоморфизм графа индуцирует автоморфизм алгебры $B(\Gamma)$. Конфигурация проекторов $p_i$, рассмотренная в разделе 2, может быть интерпретирована как представление $B(\Gamma)$: если положить Для нас будет удобнее рассматривать не $r_{ij}$, а квадратные корни из них.Путь в графе – это последовательность вершин где $i_{l+1}=i_l$ или $(i_li_{l+1})\in E(\Gamma)$ для $0 \leqslant l \leqslant t-1$. Каждому пути можно поставить в соответствие элемент $x_{\gamma} \in B(\Gamma)$: Будем считать, что единица в алгебре соответствует пустому пути.Путь $\gamma$ будем называть сокращенным, если
$$
\begin{equation*}
i_l\ne i_{l+1},\quad 0\leqslant l \leqslant t-1,\quad\text{и}\quad i_l\ne i_{l+2},\quad 0\leqslant l \leqslant t-1,
\end{equation*}
\notag
$$
или если путь пустой. Если $\gamma$ не сокращенный, т. е. $i_l=i_{l+1}$ или $i_l=i_{l+2}$, то определим элементарные сокращения как новый путь с удаленной вершиной $i_{l+1}$ из $\gamma$. Другие сокращения пути получаются итерацией элементарных. Отметим, что при сокращениях гомотопический класс пути с фиксированным началом и концом сохраняется. Каждый гомотопический класс пути с фиксированным началом и концом содержит единственный сокращенный путь, который мы будем называть минимальным сокращением. Минимальное сокращение может быть получено последовательностью элементарных сокращений. Теорема 6. Множество элементов $x_{\gamma}$, где $\gamma$ пробегает множество сокращенных путей в $\Gamma$, является $\mathbb{K}$-базисом алгебры $B(\Gamma)$. Доказательство. Из соотношений в алгебре $B(\Gamma)$ получаем, что элементарные сокращения, примененные к $x_{\gamma}$, умножают этот элемент на обратимый элемент кольца $\mathbb{K}$, а также что $\mathbb{K}$-линейная оболочка элементов $x_{\gamma}$ совпадает с $B(\Gamma)$, т. е. элементы $x_{\gamma}$, где $\gamma$ – сокращенные пути, порождают $B(\Gamma)$.
Осталось показать, что элементы $x_{\gamma}$ линейно независимы. Для этого заметим, что любой элемент в идеале соотношений для $B(\Gamma)$ является $\mathbb{K}$-линейной комбинацией элементов следующих двух классов: Из первого класса соотношений следует, что достаточно рассматривать только мономы, соответствующие путям в графе. Второй класс соотношений можно разделить на группы, каждая из которых состоит из соотношений на мономы $x_{\gamma}$, где $\gamma$ – пути из гомотопического класса путей с фиксированным началом и концом. Следовательно, достаточно проверить, что мономы из каждого гомотопического класса порождают в точности одномерное подпространство в $B(\Gamma)$. Обозначим через $q_{ij}$ разницу между числом вхождений ребра $(ij)$ в путь $\gamma$ и в его сокращение $\gamma'$. Тогда несложно проверить индукцией по числу сокращений от $\gamma$ к $\gamma'$, что Беря в качестве $\gamma'$ минимальный путь в гомотопическом классе пути $\gamma$, мы получаем, что все мономы являются мономом минимального сокращения, умноженным на единственный обратимый элемент кольца $\mathbb{K}$. Таким образом, пространство, порожденное мономами из гомотопического класса, одномерно. Теорема доказана.Мы будем использовать обозначение $B_s(\Gamma)$ для алгебр с фиксированными параметрами $s=\{s_{ij}\}$. Теория представлений таких алгебр будет описана в разделе 7. 4.2. Алгебры Темперли–Либа и Гекке графовРассмотрим специальный случай, когда $s_{ij}=s$ для всех ребер $(ij)$ в графе. Чтобы описать связь с алгеброй Гекке, отметим, что стандартная алгебра Темперли–Либа $TL(\Gamma)$ определена сходным образом с $B(\Gamma)$ с одним отличием: последнее соотношение заменяется на $x_ix_j=x_jx_i$, если в графе нет ребра $(ij)$. Следовательно, алгебра $B(\Gamma)$ – фактор алгебры Темперли–Либа $TL(\Gamma)$. Напомним, что алгебра Гекке $H(\Gamma)$ графа $\Gamma$ – это алгебра с единицей над кольцом $k[q,q^{-1}]$, порожденная элементами $T_i$, $i \in V(\Gamma)$, удовлетворяющими следующим соотношениям:
Имеется гомоморфизм $H(\Gamma) \to B(\Gamma)[q]$, где $B(\Gamma)$ расширена с помощью центрального элемента $q$ – корня уравнения Гомоморфизм определяется формулойНесложно увидеть, что с помощью этого гомоморфизма $B(\Gamma)$ становится фактором $H(\Gamma)$ по соотношениям:
Отметим, что в случае графа $A_n$ и $q$, не являющегося корнем из единицы, алгебра $B(\Gamma)$, будучи фактором $H_q(\Gamma)$, является прямой суммой матричной алгебры операторов в стандартном $n$-мерном представлении симметрической группы $S_{n+1}$ и поля $k$. В этом случае $H_q(\Gamma)$ содержит всю теорию представлений $S_{n+1}$, а алгебра Темперли–Либа содержит представления, чьи диаграммы Юнга имеют не более двух рядов. Таким образом, теория представлений $B(\Gamma)$ в случае графа $A_n$ очень проста. Причиной этого является относительная простота графа, а именно то, что группа первых гомологий этого графа тривиальна. Как мы увидим далее, мерой сложности теории представлений алгебры $B(\Gamma)$ является его первая группа гомологий. 4.3. Группоид Пуанкаре графаТеория представлений $B(\Gamma)$ оказывается тесно связанной с теорией представлений группоида Пуанкаре графа. Пусть, как и ранее, $\Gamma$ – конечный граф без кратных ребер и петель. Рассмотрим его как топологическое пространство. Пусть ${\mathscr P}(\Gamma)$ – группоид Пуанкаре графа $\Gamma$, т. е. категория, чьи объекты – вершины графа, а морфизмы – гомотопические классы путей между вершинами. Композиция морфизмов определяется конкатенацией путей. Пусть $\mathbb{K}$ – коммутативное кольцо. Обозначим через $\mathbb{K}\Gamma$ алгебру над $\mathbb{K}$ со свободным над $\mathbb{K}$ базисом, пронумерованным морфизмами ${\mathscr P}(\Gamma)$, и с умножением, индуцированным конкатенацией путей (когда она имеет смысл, и нулем, если не имеет). Пусть $e_i$ – элемент $\mathbb{K}\Gamma$, соответствующий тривиальному пути в вершине $i$. Любое ориентированное ребро $(ij)$ может быть интерпретировано как морфизм в ${\mathscr P}(\Gamma)$ и, следовательно, определяет элемент $l_{ij} \in \mathbb{K}\Gamma$. Это – набор порождающих. Соотношения в алгебре $\mathbb{K}\Gamma$ такие:
Алгебра $\mathbb{K}\Gamma$ является алгеброй с единицей: Пусть $\gamma \in {\mathscr P}(\Gamma)$ – путь в $\Gamma$. Обозначим через $l_{\gamma}$ элемент в $\mathbb{K}\Gamma$, соответствующий этому пути. Имеется инволютивный антиизоморфизм $\sigma\colon\mathbb{K}\Gamma\to \mathbb{K}\Gamma^{\rm opp}$, определенный по правилу где $\widehat\gamma$ – путь, обратный к $\gamma$. Этот антиизоморфизм определяет двойственность (инволютивную антиэквивалентность) $D\colon\mathbb{K}\Gamma \text{-} \mathrm{mod}_{\rm fd}\simeq \mathbb{K} \Gamma \text{-} \mathrm{mod}^{\rm opp}_{\rm fd}$ на категории $\mathbb{K}\Gamma \text{-} \mathrm{mod}_{\rm fd}$ конечномерных $\mathbb{K}\Gamma$-представлений, если $\mathbb{K}=k$ – поле. Если $\rho\colon k\Gamma \to \operatorname{End}(V)$ – представление, то двойственное представление $D(\rho)\colon k\Gamma \to \operatorname{End}(V^*)$ определено так: для любого элемента $l \in k\Gamma$.Потребуем, чтобы граф $\Gamma$ был еще и связным. Тогда категория представлений группоида Пуанкаре и категория представлений фундаментальной группы $\Gamma$ эквивалентны. Чтобы это увидеть, зафиксируем $t \in V(\Gamma)$. Обозначим через $\mathbb{K}[\pi(\Gamma,t)]$ групповую алгебру фундаментальной группы $\pi(\Gamma,t)$. Рассмотрим проективный $\mathbb{K}\Gamma$-модуль $P_t=\mathbb{K}\Gamma e_t$. Ясно, что $P_t$ – это $\mathbb{K}\Gamma{ \text{-} }\mathbb{K}[\pi(\Gamma,t)]$-бимодуль. Отметим, что модули $P_t$ изоморфны как левые $\mathbb{K}\Gamma$-модули для всех вершин $t$. Умножение справа на путь, соединяющий вершины $t_1$ и $t_2$, дает изоморфизм $P_{t_1}$ с $P_{t_2}$. Предложение 7. Бимодуль $P_t$ индуцирует Морита-эквивалентность $\mathbb{K}\Gamma$ с $\mathbb{K}[\pi(\Gamma,t)]$. Таким образом, категории $\mathbb{K}\Gamma \text{-} \mathrm{mod}$ и $\mathbb{K}[\pi(\Gamma,t)] \text{-} \mathrm{mod}$ эквивалентны. Алгебра $\mathbb{K}\Gamma$ изоморфна матричной алгебре над $\mathbb{K}[\pi(\Gamma,t)]$, порядок матриц равен $|V(\Gamma)|$. Функторы, задающие Морита-эквивалентность между категориями $\mathbb{K}\Gamma \text{-} \mathrm{mod}$ и $\mathbb{K}[\pi(\Gamma,t)] \text{-} \mathrm{mod}$, заданы формулами
$$
\begin{equation}
V \mapsto P_t \otimes_{\mathbb{K}[\pi(\Gamma,t)]} V\quad\text{и}\quad W \mapsto \operatorname{Hom}_{\mathbb{K}\Gamma}(P_t,W).
\end{equation}
\tag{28}
$$
Построим изоморфизм $\mathbb{K}\Gamma\to \operatorname{Mat}_n(\mathbb{K}[\pi(\Gamma,t)])$. Для этого зафиксируем систему путей $\{\gamma_i\}$, соединяющих вершину $t$ с вершиной $i$ (по одному пути для каждой вершины $i$). Для каждого элемента $\pi\in \mathbb{K}[\pi(\Gamma,t)]$ рассмотрим элемент $\gamma^{-1}_i\pi\gamma_j$ в $\mathbb{K}\Gamma$. Гомоморфизм определяется соответствием где $E_{ij}$ – стандартная матричная единица, имеющая единственный ненулевой элемент на $(i,j)$-м месте. Несложная проверка показывает, что это соответствие определяет гомоморфизм корректно.Пусть $\mathbb{K}=k$ – поле. Так как фундаментальная группа $\pi(\Gamma,t)$ свободная, то гомологическая размерность категории $k\Gamma \text{-} \mathrm{mod}$ равна либо 0 (для дерева), либо 1 (в противном случае). Сопрягая функтор (27) для $k\Gamma \text{-} \mathrm{mod}$ с помощью Морита-эквивалентности из предложения 7, получаем стандартную двойственность $W\mapsto W^*$ для представлений фундаментальной группы. 5. ГомотопыВ этом разделе мы введем основной математический объект этой статьи. Это формальная алгебраическая конструкция новой алгебры, построенная по заданной алгебре и фиксированному элементу в ней. Несмотря на простоту конструкции, теория представлений гомотопов и их приложений весьма богата. В частности, гомотопы позволяют алгебраически описать категории превратных пучков на некоторых топологических пространствах. 5.1. Определение гомотоповПусть $A$ – алгебра над коммутативным кольцом $\mathbb{K}$ и $\Delta$ – фиксированный элемент $A$. Рассмотрим алгебру без единицы $A_{\Delta}$, которая как модуль над $\mathbb{K}$ изоморфна $A$, но с новым умножением, определенным по формуле Алгебра $A_{\Delta}$ называется гомотопом алгебры $A$ (ср. [32]). Добавляя единицу, получаем алгебру с единицей $\widehat{A}_{\Delta}=\mathbb{K} \cdot 1\oplus A_{\Delta}$, которую будем называть гомотопом с единицей (ее также называют аугментированным или пополненным гомотопом).Определим два гомоморфизма с помощью отображений
$$
\begin{equation}
\psi_1\colon a \mapsto a\Delta, \qquad \psi_2\colon a \mapsto \Delta a.
\end{equation}
\tag{31}
$$
Отметим, что
$$
\begin{equation}
\operatorname{Im}\psi_1=A\Delta,\qquad \operatorname{Im}\psi_2=\Delta A,
\end{equation}
\tag{32}
$$
т. е. образы обычных гомотопов являются односторонними идеалами, порожденными элементом $\Delta$. Будем использовать те же обозначения $\psi_1$, $\psi_2$ и для гомоморфизмов гомотопов с единицей: Отметим, что $A_{\Delta}$ – идеал аугментации в гомотопе с единицей и, следовательно, является ${\widehat A}_{\Delta}$-бимодулем. Левое умножение в $A$ коммутирует с правым умножением в $A_{\Delta}$, и наоборот. Используя левое и правое умножение в $A$, получаем корректно определенную на $A_{\Delta}$ структуру $A$-бимодуля. Ясно, что $A_{\Delta}$ свободный как левый и правый $A$-модуль. Структура левого $\widehat{A}_{\Delta}$-модуля на $A_{\Delta}$ совпадает со структурой, полученной из структуры $A$-модуля с помощью гомоморфизма $\psi_1$. Аналогично со структурой правого $\widehat{A}_{\Delta}$-модуля и гомоморфизмом $\psi_2$. Мы будем использовать следующие обозначения для гомотопов: $B=\widehat{A}_{\Delta}$ и $B^+=A_{\Delta}$. Через ${}_{\psi_i}A_{\psi_j}$ обозначим $B$-бимодуль $A$, где левые и правые структуры $B$-модуля определены с помощью $\psi_i$ и $\psi_j$ соответственно. Отождествляя $B^+$ и $A$, получаем изоморфизм $B$-бимодулей: Если $\Delta$ – обратимый элемент в $A$, то $\psi_1$ и $\psi_2$ – изоморфизмы. Тогда $A_{\Delta}$ – алгебра с единицей, где единицей является $\Delta^{-1}$. В этом случае ${\widehat A_{\Delta}}$ – алгебра, полученная из алгебры с единицей, изоморфной $A$, добавлением новой единицы $1_B$. Отсюда следует, что алгебра $\widehat{A}_{\Delta}$ есть произведение алгебр $A_{\Delta} \simeq A$ и $\mathbb{K}$. Алгебры $A_{\Delta}$ и $\mathbb{K}$ – подалгебры в $\widehat{A}_{\Delta}$, причем $\mathbb{K}$ можно вложить как подалгебру $\mathbb{K}(1_B-{\Delta }^{-1})$ (с целью аннулировать $A_{\Delta}$). Таким образом, конструкция гомотопа содержательна только для случая, когда $\Delta$ необратим. 5.2. Аналогия: гомотопы как аффинные стягиванияХорошо известно, что стягивание проективных кривых на алгебраических поверхностях возможно только при подходящих условиях. Например, гладкая проективная кривая может быть стянута (даже в формальной окрестности) только в случае, если ее индекс самопересечения отрицателен. В аффинной геометрии ситуация сильно отличается – любая аффинная замкнутая подсхема аффинной схемы может быть стянута. Более того, все конечные копределы конечных диаграмм в категории аффинных схем существуют. Действительно, категория аффинных схем двойственна категории коммутативных алгебр, где существуют конечные пределы. Однако предел конечно порожденных алгебр может не быть конечно порожденным. Например, стягивание аффинной прямой на аффинной плоскости является спектром бесконечно порожденной алгебры. Конструкция гомотопа может быть интерпретирована как некоммутативная версия дивизориальных стягиваний в аффинной алгебраической геометрии. А именно, рассмотрим коммутативную алгебру $A$ и элемент $\Delta$, который не является делителем нуля в $A$. В этом случае $\psi_1$ и $\psi_2$ совпадают, а $B^+$ отождествляется с идеалом в $A$, порожденным элементом $\Delta$. Тогда алгебра $B$ – это предел по диаграмме Так как двойственная диаграмма в категории аффинных схем дает стягивание $\operatorname{Spec}A/\Delta A\subset \operatorname{Spec}A$ в точку $\operatorname{Spec}\mathbb{K}$: гомотоп в данном случае можно интерпретировать как стягивание главного дивизора, заданного элементом $\Delta$. В п. 7.1 мы разберем пример, где стянем первую инфинитезимальную окрестность точки на аффинной прямой и получим каспидальную кривую.5.3. Дискретный оператор Лапласа и алгебра $B(\Gamma)$ как гомотоп группоида ПуанкареПусть кольцо $\mathbb{K}$ содержит обратимые элементы $\{s_{ij}\}$. Например, в качестве $\mathbb{K}$ можно выбрать кольцо многочленов Лорана: $\mathbb{K}=k[\{s_{ij}\},\{s_{ij}^{-1}\}]$. Рассмотрим обобщенный оператор Лапласа графа $\Gamma$, т. е. элемент $\Delta \in \mathbb{K}\Gamma$ вида где сумма берется по всем ориентированным ребрам.Рассмотрим алгебру $\mathbb{K} \Gamma_{\Delta}$ – гомотоп с единицей алгебры $\mathbb{K}\Gamma$, построенный по элементу $\Delta$. Обозначим через $x_i$ элементы в $\mathbb{K}{\Gamma}_{\Delta}$, соответствующие элементам $e_i$ в $\mathbb{K}{\Gamma}$. Следующая теорема показывает, что алгебра $B(\Gamma)$ реализуется как гомотоп с единицей алгебры $\mathbb{K}\Gamma$. Теорема 8. Существует единственный изоморфизм алгебр без единиц и, следовательно, изоморфизм алгебр с единицей переводящий $x_i$ в $e_i$. Доказательство. Сначала отметим, что Далее, для $(ij)\in E(\Gamma )$, и если $(ij)$ – не ребро $\Gamma$.
Кроме того, для ребер $(ij)$ и $(jk)$. Следовательно, Таким образом, мы проверили, что выполнены все соотношения алгебры $B(\Gamma)$. А значит, мы построили гомоморфизм Требуется доказать, что этот гомоморфизм – изоморфизм. Из соотношений выше следует, что для каждого пути $\gamma=(i_1,\dots,i_l)$, $l\geqslant 2$, в графе имеем следующее:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber x_{i_1}\cdots x_{i_l}=x_{i_1}x_{i_2}^2\cdots x_{i_{l-1}}^2x_{i_l}&= s_{i_1i_2}\cdots s_{i_{l-1}i_l}l_{i_1i_2}\cdot_{\Delta}\cdots\, \cdot_{\Delta}l_{i_{l-1}i_l} \\ &=s_{i_1i_2}\cdots s_{i_{l-1}i_l}l_{i_1i_2}\cdots l_{i_{l-1}i_l}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{42}
$$
В этом соотношении мы рассматриваем умножение в $\mathbb{K}\Gamma_{\Delta}$ слева, обычное умножение в $\mathbb{K}\Gamma$ справа. Чтобы получить последнее равенство, надо несколько раз применить (40) и тот факт, что левое умножение в $\mathbb{K}\Gamma_{\Delta}$ коммутирует с правым умножением в $\mathbb{K}\Gamma$.
Так как множество всех сокращенных путей $l_{i_1i_2}\cdots l_{i_{l-1}i_l}$ является $\mathbb{K}$-базисом в $\mathbb{K}\Gamma$, то биективность гомоморфизма следует из теоремы 6. Теорема 8 доказана. Вершины валентности 1 в графе будем называть хвостами. Предложение 9. Пусть $\Gamma$ – конечный связный граф без хвостов и $\mathbb{K}$ – целостное коммутативное кольцо. Тогда $\Delta$ не является ни правым, ни левым делителем нуля. Доказательство. Будем рассуждать от противного: предположим, что существует $z \in \mathbb{K}\Gamma$ такой, что $z \Delta=0$. Напомним, что $\mathbb{K}\Gamma$ как правый модуль над собой – прямая сумма проективных модулей $P_t$, где $t$ пробегает все вершины графа. Для $z$ имеем разложение $z=\displaystyle\sum z_t$. Тогда для каждой компоненты $z_t$ имеем $z_t \Delta=0$, т. е. мы свели проблему к случаю $z \Delta=0$ для $z \in P_t$. Рассмотрим универсальное накрытие $\widetilde \Gamma$ и зафиксируем подъем $\widetilde t \in V(\widetilde \Gamma)$ вершины $t$. Тогда элемент $z$ единственным образом поднимается до элемента $\widetilde z\in \mathbb{K}\widetilde \Gamma$ в группоиде Пуанкаре универсального накрытия. Понятно, что $\widetilde z\widetilde\Delta=0$ для оператора Лапласа $\widetilde\Delta$ универсального накрытия. Отметим, что $\widetilde\Gamma$ – бесконечный граф. Действительно, граф без хвостов имеет ненулевые первые гомологии, тогда как у дерева всегда есть хвост. Тогда сумма в формуле (36) бесконечна, в то время как сумма в элементе $\widetilde z\widetilde\Delta$ конечна, поскольку $\widetilde z$ – конечная сумма: здесь $\gamma$ пробегает множество сокращенных путей в ${\widetilde\Gamma}$ (с началом в вершине $t$) и $\lambda_{\gamma}\ne 0$.
Пусть $\gamma_0$ – сокращенный путь в этой сумме с максимальной длиной и $i$ – конечная вершина этого пути. Поскольку эта вершина – не хвост, существует ребро $l_{ij}$, инцидентное этой вершине и не содержащееся в пути $\gamma_0$. Несложно проверить, что разложение ${\widetilde z}{\widetilde\Delta}$ в линейную комбинацию сокращенных путей будет содержать $\lambda_{\gamma_0}s_{ij}l_{\gamma_0}l_{ij}$. Так как ${\widetilde {z\Delta}}={\widetilde z}{\widetilde \Delta}$, мы получаем противоречие. Тот факт, что $\Delta$ не является правым делителем нуля, проверяется аналогично. Предложение доказано. Отметим, что есть примеры графов с хвостами, для которых $\Delta$ – делитель нуля. Рассмотрим гомоморфизмы $\psi_{i}\colon B(\Gamma) \to \mathbb{K} \Gamma$, $i=1,2$, как в (31). На порождающих $x_i$ алгебры $B(\Gamma)$ эти гомоморфизмы определены так: Следствие 10. Пусть $\Gamma$ – непустой связный граф без хвостов и $\mathbb{K}$ – целостное коммутативное кольцо. Тогда гомоморфизмы $\psi_i\colon B(\Gamma) \to \mathbb{K}\Gamma$, $i=1,2$, инъективны. Сделаем последнее замечание об определении оператора Лапласа. Рассмотрим симметрическую матрицу $S=\{s_{ij}\}$ с обратимыми элементами на диагонали. Комбинаторная структура графа кодирует места ненулевых элементов в матрице $S$. Определим оператор Лапласа так: Соответствующая алгебра $\mathbb{K} \Gamma_{\Delta}$ будет иметь порождающие $x_i$, отвечающие тривиальным “вершинным” путям в группоиде, которые проекторами уже не будут. Однако с помощью умножения на ненулевые скаляры элементы $x_i$ можно сделать проекторами. Умножение $x_i$ на $\lambda$ соответствует умножению $i$-й строки и $i$-го столбца матрицы $S$ на $\lambda$. Эти умножения позволяют свести задачу к случаю, когда диагональные элементы равны 1, который мы и рассматривали.5.4. Свойства группоида Пуанкаре как $B(\Gamma)$-модуляДокажем несколько полезных фактов о $\mathbb{K}\Gamma$ как $B(\Gamma)$-(би)модуле. Предложение 11. Изоморфизм в теореме 8 отождествляет $B(\Gamma)x_i$ с ${}_{\psi_{1}}P_i={}_{\psi_{1}}(\mathbb{K} \Gamma e_i)$ (где ${}_{\psi_{1}}P_i$ – это $P_i$ с левой $B(\Gamma)$-модульной структурой, индуцированной $\psi_1$) и $x_i B(\Gamma)$ с $(e_i\mathbb{K}\Gamma)_{\psi_{2}}$ (здесь структура правого $B(\Gamma)$-модуля определена $\psi_2$). Имеем также изоморфизм левых $B(\Gamma)$-модулей: и изоморфизм правых $B(\Gamma)$-модулей: Доказательство. Формулы (39) и (42) показывают, что $B(\Gamma)x_i$ совпадает с $\mathbb{K}\Gamma e_i$, а $x_iB(\Gamma)$ – с $e_i\mathbb{K}\Gamma$. Левая $B(\Gamma)$-модульная структура на $\mathbb{K}\Gamma$ приходит из $\psi_1$, а правая структура – из $\psi_2$. Разложения дают разложения и для $B^+(\Gamma)$. Предложение доказано. Так как $\mathbb{K}\Gamma$ изоморфно $B^+(\Gamma)$, это предложение применимо к $\mathbb{K}\Gamma$, когда мы рассматриваем его как левый или правый $B(\Gamma)$-модуль. Следствие 12. $B^+(\Gamma)$ (и, следовательно, $\mathbb{K} \Gamma$) проективен как левый и как правый $B(\Gamma)$-модуль. Доказательство. Так как $x_i$ – идемпотент, то имеет место разложение Из него получаем, что $B(\Gamma)x_i$ проективный. А значит, и $B^+(\Gamma)$, как прямая сумма проективных модулей, тоже проективен. Следствие доказано. Умножение в $\widehat{A}_{\Delta}$ определяет $A$-бимодульный гомоморфизм $A\otimes_{\widehat A_{\Delta}} A\to A$. Доказательство. $\mathbb{K}\Gamma$ отождествляется с $B^+(\Gamma)$ как правый и левый $B(\Gamma)$-модуль. Покажем, что $B^+(\Gamma)\otimes_{B(\Gamma)}B^+(\Gamma)=B^+(\Gamma)$. Каждый элемент в $B^+(\Gamma)$ имеет следующий вид: для некоторых $b_i \in B^+(\Gamma)$. В частности, для $b=x_i$ имеем $x_i=x_i x_i$. Отсюда получаем, что $b$ – образ элемента $\displaystyle\sum x_i \otimes b_i$, т. е. отображение сюръективно. Элемент $p\in B^+(\Gamma)\otimes_{B(\Gamma)}B^+(\Gamma)$ может быть представлен в виде Если $p$ лежит в ядре гомоморфизма умножения, то $\displaystyle\sum x_i c_i=0$. По предложению 11 получаем, что $x_i c_i=0$. Но тогда $x_i\otimes c_i=x_i^2\otimes c_i=x_i\otimes x_ic_i=0$, т. е. $p=0$. А значит, отображение умножения еще и инъективно. Предложение доказано.
6. Хорошо темперированные элементы и гомотопыДля алгебры $A$ над коммутативным кольцом $\mathbb{K}$ и фиксированного элемента $\Delta$ мы формализуем условия на $\Delta$, при которых выполняются свойства $B(\Gamma)$, описанные в предыдущем разделе. Мы будем называть элементы, удовлетворяющие этим условиям, хорошо темперированными. Они задают твердую основу для изучения теории представлений класса алгебр, к которому принадлежит и $B(\Gamma)$. 6.1. Проективные идеалы аугментацииВ этом пункте мы сформулируем в терминах некоммутативной дифференциальной геометрии критерий того, что идеал аугментации является проективным и левым и правым модулем. В определении хорошо темперированных элементов, которое приводится в следующем пункте, проективность идеала аугментации является решающим свойством. Мы будем предполагать, что все алгебры над $\mathbb{K}$ являются свободными $\mathbb{K}$-модулями. По умолчанию тензорное произведение берется над $\mathbb{K}$. Напомним некоторые факты из некоммутативной дифференциальной геометрии. Пусть $B$ – алгебра с единицей над $\mathbb{K}$. Тогда $B$-бимодуль $\Omega^1_B$ некоммутативных дифференциальных форм определяется как ядро отображения умножения: $B\otimes B\to B$. Таким образом, мы имеем короткую точную последовательность Универсальное дифференцирование $B\to \Omega^1_B$ определяется формулой для $b \in B$.Пусть $M$ – левый $B$-модуль. Будем говорить, что $\nabla\colon M\to \Omega^1_B\otimes_B M$ – связность на $M$, если выполняется условие для всех $b\in B$ и $m\in M$.Лемма 14 [17]. Модуль $M$ проективен тогда и только тогда, когда на нем существует связность. Доказательство. Взяв тензорное произведение над $B$ последовательности (49) с $M$, получим короткую точную последовательность поскольку $\operatorname{Tor}_1^B(B,M)=0$. Так как $B \otimes M$ – свободный $B$-модуль, проективность $M$ эквивалентна разложимости этой последовательности, т. е. существованию $B$-модульного гомоморфизма $B\otimes M\to \Omega^1_B\otimes_BM$, являющегося ретракцией на $\Omega^1_B\otimes_BM$. Рассматривая его композицию с вложением $M\to B\otimes M$, определенным формулой $m \mapsto 1 \otimes m$, получаем что такая ретракция – это в точности связность. Лемма доказана. Отметим также, что $\Omega^1_B$ проективен как левый и как правый $B$-модуль. Расщепление последовательности (49) как последовательности левых (или правых) $B$-модулей задается отображением $B\to B\otimes B$, определенным как $b\mapsto b\otimes 1_B$ (соответственно $b\mapsto 1_B\otimes b$). Пусть $B$ – произвольная аугментированная алгебра с единицей, а $B^+$ – ее аугментационный идеал. Будем использовать короткую точную последовательность, заданную аугментацией: Доказательство. По определению $\Omega^1_B$ имеем вложение $\Omega^1_B\to B\otimes B$. Беря композицию этого отображения с проекцией $B\otimes B\to B\otimes B^+$ вдоль $B\otimes 1_B$, получаем требуемый изоморфизм для левых $B$-модулей. Аналогично, проекция $B\otimes B\to B^+\otimes B$ вдоль $1_B\otimes B$ дает изоморфизм для правых $B$-модулей. Лемма доказана. Далее рассмотрим случай $M=B^+$ как левый или правый $B$-модуль. Предложение 16. Если отображение умножения $B^+\otimes B^+\to B^+$ эпиморфно, то следующие утверждения эквивалентны: (i) $B^+$ проективен как левый (соответственно правый) $B$-модуль; (ii) существует левый (соответственно правый) $B$-модульный гомоморфизм, являющийся сечением отображения умножения $B^+\otimes B^+\to B^+$; (iii) левый $B$-подмодуль $\Omega^1_BB^+ \subset \Omega^1_B$ (соответственно правый $B$-подмодуль $B^+\Omega_B^1\subset \Omega_B^1$) является прямым слагаемым. Доказательство. Левая проективность $B^+$ эквивалентна существованию гомоморфизма $s\colon B^+\to B\otimes B^+$ левых $B$-модулей, т. е. сечения отображения умножения $B\otimes B^+\to B^+$. По условию каждый элемент $b\in B^+$ имеет разложение $b=\displaystyle\sum b_ic_i$, где $b_i,c_i\in B^+$. Так как $s$ есть $B$-модульный гомоморфизм, получаем, что $s(b)=\displaystyle\sum b_is(c_i)\in B^+\otimes B^+$, т. е. образ $s$ лежит в $B^+\otimes B^+$. Следовательно, мы можем рассматривать $s$ как сечение, требуемое в пункте (ii). Это доказывает эквивалентность (i) и (ii).
Применим функтор $\Omega^1_B\otimes_B(-)$ к последовательности (50). Так как $\Omega^1_B$ – проективный левый и правый $B$-модуль, то он плоский. Тогда имеем короткую точную последовательность
$$
\begin{equation}
0\to \Omega^1_B\otimes_B B^+\to \Omega^1_B\to \Omega^1_B \otimes_B \mathbb{K} \to 0.
\end{equation}
\tag{51}
$$
Образ первого гомоморфизма – это $\Omega^1_BB^+$. Применяя лемму 15, получаем изоморфизм левых $B$-модулей: $\Omega^1_B=B\otimes B^+$. Применяя функтор $(-)\otimes_B \mathbb{K}$ к (49), получаем, что $\Omega^1_B\otimes_B \mathbb{K}$ и $B^+$ изоморфны как левые $B$-модули. Учитывая полученные отождествления, с помощью несложных вычислений заключаем, что гомоморфизм $\Omega^1_B\to \Omega^1_B\otimes_B\mathbb{K}$ в точной последовательности (51) совпадает с точностью до знака с отображением умножения $B\otimes B^+\to B^+$. Таким образом, ядро отображения $B\otimes B^+\to B^+$ изоморфно $\Omega^1_BB^+$. Это отображение имеет сечение тогда и только тогда, когда $B^+$ – проективный левый $B$-модуль. Таким образом, $\Omega^1_BB^+$ – прямое слагаемое $\Omega^1_B$ в точности, когда $B^+$ – проективный $B$-модуль. Предложение доказано. 6.2. Хорошо темперированные элементыЗафиксируем элемент $\Delta$ алгебры $A$. Обозначим через $B$ гомотоп $\widehat A_{\Delta}$ и через $B^+=A_{\Delta}$ идеал аугментации в $B$. Рассмотрим комплекс $K_{\Delta}$:
$$
\begin{equation*}
\cdots \to A^{\otimes n}\to \cdots \to A^{\otimes 3}\to A^{\otimes 2}\to A\to 0
\end{equation*}
\notag
$$
с дифференциалом ${\rm d}\colon A^{\otimes n+1}\to A^{\otimes n}$, определенным формулой
$$
\begin{equation*}
\mathrm{d}(a_0\otimes \cdots \otimes a_{n})= \sum (-1)^ia_0\otimes \cdots \otimes a_i\Delta a_{i+1} \otimes \cdots \otimes a_n.
\end{equation*}
\notag
$$
Это хорошо известная бар-конструкция для $B^+$, выраженная в терминах $A$. Вообще говоря, комплекс может не быть точным, так как $B^+$ не является алгеброй с единицей. Лемма 17. Если $\Delta'=c\Delta d$, где $c$ и $d$ – любые обратимые элементы $A$, то гомотопы $B$ и $B'$, построенные по элементам $\Delta$ и $\Delta'$, изоморфны. Доказательство. Изоморфизм между $B$ и $B'$, переводящий единицу в единицу и $B^+$ в $(B')^+$, определяется по правилу В этой формуле используется умножение в $A$. Лемма доказана. Определение. Элемент $\Delta$ алгебры $A$ называется хорошо темперированным, если отображение умножения в гомотопе $B^+\otimes B^+\to B^+$ – эпиморфизм (т. е. $A\Delta A=A$) и $B^+$ проективен как левый и правый $B$-модуль. Отметим, что в работе [55] было доказано, что в случае конечномерных алгебр из эпиморфности умножения следует проективность $B^+$, т. е. в случае конечной размерности условие проективности лишнее. Лемма 18. Оператор Лапласа, определенный равенством (36), – хорошо темперированный элемент алгебры $\mathbb{K}\Gamma$. Лемма 19. Если алгебра $A$ коммутативна, то $\Delta$ является хорошо темперированным тогда и только тогда, когда он обратим. Доказательство. Образ при отображении умножения $B^+\otimes B^+\to B^+$ в терминах алгебры $A$ является двусторонним идеалом $A \Delta A$. Соответственно, если $A$ – коммутативная алгебра и $\Delta$ хорошо темперированный, то $\Delta A=A$, т. е. $\Delta$ обратим. Обратно, если $\Delta$ обратим, то отображение умножения сюръективно и мы можем определить левое (соответственно правое) $B$-модульное сечение к нему следующим образом: $b\mapsto b\otimes {\Delta}^{-1}$ (соответственно $\Delta^{-1}\otimes b$). Доказательство завершается применением предложения 16. Как мы видели в п. 5.1, отсюда следует, что в коммутативном случае хорошая темперированность элемента $\Delta$ влечет изоморфизм алгебр $B\simeq A\oplus \mathbb{K}$. Также, используя предложение 16, получаем, что элемент $\Delta$ является хорошо темперированным тогда и только тогда, когда самый правый дифференциал $A\otimes A\to A$ в комплексе $K_{\Delta}$ сюръективен и допускает два сечения – гомоморфизмы левых $B$-модулей и правых $B$-модулей соответственно. Лемма 20. Пусть $c$ и $d$ – любые обратимые элементы $A$. Элементы $\Delta$ и $\Delta'=c\Delta d$ являются или не являются хорошо темперированными одновременно. Доказательство. Так как изоморфизм в лемме 17 сохраняет $B^+$, то свойство $B^+$ быть проективным сохраняется при изоморфизме. Лемма доказана. Доказательство. Как было замечено выше, комплекс $K_{\Delta}$ совпадает с бар-конструкцией для $B^+$:
$$
\begin{equation*}
\cdots \to (B^+)^{\otimes i}\to \cdots \to B^+\otimes B^+\to B^+.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $h\colon B^+\to B^+\otimes B^+$ будет гомоморфизмом правых $B$-модулей и сечением к самому правому дифференциалу в комплексе. Оно существует по предложению 16. Рассмотрим гомотопию в этом комплексе, определенную формулой Легко проверить, что выполнено соотношение что и требовалось доказать. Отметим, что в доказательстве предложения 21 мы использовали только одностороннюю проективность $B^+$. Следствие 22. Если $\Delta$ – хорошо темперированный элемент, то умножение в $B^+$ дает изоморфизм $A$-бимодулей: Доказательство. Действительно, фактор $(B^+)^{\otimes 2}$ по образу дифференциала $(B^+)^{\otimes 3}\to (B^+)^{\otimes 2}$ изоморфен $B^+\otimes_BB^+$. Так как в комплексе $K_{\Delta}$ нет когомологий в членах $B^+\otimes B^+$ и $B^+$, мы получаем, что этот фактор есть $B^+$. Следствие доказано. Рассмотрим гомоморфизм $A$-бимодулей: определенный по правилу $a \mapsto (\phi\colon x \mapsto xa)$, здесь $\phi$ – гомоморфизм левых $B$-модулей.Предложение 23. Пусть $\Delta$ – хорошо темперированный элемент алгебры $A$ и $B=\widehat{A}_{\Delta}$. Тогда отображение (53) определяет изоморфизм алгебр и $A$-бимодулей: Доказательство. Напомним, что $B^+$ как $A$-бимодуль изоморфен $A$. Несложные вычисления показывают, что (53) задает гомоморфизм алгебр и $A$-бимодулей. Применим функтор $\operatorname{Hom}(-,A)$ к изоморфизму (52). Получаем Прямая проверка дает требуемый изоморфизм алгебр. Предложение доказано. Так как оператор Лапласа – хорошо темперированный элемент из $\mathbb{K}\Gamma$, то из предложения 23 получаем следующий результат. Рассмотрим морфизм левых $A$-модулей определенный по следующему правилу: элементу $a \in A$ ставится в соответствие композиция оператора правого умножения на $a$, и вложения $B^+\to B$.Предложение 25. Пусть $\Delta \in A$ хорошо темперированный и $B={\widehat A_{\Delta}}$. Тогда морфизм (56) является изоморфизмом левых $A$-модулей: Доказательство. Применим функтор $\operatorname{Hom}_{B}(A,-)$ к короткой точной последовательности (50). Получим длинную точную последовательность Первый член этой последовательности изоморфен $A$ по предыдущему предложению. Третий член равен нулю, поскольку гомоморфизм из $A=B^+$ в тривиальный $B$-модуль $\mathbb{K}$ должен в ядре содержать образ отображения умножения $B^+\otimes B^+\to B^+$, которое эпиморфно по определению хорошо темперированных элементов. Предложение доказано. Конечная порожденность $B^+$ как $B$-модуля, которую мы видели для алгебры $B(\Gamma)$, следует из определения хорошей темперированности элемента $\Delta$, по которому строится алгебра $B$. Более точно, справедливо следующее утверждение. Лемма 27. Пусть алгебра $B={\widehat A_{\Delta}}$ такова, что отображение умножения $B^+\otimes B^+\to B^+$ сюръективно. Тогда $B^+$ конечно порожден как левый и правый $B$-модуль. Доказательство. Как мы знаем, отображение умножения сюръективно, если двусторонний идеал $A \Delta A$ совпадает с $A$. Тогда мы имеем разложение единицы в алгебре $A$: А значит, для любого $b\in B^+=A$ есть разложение где $\cdot_B$ – умножение в $B$. Иными словами, $B^+$ как левый $B$-модуль порожден конечным множеством $\{y_i\}$. Аналогичным образом, как правый модуль он порожден $\{x_i\}$. Лемма доказана. 6.3. Главные двусторонние идеалы в матричной алгебре и Морита-эквивалентностьНапомним, что по предложению 7 алгебра $A=\mathbb{K}{\Gamma}$ изоморфна матричной алгебре над групповым кольцом фундаментальной группы графа. Определение хорошей темперированности элемента $\Delta \in A$ включает условие, что двусторонний идеал, порожденный $\Delta$, совпадает с алгеброй $A$. В настоящем пункте мы исследуем это условие с помощью Морита-эквивалентности. Для $\mathbb{K}$-алгебры $C$ с единицей рассмотрим матричную алгебру Очевидно, что эти алгебры Морита-эквивалентны, что означает, что категории левых и правых модулей над $C$ и $A$ эквивалентны. Нам будет нужна эквивалентность между категориями $C$- и $A$-бимодулей. Пусть $P$ – это $C{ \text{-} }A$-бимодуль, чьи элементы являются вектор-строками размера $n$ над $C$, а $Q$ – это $A{ \text{-} }C$-бимодуль вектор-столбцов размера $n$ над $C$. Эквивалентность категорий левых $A$- и $C$-модулей задана функтором, определенным на левых $A$-модулях по формуле $M\mapsto P\otimes_AM$. Аналогично, эквивалентность категорий правых модулей задается функтором на правом $A$-модуле: $M \mapsto M\otimes_AQ$. Заметим, что $P\otimes_AQ=C$, откуда получаем, что $C$ – это образ $Q$ при применении первого функтора и образ $P$ при применении второго.Эквивалентность категорий $A$-бимодулей и $C$-бимодулей определена на $A$-бимодуле $M$ по правилу Лемма 28. Пусть $C$ – алгебра с единицей и $A=\operatorname{Mat}_{n\times n}(C)$ – матричная алгебра над $C$. Пусть $\Delta$ – элемент в $A$ с матричными коэффициентами $\Delta_{ij}$. Тогда эквивалентны следующие утверждения: (i) $A\Delta A=A$; (ii) $C\{\Delta_{ij}\}C=C$, где выражение в левой части означает двусторонний идеал в $C$, порожденный коэффициентами $\Delta_{ij}$. Доказательство. Это следует из Морита-эквивалентности. Действительно, $A\Delta A\subset A$ – вложение $A$-бимодулей. Функтор (58) переводит $A$ в $C$, и $A\Delta A$ будет двусторонним идеалом, порожденным коэффициентами $\Delta$. Так как функтор является эквивалентностью, лемма доказана. Имеется также категорная интерпретация условий на $\Delta$. Если $\Delta \in A=\operatorname{Mat}_{n\times n}(C)$, то определен гомоморфизм правых $C$-модулей $\widetilde\Delta\colon C^n\to C^n$. Для фиксированного левого $C$-модуля $M$ определим $\mathbb{K}$-гомоморфизм $\Delta_M\kern-1pt\colon M^n\to M^n$ с помощью тензорного умножения $\widetilde\Delta$ с $M$ над $C$. Предложение 29. Следующие утверждения эквивалентны: (i) $A\Delta A=A$; (ii) для любого $C$-модуля $M \ne 0$ гомоморфизм $\Delta_M$ ненулевой. Доказательство. Пусть $A\Delta A=A$; тогда есть разложение единицы: Следовательно, если $\Delta_M=0$, то $1_M=0$, т. е. $M=0$.
Обратно, предположим, что $\Delta _M\ne 0$ для любого $M \ne 0$. Рассмотрим $M=C/C\{\Delta_{ij}\}C$. Ясно, что $\Delta_M=0$. Следовательно, $M=0$ и $C\{\Delta_{ij}\}C=C$. По предыдущей лемме получаем, что $A\Delta A=A$. Предложение доказано. 6.4. Хохшильдова и глобальная размерность гомотоповДля $\mathbb{K}$-алгебры $B$ ее хохшильдовой размерностью над $\mathbb{K}$ называется проективная размерность $B$ как $\mathbb{K}$-центрального $B$-бимодуля, т. е. модуля над $B\otimes B^{\rm opp}$ (здесь тензорное произведение берется над $\mathbb{K}$). Обозначим хохшильдову размерность через
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Hdim}B=\operatorname{Hdim}_{\mathbb{K}}B.
\end{equation*}
\notag
$$
Хорошо известно, что она Морита-инвариантна. При более общем подходе, когда $B$ – это DG-алгебра, она называется гладкой, если $B$ – совершенный $B\otimes B^{\rm opp}$-бимодуль. Гладкость обладает свойством производной Морита-инвариантности, но хохшильдова размерность может не сохраняться при производной эквивалентности. Для обычных алгебр гладкость эквивалентна конечности хохшильдовой размерности. Лемма 30. Пусть $\Delta \in A$ – хорошо темперированный и $B=\widehat A_{\Delta}$. Если $P$ – проективный $A$-бимодуль, то ${}_{\psi_1}P_{\psi_2}$ – проективный $B$-бимодуль. Аналогичное утверждение верно и для проективных левых и правых $A$-модулей. Доказательство. Докажем лемму для бимодулей; для левых и правых модулей доказательство аналогично. Так как $B^+$ проективен как левый и правый $B$-модуль, то $B^+\otimes B^{+\rm opp}$ – проективный $B\otimes B^{\rm opp}$-модуль. Проективный $A\otimes A^{\rm opp}$-модуль $P$ является прямым слагаемым в свободном $A\otimes A^{\rm opp}$-модуле $A\otimes U\otimes A^{\rm opp}$ (здесь $U$ – свободный $\mathbb{K}$-модуль). Следовательно, ${}_{\psi_1}P_{\psi_2}$ – прямое слагаемое в ${}_{\psi_1}A\otimes U\otimes A^{\rm opp}_{\psi_2}= B^+\otimes U\otimes B^{+\rm opp}$, что является проективным $B\otimes B^{\rm opp}$-модулем. А значит, ${}_{\psi_1}P_{\psi_2}$ и сам проективен. Лемма доказана. Теорема 31. Пусть $\Delta$ – хорошо темперированный элемент $A$ и $B=\widehat A_{\Delta}$. Тогда $\operatorname{Hdim}B$ не больше чем $\max(\operatorname{Hdim}A,2)$. Доказательство. Так как $A$ как $A\otimes A^{\rm opp}$-модуль имеет проективную резольвенту длины $\operatorname{Hdim}A$, то $B^+$, будучи изоморфным ${}_{\psi_1}A_{\psi_2}$ как $B\otimes B^{\rm opp}$-модуль, имеет проективную резольвенту той же длины по предыдущей лемме.
Тривиальный модуль $\mathbb{K}$ как $B\otimes B^{\rm opp}$-модуль имеет следующую проективную резольвенту длины 2:
$$
\begin{equation*}
0\to B^+\otimes B^+\to (B\otimes B^+)\oplus (B^+\otimes B)\to B\otimes B\to \mathbb{K} \to 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Из точной последовательности аугментации (50) получаем, что проективная $B\otimes B^{\rm opp}$-размерность $B$ не превосходит максимума проективных размерностей $B^+$ и $\mathbb{K}$. Теорема доказана. Таким образом, гладкость $A$ в DG-смысле влечет гладкость $B$. Доказательство. По предложению 7 получаем, что алгебра $\mathbb{K}\Gamma$ Морита-эквивалентна матричной алгебре над $\mathbb{K}[\pi(\Gamma),t]$. Так как фундаментальная группа графа $\Gamma$ свободна, алгебра $\mathbb{K}[\pi(\Gamma),t]$ квазисвободна над $\mathbb{K}$ в смысле Кунца–Квиллена [17] (относительную версию см. в [10]). Следовательно, хохшильдова размерность $\mathbb{K}\Gamma$ не больше 1. Так как хохшильдова размерность Морита-инвариантна, то предыдущая теорема дает нам требуемую границу для хохшильдовой размерности $B(\Gamma)$. Следствие доказано. Напомним, что левая (соответственно правая) глобальная размерность алгебры – это максимум проективных размерностей левых (соответственно правых) модулей над алгеброй. Обозначим левую (соответственно правую) глобальную размерность алгебры $B$ через $\operatorname{gldim}_lB$ (соответственно $\operatorname{gldim}_rB$). Как следствие теоремы 31, получаем следующий результат. Теорема 33. Пусть $\Delta$ – хорошо темперированный элемент алгебры $A$ и $B={\widehat A_{\Delta}}$. Тогда имеем следующие неравенства для левой и правой глобальных размерностей $B$: Доказательство. Пусть $M$ и $N$ – два произвольных левых (или правых) $A$-модуля. Имеем стандартную спектральную последовательность с листом $\mathrm{E}_2$: которая сходится к $\operatorname{Ext}^{i+j}_A(M,N)$.
Следовательно, верхняя оценка для левой (и правой) глобальной размерности $B$ выводится из верхней границы на хохшильдову размерность, полученной в предыдущей теореме, и оценки на $j$ для ненулевого $\operatorname{Ext}^j_{\mathbb{K}}$, которая следует из глобальной размерности $\mathbb{K}$. Теорема доказана. Следствие 34. Если $\mathbb{K}=k$ – поле, то глобальная размерность категории $B(\Gamma)$-модулей не больше 2. В работе [55] было показано, что в случае конечномерных алгебр над полем если $\Delta$ не является хорошо темперированным элементом, то левая и правая глобальные размерности гомотопа $\widehat A_{\Delta}$ бесконечны. 7. Теория представлений гомотопов7.1. Общая теория представлений гомотоповЗдесь мы опишем функторы между категориями модулей над алгеброй и над ее гомотопом. Мы не предполагаем в этом пункте, что $\Delta$ – хорошо темперированный элемент. Предположим опять, что нам дана алгебра $A$ с единицей, в которой зафиксирован элемент $\Delta$, и пусть $B^+=A_{\Delta}$ обозначает гомотоп, а $B=\widehat{A}_{\Delta}$ – аугментированный гомотоп. Определим функторы прямого образа на категории левых модулей путем поднятия структуры модуля вдоль $\psi_1$ и $\psi_2$:
$$
\begin{equation*}
\psi_{1*}\colon A \text{-} \mathrm{mod} \to B \text{-} \mathrm{mod},\qquad \psi_{2*}\colon A \text{-} \mathrm{mod} \to B \text{-} \mathrm{mod}.
\end{equation*}
\notag
$$
Мы используем для этих функторов обозначения, которые согласуются с точкой зрения некоммутативной алгебраической геометрии, где гомоморфизмы $\psi_1$ и $\psi_2$ определяют геометрические отображения между некоммутативными аффинными спектрами алгебр с единицей: $\operatorname{Spec}A\to \operatorname{Spec}B$. Некоммутативный аффинный спектр алгебры понимается здесь как объект категории, противоположной категории ассоциативных алгебр. Тогда модули приобретают смысл пучков на некоммутативных аффинных спектрах. Имеем естественное преобразование функторов: Для представления $\rho\colon A\to \operatorname{End}(V)$ и вектора $v\in V$ оно определяется по правилу Прямой проверкой можно убедиться, что эта формула определяет естественное преобразование функторов.Мы говорим, что $B$-модуль $B^+$-тривиален, если $B^+$ действует на нем нулем. Лемма 35. Пусть $W$ – это $A$-модуль. Тогда ядро и коядро $\lambda_W$ – это $B^+$-тривиальные модули. Более того, имеется точная последовательность со средним морфизмом $\lambda_W$: Доказательство. Отображение $\lambda_W$ задается действием $\Delta$ на пространстве представления. Отсюда следует, что действие $\psi_1(b)=b\Delta$ равно нулю на ядре $\lambda_W$ для любого $b\in B^+$. Беря $b=1_A$, мы видим, что ядро – это в точности подмодуль $\psi_{1*}W$, состоящий из элементов, на которых $B^+$ действует тривиально. Следовательно, оно равно $(\psi_{1*}W)^{B^+}$.
Образ $\lambda_W$ – это образ действия $\Delta$. Он содержит образ действия $\psi_2(b)=\Delta b$ для любого $b\in B^+$ и в действительности совпадает с $B^+\cdot\psi_{2*}W$ (достаточно снова рассмотреть $b=1_A$). Таким образом, фактор $\psi_{2*}W$ по этому образу является пространством коинвариантов для действия $B^+$. Лемма доказана. Функторы $\psi_{1*}$ и $\psi_{2*}$ имеют правые сопряженные
$$
\begin{equation*}
\psi^!_1,\psi^!_2 \colon B \text{-} \mathrm{mod} \to A \text{-} \mathrm{mod},
\end{equation*}
\notag
$$
которые определяются следующим образом:
$$
\begin{equation}
\psi^!_1,\psi^!_2\colon V\mapsto \operatorname{Hom}_{B}(A,V),
\end{equation}
\tag{63}
$$
где $A$ снабжено структурой левого $B$-модуля с помощью $\psi_1$ и $\psi_2$ соответственно. Функторы $\psi_{1*}$ и $\psi_{2*}$ также имеют левые сопряженные
$$
\begin{equation*}
\psi^*_1,\psi^*_2\colon B \text{-} \mathrm{mod} \to A \text{-} \mathrm{mod},
\end{equation*}
\notag
$$
определенные по правилу где $A$ снабжено структурой правого $B$-модуля с помощью $\psi_1$ или $\psi_2$ соответственно. Чтобы отличать умножение в $A$ от умножения в $B^+$, мы обозначим его через $\,\cdot_A$. Пусть $\rho\colon B\to \operatorname{End}(V)$ – представление алгебры $B$. Рассмотрим отображение
$$
\begin{equation*}
\mu_V\colon A\otimes_{B} V\to \operatorname{Hom}_{B}(A,V),
\end{equation*}
\notag
$$
определенное по правилу
$$
\begin{equation}
a\otimes v\mapsto \phi_{a\otimes v} \in \operatorname{Hom}_{B}(A,V),
\end{equation}
\tag{65}
$$
где Заметим, что мы используем $\psi_2$, чтобы определить $A\otimes_{B} V$, и $\psi_1$, чтобы определить $\operatorname{Hom}_{B}(A,V)$. Доказательство. Нам нужно проверить несколько свойств. Во-первых, что морфизм $\phi$ действительно является гомоморфизмом левых $B$-модулей. Во-вторых, что морфизм $\mu_V$ корректно определен на $A\otimes_{B}V$. В-третьих, что морфизм $\mu_V$ согласован со структурами левых $A$-модулей. В-четвертых, что морфизмы $\mu_V$ функториальны по отношению к $V$. Все это прямолинейная проверка, которую мы оставляем читателю. По сопряженности имеется естественное преобразование функторов: Пусть $V$ – это $B$-модуль с действием $B$, определенным $\rho\colon B\to \operatorname{End}(V)$. Тогда $\psi_{1*}\psi_2^*V=A\otimes V$ и где $a$ интерпретируется как элемент из $B^+$.Обозначим следующие морфизмы сопряжения через $\epsilon$ и $\delta$:
$$
\begin{equation*}
\epsilon\colon \psi_{1*}\psi_1^!\to \operatorname{id},\quad \delta\colon \operatorname{id}\to \psi_{2*}\psi_2^*.
\end{equation*}
\notag
$$
Для $B$-модуля $V$ и $\varphi \in \operatorname{Hom}_B(A,V)=\psi_{1*}\psi_1^!V$ имеем Для $v\in V$ имеем равенство элементов из $A\otimes_BV=\psi_{2*}\psi_2^*V$: Лемма 37. Ядро и коядро каждого из морфизмов $\epsilon$ и $\delta$, вычисленных на любом $B$-модуле $V$, являются $B^+$-тривиальными модулями. Доказательство. Обозначим через $\rho$ действие $B$ на $V$. Пусть Если $\varphi$ принадлежит ядру $\epsilon_V$, то $\varphi(1)=0$ и для любых $a\in A$ и $b\in B^+$. Следовательно, ядро $\epsilon$ является $B^+$-тривиальным $B$-модулем.
Если $v=\rho(b)u$ для некоторых $b\in B^+$ и $u\in V$, то определим $\varphi \in \operatorname{Hom}_B(A,V)$ по формуле $\varphi(a)=\rho (a\cdot_A b)u$. Это в самом деле гомоморфизм $B$-модулей, и $\varphi(1)=v$. Следовательно, действие элементов $B^+$ на $V$ принимает значение в образе $\epsilon$, т. е. коядро $\epsilon$ – это $B^+$-тривиальный $B$-модуль. Пусть $a\otimes v$ лежит в $A\otimes_BV=\psi_{2*}\psi_2^*V$, а $b\in B^+$. Тогда
$$
\begin{equation*}
b\cdot (a\otimes v)=(\Delta \cdot_Ab\cdot_Aa)\otimes v= 1\otimes \rho(b\cdot_Aa)v.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, коядро $\delta_V$ является $B^+$-тривиальным $B$-модулем.
Пусть $v\in V$ таков, что $\delta_V(v)=1\otimes v=0$ в $A\otimes_BV=\psi_{2*}\psi_2^*V$. Используя то, что $A\otimes_BV$ является левым $A$-модулем, мы получаем $a\otimes v=a(1\otimes v)=0$ для любого $a\in A$. Теперь используем тот факт, что $A\otimes_BV$ – это подлежащее векторное пространство для $\psi_{1*}\psi_2^*V$, хотя и с другой структурой $B$-модуля, и применим $\chi_V\kern-1pt\colon A\otimes_BV\to V$. Получим где $a$ теперь интерпретируется как произвольный элемент из $B^+$. Следовательно, ядро $\delta_V$ является $B^+$-тривиальным $B$-модулем. Лемма доказана.Лемма 38. Пусть $V$ – произвольный $B$-модуль. Тогда композиция естественных преобразований: совпадает с $\lambda_{\psi_1^!V}$. Пример. Предположим, что $A$ – коммутативная алгебра, тогда $\psi_1=\psi_2$. Пусть $A=k[t]$ – алгебра многочленов от одной переменной и $\Delta=t^2$. Алгебра $B=\widehat A_{\Delta}$ является алгеброй функций на аффинной кривой с каспом: Гомоморфизм $\psi_1=\psi_2\colon B\to A$ – это морфизм нормализации для каспидальной кривой, который задается отображениями Рассмотрим $V=A$ как $B$-модуль. Тогда легкое вычисление показывает, что как левые $A$-модули, и Таким образом, $\mu_A$ не является изоморфизмом. Заметим, что $\Delta$ в этом случае не может быть хорошо темперированным в силу леммы 19. Мы увидим, что в хорошо темперированном случае $\mu$ является эквивалентностью. 7.2. Вычисления в хорошо темперированном случаеЛемма 39. Пусть $\Delta$ – хорошо темперированный элемент в $A$. Тогда функторы $\psi^!_1$ и $\psi^*_2$ точны. Доказательство. Так как $B^+$ проективен как левый $B$-модуль, то $\psi^!_1$ точный. Так как $B^+$ проективный, а следовательно, плоский как правый $B$-модуль, то $\psi^*_2$ также точный. Лемма доказана. Лемма 40. Предположим, что $\Delta$ хорошо темперированный, и пусть $W$ – это $A$-модуль, а $V$ – это $B^+$-тривиальный $B$-модуль. Тогда: Доказательство. Прежде всего, так как $B^+$ – проективный левый $B$-модуль. Далее, любой гомоморфизм из $A=B^+$ в $B^+$-тривиальный $B$-модуль должен аннулировать образ отображения умножения $B^+\otimes B^+\to B^+$. Это отображение эпиморфно в силу определения хорошо темперированных элементов. Отсюда следует (i).
По сопряженности получаем
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Ext}_{B}^{\bullet}(\psi_{1*}W,V)= \operatorname{Ext}_{A}^{\bullet}(W,\mathbb{R}\psi_1^!V)=0,
\end{equation*}
\notag
$$
что доказывает (iii).
Аналогично, так как любой элемент $b\in B^+$ имеет вид $b=\displaystyle\sum a_i\cdot_Bb_i$, где $a_i,b_i\in B^+$. Следовательно, для любого $v\in V$. Отсюда следует (ii), а также что доказывает (iv). Лемма доказана. Доказательство. Пусть $W$ – левый $A$-модуль. Так как $A$ изоморфен $B^+$, изоморфизм (52) означает, что $A\otimes_BA=A$. Применение к нему тензорного произведения $(-)\otimes_{A}W$ дает $A\otimes_{B}W=W$, что означает, что морфизм $\eta_W\colon\psi_2^*\psi_{1*}W\to W$, полученный из $\lambda_W$ с помощью сопряжения, является изоморфизмом. Теперь применим $\psi_2^*$ к $\lambda_W$. Согласно леммам 35, 39 и 40, (ii), получаем, что $\psi_2^*(\lambda_W)\colon\psi_2^*\psi_{1*}W\to \psi_2^*\psi_{2*}W$ является изоморфизмом. Так как $\eta_W$ – это композиция $\psi_2^*(\lambda_W)$ и морфизма сопряжения $\psi_2^*\psi_{2*}W\to W$, заключаем, что $\psi_2^*\psi_{2*}\to \operatorname{id}$ является изоморфизмом.
Далее, применение тензорного произведения $(-)\otimes_{A}W$ к изоморфизму (54) дает, что $\operatorname{id}\to \psi_1^!\psi_{1*}$ – изоморфизм. Предложение доказано. Предложение 42. Пусть $\Delta$ – хорошо темперированный элемент в алгебре $A$, а $B={\widehat A_{\Delta}}$. Тогда естественное преобразование $\mu$ из (67) дает изоморфизм $\psi_2^*\simeq \psi_1^!$ на категории $B \text{-} \mathrm{mod}$. Доказательство. Функтор $\psi_2^*$ посылает свободный ранга 1 $B$-модуль $B$ в $A$, и то же делает функтор $\psi_1^!$ в силу предложения 25. Функторы $\psi_2^*$ и $\psi_1^!$ точные и коммутируют с бесконечными прямыми суммами. Последнее выполняется в силу того, что $A$ – конечно порожденный левый $B$-модуль согласно лемме 27. Следовательно, представление $B$-модуля $V$ как коядра гомоморфизма свободных $B$-модулей влечет аналогичные представления для $\psi_2^*V$ и $\psi_1^!V$ в виде коядер гомоморфизмов свободных $A$-модулей, а $\mu$ индуцирует изоморфизм этих представлений. Предложение доказано. Предложение 43. Пусть $\Delta$ хорошо темперированный. Для любых двух $B^+$-тривиальных $B$-модулей $U$, $V$ и любого $i\in \mathbb{Z}$ имеем В частности, $\mathbb{K}$ – исключительный объект, т. е. Доказательство. Ясно, что $\operatorname{Hom}_{B}(U,V)=\operatorname{Hom}_{\mathbb{K}}(U,V)$. Пусть $F$ – свободный $\mathbb{K}$-модуль. Покажем, что $\operatorname{Ext}^{>0}_B(F,V)=0$ для любого $B^+$-модуля $V$. Применение функтора $(-)\otimes F$ к аугментационной точной последовательности (50) дает короткую точную последовательность $B$-модулей: Применим к ней функтор $\operatorname{Ext}^i_B(-,V)$. Так как $B^+$ и $B$ – проективные $B$-модули, получаем равенство $\operatorname{Ext}^{>1}(F,V)=0$ и точную последовательность
$$
\begin{equation*}
0\to \operatorname{Hom}_B(F,V)\to \operatorname{Hom}_B(B\otimes F,V)\to \operatorname{Hom}_B(B^+\otimes F,V)\to \operatorname{Ext}^1_B(F,V)\to 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $B^+=\psi_{1*}A$, то $\operatorname{Hom}_B(B^+,V)=0$ по лемме 40, (iii). Так как $F$ свободный, имеем $\operatorname{Hom}_B(B^+\otimes F,V)=0$, а также, ввиду точной последовательности, $\operatorname{Ext}^1_B(F,V)=0$. Вычисление $\operatorname{Ext}^i_B(U,V)$ с помощью свободных $\mathbb{K}$-резольвент дает требуемый изоморфизм с $\operatorname{Ext}^i_{\mathbb{K}}(U,V)$. Предложение доказано. Предложение 44. Пусть $\Delta$ хорошо темперированный и $W$ – это $A$-модуль. Тогда имеем изоморфизм $B$-модулей: Далее, имеем квазиизоморфизм комплексов: с двумя нетривиальными компонентами в размерности 0 и 1. Доказательство. По предложению 41 имеем изоморфизм $A$-модулей:
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Hom}_B(A,\psi_{1*}W)=\psi_1^!\psi_{1*}W=W.
\end{equation*}
\notag
$$
$\operatorname{Hom}_B(B^+,\psi_{1*}W)$ – это то же векторное пространство $W$, но с левым действием $B$, индуцированным правым действием $A$, определенным с помощью $\psi_2$. Это доказывает (69).
Используя аугментационную последовательность (50) как проективную резольвенту для левого $B$-модуля $\mathbb{K}$ и описанное выше отождествление для $\operatorname{Hom}_B(B^+,\psi_{1*}W)$, получаем (70). Предложение доказано. Лемма 45. Пусть $\Delta$ хорошо темперированный и $W$ – это $A$-модуль. Тогда Предложение 46. Предположим, что $\Delta$ – хорошо темперированный элемент, и пусть $V$ – это $B$-модуль, а $U$ – это $B^+$-тривиальный $B$-модуль. Тогда Доказательство. По лемме 37 имеем точную последовательность где $K$ и $Q$ суть $B^+$-тривиальные $B$-модули. Рассмотрим спектральную последовательность, которая вычисляет функтор $\operatorname{Ext}_{B}^{\bullet}(-,U)$ на этой точной последовательности. Ее $\mathrm{E}_1$-лист имеет $\operatorname{Ext}$-группы из членов последовательности (71) в $U$. Спектральная последовательность сходится к нулю, так как последовательность (71) точна. По сопряженности получаем
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Ext}^{\bullet}_{B}(\psi_{1*}\psi_1^!V,U)= \operatorname{Ext}_{A}^{\bullet}(\psi_1^!V,\psi_1^!U),
\end{equation*}
\notag
$$
так как функтор $\psi_1^!$ точен по лемме 39. Согласно лемме 40 имеем $\psi_1^!U= 0$. Следовательно, $\operatorname{Ext}^{\bullet}_{B}(\psi_{1*}\psi_1^!V, U)=0$. Более того, так как $K$ и $Q$ суть $B^+$-тривиальные модули, то $\operatorname{Ext}_{B}^{i}(K,U)=0$ и $\operatorname{Ext}_{B}^{i}(Q,U)=0$ для $i>\operatorname{gldim}\mathbb{K}$ в силу предложения 43. Из спектральной последовательности немедленно следует, что $\operatorname{Ext}_{B}^{i}(V,U)=0$ для $i> \operatorname{gldim}\mathbb{K}+1$. Предложение доказано. 7.3. Когерентность алгебр и категории конечно представимых модулейПусть $A=\mathbb{K}\Gamma$. В этом случае мы знаем, что $B(\Gamma)=\widehat{A}_{\Delta}$. Согласно нашей исходной задаче нас интересуют категории представлений, конечно порожденных над $\mathbb{K}$. В некоммутативной алгебраической геометрии категории когерентных пучков на аффинном многообразии соответствует категория конечно представимых модулей, в то время как конечные над $\mathbb{K}$ $A$-модули соответствуют артиновым пучкам, т. е. пучкам с носителями в $\mathbb{K}$-точках. Чтобы работать с категорией конечно представимых модулей, мы должны для начала доказать, что она является абелевой категорией. Левый модуль $M$ над кольцом называется когерентным, если он конечно порожден и для любого морфизма $\varphi\colon P\to M$, где $P$ – свободный модуль конечного ранга, ядро $\varphi$ также конечно порождено. Кольцо называется когерентным (слева), если оно когерентно как модуль над самим собой. Если кольцо когерентно, то конечно представимые модули – это то же самое, что когерентные модули, и категория конечно представимых модулей является абелевой. Тем самым, нам надо найти условия, при которых гомотоп будет когерентной алгеброй. В соответствии с предложением 7 алгебра $\mathbb{K}\Gamma$ изоморфна матричной алгебре над $\mathbb{K}[\pi(\Gamma,t)]$. Следовательно, она квазисвободна над $\mathbb{K}$. Определение квазисвободной алгебры в относительном случае (т. е. для алгебр над коммутативным кольцом $\mathbb{K}$, а не над полем) является прямым обобщением определения И. Кунца и Д. Квиллена в [17] (ср. [10]). Алгебра $A$ квазисвободна, если модуль некоммутативных дифференциальных 1-форм $\Omega^1A$ проективен как $A\otimes A^{\rm opp}$-модуль. Прямое обобщение критерия Кунца–Квиллена квизисвободности алгебры [17] остается верным и в относительном случае. Напомним, что нильпотентным расширением с квадратом нуль алгебры $R$ называется алгебра ${\widetilde R}$ вместе с эпиморфизмом алгебр ${\widetilde R}\to R$, чье ядро $I$ удовлетворяет соотношению $I^2=0$. Предложение 47 [10]. Алгебра $A$ квазисвободна над $\mathbb{K}$ тогда и только тогда, когда для любого нильпотентного расширения с квадратом нуль ${\widetilde R}$ алгебры $R$ в категории $\mathbb{K}$-алгебр любой гомоморфизм $A\to R$ допускает поднятие до гомоморфизма $A\to {\widetilde R}$. Следующий критерий когерентности квазисвободных алгебр доказан в [10] с использованием критерия Чейза [16]. Теорема 48. Пусть $\mathbb{K}$ – коммутативное нётерово кольцо, а $A$ – относительно квазисвободная над $\mathbb{K}$ алгебра, плоская как $\mathbb{K}$-модуль. Тогда $A$ – алгебра, когерентная справа и слева. Теперь представим теорему, которая позволяет строить когерентные алгебры с помощью гомотопов последовательными итерациями. Теорема 49. Пусть $\Delta$ – хорошо темперированный элемент в $A$ и $B= \widehat A_{\Delta}$. Предположим, что $A$ – когерентная алгебра над нётеровым коммутативным кольцом $\mathbb{K}$. Тогда $B$ также когерентна. Доказательство. Рассмотрим гомоморфизм $M\to N$ свободных $B$-модулей конечного ранга. Вложим его в четырехчленную точную последовательность Нам надо показать, что $K$ конечно порожден. Применим функтор $\psi_{1*}\psi_1^!$ к точной последовательности (72). Так как по лемме 39 оба функтора $\psi_{1*}$ и $\psi_1^!$ точны, имеем точную последовательность
$$
\begin{equation*}
0\to \psi_{1*}\psi_1^!K\to \psi_{1*}\psi_1^!M\to \psi_{1*}\psi_1^!N \to \psi_{1*}\psi_1^!Q\to 0.
\end{equation*}
\notag
$$
По предложению 25 $\psi_1^!M$ и $\psi_1^!N$ – свободные $A$-модули конечного ранга. Так как $A$ – когерентная алгебра, отсюда следует, что $\psi_1^!K$ – конечно порожденный $A$-модуль. Далее, по лемме 27 $\psi_{1*}A$ конечно порожден как $B$-модуль. Поэтому применение $\psi_{1*}$ к конечно порoжденному $A$-модуль дает конечно порожденный $B$-модуль. Следовательно, $B$-модуль $\psi_{1*}\psi_1^!K$ также конечно порожден.
Теперь рассмотрим точную последовательность, индуцированную морфизмом присоединения: Так как $\psi_{1*}\psi_1^!K$ конечно порожден, остается показать, что $S$ конечно порожден. Согласно лемме 37, $S$ является $B^+$-тривиальным $B$-модулем. Следовательно, $S$ отождествляется с фактором $K/B^+K$. Покажем, что этот модуль конечно порожден.Рассмотрим спектральную последовательность, которая получается применением функтора $\operatorname{Tor}^B_{\bullet}(\mathbb{K},-)$ к последовательности (72). Спектральная последовательность сходится к нулю, поскольку исходная последовательность была точна. Учитывая, что $M$ и $N$ проективные, а следовательно, плоские, мы видим, что вклад в $\mathbb{K}\otimes_BK=K/B^+K$ приходит из подмодуля $\mathbb{K}\otimes_B M$ и из $\operatorname{Tor}_2^{B}(\mathbb{K},Q)$. Модуль $\mathbb{K}\otimes_B M$ – свободный $\mathbb{K}$-модуль конечного ранга. Вследствие нётеровости $\mathbb{K}$ любой его подмодуль конечно порожден. Группа $\operatorname{Tor}_2^{B}(\mathbb{K},Q)$ равна нулю, поскольку аугментационная последовательность (50) является плоской $B$-резольвентой длины 2 для $\mathbb{K}$. Теорема доказана. Следствие 50. Пусть $\mathbb{K}$ – нётерово кольцо. Тогда группоид Пуанкаре $\mathbb{K}\Gamma$ и алгебра $B(\Gamma)$ когерентны. Доказательство. Так как фундаментальная группа $\pi(\Gamma)$ свободна, групповое кольцо $\mathbb{K}[\pi(\Gamma)]$ относительно квазисвободно над $\mathbb{K}$ (ср. [17]). Действительно, свободная алгебра $\mathbb{K} \langle x_1,\dots,x_n \rangle$ относительно квазисвободна над $\mathbb{K}$, поскольку она с очевидностью удовлетворяет критерию поднятия морфизмов предложения 47. Групповое кольцо $\mathbb{K}[\pi(\Gamma)]$ является локализацией свободной алгебры и, следовательно, также удовлетворяет критерию поднятия морфизмов. По теореме 48 оно квазикогерентно. Согласно предложению 7 алгебра $\mathbb{K}\Gamma$ Морита-эквивалентна групповому кольцу $\mathbb{K}[\pi(\Gamma)]$. Следовательно, она также когерентна. Когерентность $B(\Gamma)$ вытекает из теоремы 49. Следствие доказано. Из следствия 50 заключаем, что категории конечно представимых левых модулей над $\mathbb{K}\Gamma$ и $B(\Gamma)$ абелевы. Мы будем отмечать категории конечно представимых (левых) модулей нижним индексом “$\mathrm{fp}$”. Предложение 51. Пусть $\Delta$ – хорошо темперированный элемент в алгебре $A$ и $B=\widehat A_{\Delta}$. Тогда функторы $\psi_{1*}$, $\psi_2^*$, $\psi_1^!$ и $\psi_1^*$ посылают конечно представимые левые модули над соответствующими алгебрами в конечно представимые модули. Доказательство. Конечно представимый $A$-модуль $W$ имеет представление конечно порожденными свободными $A$-модулями. Применяя точный функтор $\psi_{1*}$ к этому представлению, получим представление $\psi_{1*}W$ проективными $B$-модулями, которые суть конечные суммы копий $B^+$. Так как по лемме 27 $B^+$ – конечно порожденный $B$-модуль, то $\psi_{1*}W$ конечно представим.
Функторы $\psi_1^*$ и $\psi_2^*$ посылают конечно порожденные свободные $B$-модули в конечно порожденные свободные $A$-модули. Так как оба функтора точны справа, они отображают конечно представимые $B$-модули в конечно представимые $A$-модули. Функтор $\psi_1^!$ изоморфен $\psi_2^*$ согласно предложению 42. Предложение 51 доказано. Лемма 52. Пусть $\mathbb{K}$ – нётерово кольцо. Тогда любой конечно порожденный $\mathbb{K}$-модуль конечно представим как $B$-модуль. Доказательство. Так как $\mathbb{K}$ нётерово, любой конечно порожденный модуль имеет представление конечно порожденными свободными модулями над $\mathbb{K}$. Конечно порожденные свободные модули над $\mathbb{K}$ имеют конечную проективную резольвенту над $B$, поскольку $\mathbb{K}$ имеет проективную $B$-резольвенту (50). Это влечет утверждение леммы. Предложение 53. Пусть $\Delta$ хорошо темперированный, а $\mathbb{K}$ нётерово. Тогда функтор $\psi_{2*}$ посылает конечно представимые модули в конечно представимые в том и только том случае, когда $\{a\in A\mid\Delta a=0\}$ и $A/\Delta A$ – конечно порожденные $\mathbb{K}$-модули. Доказательство. Предположим, что $\psi_{2*}$ посылает конечно представимые модули в конечно представимые. Рассмотрим точную последовательность (62) в применении к модулю $W=A$. Так как $\psi_{1*}W$ конечно представим и категория конечно представимых модулей абелева, то ядро и коядро $\lambda_A$ должны быть конечно представимыми модулями. Но они $B^+$-тривиальные модули, причем ядро изоморфно $\{a\in A\mid\Delta a=0\}$, а коядро изоморфно $A/\Delta A$. Следовательно, они должны быть конечно порожденными $\mathbb{K}$-модулями.
В обратную сторону, предположим, что эти $\mathbb{K}$-модули конечно порождены. Согласно лемме 52 достаточно показать, что ядро и коядро $\lambda_W$ – конечно порожденные $\mathbb{K}$-модули, когда $W$ конечно представим. В случае $W=A$ это следует из (62). Рассмотрим четырехчленную точную последовательность, которая происходит из конечного представления $W$: Во-первых, так как функтор $\psi_{2*}(-)/B^+\psi_{2*}(-)$ точный справа и его значение на $A^l$ является конечно порожденным $\mathbb{K}$-модулем, то таковым же является и его значение на $W$. Таким образом, коядро $\lambda_W$ – конечно порожденный $\mathbb{K}$-модуль. Во-вторых, применяя точный функтор $\psi_{1*}$ к точной последовательности выше, получаем четырехчленную точную последовательность
$$
\begin{equation*}
0\to \psi_{1*}(Z)\to (B^+)^k\to (B^+)^l\to \psi_{1*}(W)\to 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя функтор $\operatorname{Hom}_B(\mathbb{K},-)$ к ней, получаем спектральную последовательность, сходящуюся к нулю. Это показывает, что $(\psi_{1*}W)^{B^+}=\operatorname{Hom}_B(\mathbb{K},\psi_{1*}W)$ фильтрован $\mathbb{K}$-подфакторами модулей
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Hom}_B(\mathbb{K},(B^+)^k),\quad \operatorname{Ext}^1_B(\mathbb{K},(B^+)^k),\quad \operatorname{Ext}^2_B(\mathbb{K},\psi_{1*}Z).
\end{equation*}
\notag
$$
По лемме 45 первые два – конечно порожденные $\mathbb{K}$-модули, в то время как третий модуль является нулевым. Так как $\mathbb{K}$ нётерово, ядро $\lambda_W$ конечно порождено над $\mathbb{K}$. Предложение доказано. Для $A$-модуля $W$ рассмотрим отображение $\lambda_W\colon\psi_{1*}W\to \psi_{2*}W$, определенное естественным преобразованием (60). Определим $B$-модуль $W_{\min}$ как образ $\lambda_W$. Лемма 54. Пусть $W$ – это $A$-модуль, а $V$ – это $B^+$-тривиальный $B$-модуль. Тогда $B$-модуль $W_{\min}$ удовлетворяет равенствам Доказательство. Модуль $W_{\min}$ является подмодулем в $\psi_{2*}W$, следовательно, по лемме 40, (iv), имеем $\operatorname{Hom}_{B(\Gamma)}(V,W_{\min})=0$. Также он является фактором от $\psi_{1*}W$, следовательно, по лемме 40, (iii), имеем $\operatorname{Hom}_{B(\Gamma)}(W_{\min},V)=0$. Лемма доказана. Для $B$-модуля $V$ определим его минимальную тень следующим образом: $V_{\min}:=(\psi_1^!V)_{\min}=(\psi_2^*V)_{\min}$. Предложение 55. Для любого $B$-модуля $V$ имеется коммутативная диаграмма c эпиморфизмом $\alpha$ и мономорфизмом $\beta$. Для левого $B(\Gamma)$-модуля $V$ и вершины $i\in V(\Gamma)$ определим $\mathbb{K}$-модули Если $\Gamma$ – связный граф, то $V_i$ изоморфны для всех $i\in V(\Gamma)$. Действительно, если $(ij)\in E(\Gamma)$ и $v\in V_i$, то $s_{ij}^{-1}\rho(x_j)v\in V_j$. Более того,
$$
\begin{equation*}
s_{ij}^{-1}\rho(x_i)\bigl(s_{ij}^{-1}\rho(x_j)v\bigr)= s_{ij}^{-2}\rho(x_ix_jx_i)v=v.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, $s_{ij}^{-1}\rho(x_j)$ и $s_{ij}^{-1}\rho(x_i)$ – это взаимно обратные преобразования между $V_i$ и $V_j$. Отметим, что, вообще говоря, изоморфизм зависит от выбора пути, соединяющего вершины $i$ и $j$. Доказательство. Так как $\mathbb{K}\Gamma$ изоморфен $B^+(\Gamma)$ как правый $B(\Gamma)$-модуль, то можно применить (47) для вычисления $\mathbb{K}\Gamma\otimes_{B(\Gamma)}V$. Поскольку $x_i$ – идемпотент, имеем короткую точную последовательность правых модулей (в действительности разложение в прямую сумму):
$$
\begin{equation}
0\to (1-x_i)B(\Gamma)\to B(\Gamma)\to x_iB(\Gamma)\to 0.
\end{equation}
\tag{74}
$$
Взятие тензорного произведения последовательности (74) с $V$ над $B(\Gamma)$ показывает, что Предложение доказано. Мы будем говорить, что конечномерный $B(\Gamma)$-модуль имеет ранг $r$, и писать $\operatorname{rank}V=r$, если $\dim V_i=r$. Представления $V$ ранга 1 алгебры $B(\Gamma)$ соответствуют конфигурациям прямых в $V$, подчиненных $\Gamma$. Минимальная тень представления соответствует минимальной конфигурации, которая в п. 2.3 канонически ассоциирована с любой конфигурацией. Окончание доказательства теоремы 3. После того как мы разработали соответствующую технику, утверждения теоремы становятся естественными и легко проверяемыми. Прежде всего, эквивалентность $k[\pi(\Gamma)] \text{-} \mathrm{mod}$ и $k\Gamma \text{-} \mathrm{mod}$ переводит одномерные $k[\pi(\Gamma)]$-представления в $k\Gamma$-представления $W$, в которых идемпотенты $e_i$ представляются проекторами ранга 1. Далее, функтор $W\mapsto W_{\min}$ переводит такие представления в минимальные представления алгебры $B(\Gamma)$ ранга 1. А такие представления в точности соответствуют конфигурациям прямых, о которых идет речь в теореме, поскольку прямые это и есть образы проекторов $x_i$. Так как одномерные представления группы – это ее характеры и многообразие характеров фундаментальной группы графа – это ${\rm H}^1(\Gamma,k^*)$, получаем, что эта группа параметризует минимальные конфигурации прямых, а значит, и классы $S$-эквивалентности конфигураций. Теорема 3 полностью доказана. 7.4. ДвойственностьПусть $\sigma= \sigma_A$ – инволютивный антиавтоморфизм на $A$, который сохраняет $\Delta$: Тогда $\sigma$ индуцирует антиавтоморфизм на $B^+$, а следовательно, и на $B$, который мы будем обозначать $\sigma_B$, когда нам будет нужно отличать его от $\sigma_A$. В самом деле,
$$
\begin{equation*}
\sigma(a\cdot_{\Delta}b)=\sigma(a\Delta b)=\sigma(b)\sigma(\Delta)\sigma(a)= \sigma(b)\cdot_{\Delta}\sigma(a).
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, антиинволюции на $A$ и $B$ удовлетворяют соотношению относительно $\psi_1$ и $\psi_2$: Теперь вспомним, что у нас есть инволюция (26) на алгебре $\mathbb{K}\Gamma$. Она сохраняет оператор Лапласа $\Delta$ и, следовательно, индуцирует антиинволюцию $\sigma_B\colon B(\Gamma)\to B(\Gamma)^{\rm opp}$, которая определяется по формуле Любой антиизоморфизм алгебры индуцирует эквивалентность между категориями левых и правых модулей над алгеброй. Если $\mathbb{K}=k$ является полем и левый $B$-модуль конечномерен над $k$, то двойственное векторное пространство будет правым $B$-модулем. Композиция эквивалентности, идуцированной антиизоморфизмом, со взятием двойственного пространства определяет двойственность, т. е. инволютивную антиэквивалентность на категории конечномерных правых $B$-модулей. Антиинволюция $\sigma_B$ индуцирует двойственность $D\colon B(\Gamma) \text{-} \mathrm{mod}\simeq B(\Gamma) \text{-} \mathrm{mod}^{\rm opp}$. Для представления $\rho\colon B(\Gamma)\to \operatorname{End}(V)$ двойственное представление $D(\rho)\colon B(\Gamma)\to \operatorname{End}(V^*)$ в $V^*$ определяется по правилу На порождающих $x_i$ из $B^+(\Gamma)$ двойственность действует как $x_i\mapsto x_i^*$. Таким образом, эта двойственность – алгебраическая версия двойственности, обсуждавшейся в начале п. 2.3.Было бы интересно изучить автодвойственные представления $B^+(\Gamma)$, т. е. представления $V$, которые допускают изоморфизм с двойственным представлением: $V\simeq V^*$. 7.5. Морита-эквивалентность гомотоповРассмотрим пару элементов $\Delta$, $\Delta'$ в алгебре $A$. Здесь мы обсудим вопрос о том, когда соответствующие алгебры $B=\widehat A_{\Delta}$ и $B'=\widehat A_{\Delta'}$ Морита-эквивалентны, т. е. когда существует $B'{ \text{-} }B$-бимодуль $N$ такой, что функтор $\Phi_N\colon \mathrm{mod}{ \text{-} }B\to \mathrm{mod}{ \text{-} }B'$, заданный по правилу индуцирует эквивалентность категорий модулей.Мы используем верхний индекс ${}'$ для обозначения гомоморфизмов, связанных с $\Delta'$, чтобы отличать их от аналогичных гомоморфизмов, связанных с $\Delta$. Зафиксируем элементы $c,d\in A$, которые удовлетворяют уравнению Построим бимодуль $N=N_{cd}$ следующим образом. Мы хотим сконструировать $N$ как расширение тривиального бимодуля $\mathbb{K}$ с помощью $A$, где последний рассматривается как $B'{ \text{-} }B$-бимодуль с левой $B'$-модульной структурой, происходящей из $\psi_1'$, и правой $B$-модульной структурой, происходящей из $\psi_2$: где $z$ – порождающая $\mathbb{K}=\mathbb{K}\cdot z$. Рассмотрим $N=\mathbb{K}\cdot z\oplus A$ как векторное пространство. Определим левое действие $b'\in (B')^{+}$ на $z$ по правилу Это элемент из $A\subset N_{cd}$. Аналогично определим правое действие $b\in B^+$ на $z$ по правилу Действие единицы определяется, конечно, как тождественное. Доказательство. Для структуры левого $B'$-модуля имеем: и аналогично для структуры правого $B$-модуля. Кроме того, левая и правая модульные структуры коммутируют: Предложение доказано. Пусть $\Delta'=\Delta$, тогда $B'=B$. Предположим, что $(c, d)=(1_A,1_A)$ – две копии единицы в $A$. Тогда $N_{11}=B$ как $B$-модуль. Следовательно, функтор $\Phi_{N_{11}}$ тождественный на $\mathrm{mod}{ \text{-} }B$. Композиция функторов типа $\Phi_N$ согласована с произведением бимодулей: для $B'{ \text{-} }B$-бимодуля $L$ и $B{ \text{-} }B''$-бимодуля $N$.Предложение 58. Пусть $\Delta$ – хорошо темперированный элемент в $A$. Рассмотрим $B'{ \text{-} }B$-бимодуль $N_{cd}$ и $B{ \text{-} }B''$-бимодуль $N_{uv}$. Тогда как $B'{ \text{-} }B''$-бимодуль. Доказательство. Пусть $\Delta$, $\Delta'$ и $\Delta''$ – определяющие элементы для $B$, $B'$ и $B''$ соответственно. По определению бимодулей $N_{cd}$ и $N_{uv}$ имеем: откуда следует, что Таким образом, модуль $N_{cu,dv}$ корректно определен.
Мы знаем из (52), что $A\otimes_BA=A$, и по лемме 40, (ii), имеем $A\otimes_B^{\mathbb L} \mathbb{K}=0$. Беря тензорное произведение над $B$ последовательности (77) для $N_{cd}$ и $N_{uv}$, получаем, что $N_{cd}\otimes N_{uv}$ вкладывается в аналогичную точную последовательность
$$
\begin{equation*}
0\to A\to N_{cd}\otimes_B N_{uv}\to \mathbb{K}\cdot (z\otimes w) \to 0,
\end{equation*}
\notag
$$
где $z$ и $w$ обозначают порождающие в $\mathbb{K}$-компонентах для $N_{cd}$ и $N_{uv}$ соответственно. Тем самым, нам надо проверить левое действие $B'$ и правое действие $B''$ на $z\otimes w$. Пусть $b'$ принадлежит $B'$. Тогда Далее, $b'\cdot_Ac$ – элемент из $A\simeq B^+$. Согласно (52) его можно разложить в сумму: где $p_i$ и $q_i$ – некоторые элементы $B^+$. Имеем:
$$
\begin{equation*}
b'\cdot_Ac\otimes w=\sum p_i\cdot_Bq_i\otimes w= \sum p_i\otimes q_iw=\sum p_i\otimes q_i\cdot_Au.
\end{equation*}
\notag
$$
Отождествление $B^+\otimes_BB^+=B^+$ в (52) задается умножением в $B^+$. Следовательно, при этом отождествлении выполнены равенства Таким образом, правое действие $B'$ на $z\otimes w$ происходит “через” $c\cdot_Au$. Аналогично для правого действия $B''$. Предложение доказано. Определение. Две пары элементов $(c,d)$ и $(c',d')$ в $A$, удовлетворяющие уравнению (76), называются гомотопными, если существует элемент $h\in A$ такой, что Очевидно, что это определяет отношение эквивалентности. Лемма 59. Если пары $(c,d)$ и $(c',d')$, удовлетворяющие (76), гомотопны, то $B'{ \text{-} }B$-бимодули $N_{cd}$ и $N_{c'd'}$ изоморфны. Доказательство. Указанные бимодули являются расширениями $\mathbb{K}$ с помощью $A$, следовательно, они классифицируются элементами $\operatorname{Ext}^1_{B'{ \text{-} }B}(\mathbb{K},A)$. Мы можем использовать проективную бимодульную резольвенту (аналогичную той, которую мы использовали для нахождения размерности Хохшильда):
$$
\begin{equation*}
0\to (B')^+\otimes B^+\to (B'\otimes B^+)\oplus ((B')^+\otimes B) \to B'\otimes B\to \mathbb{K} \to 0,
\end{equation*}
\notag
$$
чтобы вычислить эту группу и убедиться, что пары, удовлетворяющие уравнению (76), по модулю гомотопической эквивалентности дают в точности элементы $\operatorname{Ext}^1_{B'{ \text{-} }B}(\mathbb{K},A)$. По-другому, можно сделать замену $z\mapsto z+h$, которая даст новое представление для $N_{cd}$, отождествляющее его с $N_{c'd'}$. Лемма доказана. Теорема 60. Пусть $\Delta$ и $\Delta'$ – хорошо темперированные элементы $A$ и имеются элементы $c,d,u,v,h_1,h_2\in A$ такие, что Тогда категории $B \text{-} \mathrm{mod}$ и $B' \text{-} \mathrm{mod}$ эквивалентны. Доказательство. Согласно предложению 58 и лемме 59 функторы $\Phi_{N_{cd}}$ и $\Phi_{N_{uv}}$ взаимно обратны, откуда и следует эквивалентность. Эта теорема утверждает, что при условии хорошей темперированности категория представлений гомотопа является инвариантом гомотопического класса двухчленных комплексов правых $A$-модулей вида $\{A\to A\}$. Далее, рассмотрим тензорное произведение над $B$ последовательности (77) с $B^+$-тривиальным левым $B$-модулем $\mathbb{K}$. Мы знаем, что $A\otimes_B^{\mathbb L}\mathbb{K}=0$, следовательно, $\Phi_{N_{cd}}(\mathbb{K})=\mathbb{K}$. Предложение 61. Если $\Delta$ хорошо темперированный, то функторы $\psi_{1*}$ и $\psi'_{1*}$ согласованы с эквивалентностями $\Phi_{N_{cd}}$, т. е. Доказательство. Пусть $M$ – левый $A$-модуль. Возьмем тензорное произведение над $B$ модуля $\psi_{1*}M$ с короткой точной последовательностью (77). Во-первых, Во-вторых, поскольку $A\otimes_BA=A$ для хорошо темперированного $\Delta$. Отсюда следует, что $N_{cd}\otimes_B^{\mathbb L}\psi_{1*}M=\psi_{1*}'M$. Предложение доказано. 7.6. Пример: матричная алгебра над полемПусть $A$ – матричная алгебра над полем $\mathbb{K}=k$. Мы будем отождествлять $A$ с алгеброй операторов на векторном пространстве $V$ над $k$ размерности $n$. Предложение 62. Все ненулевые элементы $A$ хорошо темперированы. Если $\Delta$ – это оператор коранга $s$, то гомотоп $B$ Морита-эквивалентен алгебре путей колчана с двумя вершинами, $s$ стрелками $\alpha_i$ в одном направлении, $s$ стрелками $\beta_j$ в противоположном направлении и с соотношениями $\beta_j\alpha_i=0$ для любых $1\leqslant i,j\leqslant s$. Доказательство. Прежде всего, $A$ – простая алгебра, следовательно, для любого ненулевого элемента $\Delta$ двусторонний идеал $A\Delta A$ совпадает с $A$. Пусть $\Delta$ – оператор коранга $s$. Мы знаем, что $B$ остается в том же классе изоморфизма, когда $\Delta$ умножается на обратимые элементы из $A$ с обеих сторон. Умножая $\Delta$ на обратимые элементы, мы можем добиться того, что он станет проектором $\Delta=p$ коранга $s$.
Проектор $p$ можно разложить в сумму ортогональных (т. е. $p_ip_j= 0$) минимальных проекторов в $A$. Легко проверить, что то же самое разложение $p$ в ортогональные идемпотенты выполнено в $B^+$. Матричная алгебра $A$, как левый модуль над собой, раскладывается в прямую сумму $n$ копий проективного модуля $Ap_1$. Так как $B^+=\psi_{1*}A$, он имеет разложение в $N$ копий $\psi_{1*}Ap_1=Bp_1$.Пусть $q=1_B-p$. Как левый $B$-модуль, $B$ раскладывается откуда следует, что $Bp_i$ – проективные модули; следовательно, $B^+$ проективен, откуда выводим, что $\Delta$ хорошо темперирован. Рассмотрим $B$-модуль $P=Bp_1\oplus Bq$. Ясно, что $P$ – проективный генератор в $B \text{-} \mathrm{mod}$. Легко проверить, что его алгебра эндоморфизмов совпадает с той, которая описана в формулировке предложения. Это завершает доказательство.Алгебра в предложении 62 имеет глобальную размерность 2. В случае $s=1$ это хорошо известная квазинаследственная алгебра, чья категория представлений эквивалентна категории $\mathscr O$ представлений алгебры Ли $\operatorname{sl}(2,k)$ с фиксированным центральным характером. Она также эквивалентна категории превратных пучков на двумерной сфере, стратицированной точкой и дополнением к ней. 7.7. Пример: циклический графПусть ${\rm H}^1(\Gamma)={\mathbb Z}$. Тогда групповое кольцо $k[\pi_1(\Gamma)]$ является алгеброй $k[x,x^{-1}]$ многочленов Лорана от одной переменной, где $x$ – это характер фундаментальной группы. Ввиду Морита-эквивалентности между $k\Gamma$ и $k[\pi_1(\Gamma)]$ категория $k\Gamma \text{-} \mathrm{mod}$ эквивалентна категории $k[x,x^{-1}] \text{-} \mathrm{mod}$. Так как $k\Gamma$ изоморфна матричной алгебре над $k[\pi_1(\Gamma)]$ (см. предложение 7), элементы $k\Gamma$ можно понимать как гомоморфизмы свободных $k[x,x^{-1}]$-модулей ранга $n=|V(\Gamma)|$. В частности, оператор Лапласа определяет гомоморфизм модулей:
$$
\begin{equation*}
\Delta\colon {k[x,x^{-1}]}^{\oplus n}\to {k[x,x^{-1}]}^{\oplus n}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $\Gamma$ – циклический граф с $n$ вершинами и $n$ ребрами $l_{i,i+1}$, где $i \in \mathbb{Z}/n$, то
$$
\begin{equation*}
\Delta=1+\sum_{i \in \mathbb{Z}/n}s_{i,i+1}(l_{i,i+1}+l_{i+1,i})
\end{equation*}
\notag
$$
для некоторых $s_{i,i+1} \in k^*$, $i \in \mathbb{Z}/n$. Матрица $\Delta$, которую мы также будем называть оператором Лапласа, в подходящем базисе имеет вид
$$
\begin{equation}
\begin{pmatrix} 1 & s_{1,2} & 0 & \dots & 0 & s_{n,1}x^{-1} \\ s_{1,2} & 1 & s_{2,3} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & s_{2,3} & 1 & s_{3,4} & \dots & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & \dots & 0 & s_{n-2, n-1} & 1 & s_{n-1,n} \\ s_{n,1}x & 0 & \dots & 0 & s_{n-1,n} & 1 \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{78}
$$
Ранг этого оператора – это в точности размерность минимального представления гомотопа, отвечающего данному значению $x$ характера фундаментальной группы. Минор размера $(n-2)\times(n-2)$, который включает все столбцы, кроме первого и последнего, и все строчки, кроме двух последних, очевидно, не равен нулю ни при каких обратимых значениях $s_{i,i+1}$. Поэтому ранг оператора Лапласа не меньше $n-2$. Тем самым, стратификация многообразия модулей представлений ранга 1 гомотопа $B(\Gamma)$ имеет не более трех стратов:
$$
\begin{equation*}
{\mathscr M}(\Gamma)={\mathscr M}^n\cup {\mathscr M}^{n-1}\cup {\mathscr M}^{n-2},
\end{equation*}
\notag
$$
отвечающих минимальным представлениям размерности $n$, $n-1$ и $n-2$. Здесь ${\mathscr M}(\Gamma)$ изоморфно ${\mathbb A}^1\setminus \{0\}$ и задается параметром $x\ne 0$. Легко видеть, что при $n\geqslant 3$ определитель матрицы Лапласа имеет вид где $A$ и $B$ – многочлены от $s_{i,i+1}$. Более того, $A=\pm \prod s_{i,i+1}$. Нули определителя задают значения переменных $s_{i,i+1}$ и $x$, для которых ранг лапласиана падает по крайней мере на 1. Таким образом, в общем случае значений $s_{i,i+1}$ мы имеем два значения $x$, для которых ранг оператора Лапласа падает на 1. Это координаты двух точек, которые составляют ${\mathscr M}^{n-1}$. В общем случае ${\mathscr M}^{n-2}=\varnothing$.Вычисления показывают, что для специальных значений $s_{i,i+1}$, которые выделяются тремя уравнениями от $r_{i,i+1}=s_{i,i+1}^2$ (явный вид которых мы опустим) и определяют многообразие ${\mathscr R}$ размерности $n-3$, ранг оператора Лапласа падает на 2 в точке $x=1$ или $x=-1$ в зависимости от связной компоненты ${\mathscr R}$. Таким образом, для точек из ${\mathscr R}$ страт ${\mathscr M}^{n-1}$ пуст, а ${\mathscr M}^{n-2}$ состоит из одной точки. 8. Производные категории, склейка и обобщенные гомотопыВ этом разделе мы подойдем к проблеме с позиции производных категорий. Это позволит нам понять конструкцию гомотопа в терминах абстрактной склейки $t$-структур. Так как склейка изначально была гомологическим инструментом для построения конструктивных превратных пучков на стратифицированных пространствах, не должно быть сюрпризом, что при подходящих стратификациях категории превратных пучков могут оказаться эквивалентны представлениям гомотопов. 8.1. Разложение производной категории гомотопаПредположим, что $\Delta\in A$ хорошо темперированный и $B={\widehat A_{\Delta}}$. Рассмотрим производные категории $D(A \text{-} \mathrm{mod})$ и $D(B \text{-} \mathrm{mod})$. Функторы $\psi_{1*}$, $\psi_{2*}$ и функтор $\psi_2^*\simeq \psi_1^!$ точные. Обозначим теми же символами соответствующие производные функторы. Покажем, что они определяют полуортогональное разложение для $D(B \text{-} \mathrm{mod})$. Естественные преобразования (60) и (67) и тот факт, что $\mu$ – изоморфизм функторов, переносятся в контекст производных категорий. Обозначим через $D_0(B \text{-} \mathrm{mod})$ полную подкатегорию в $D(B \text{-} \mathrm{mod})$ комплексов с когомологиями – $B^+$-тривиальными модулями. В силу предложения 43 она эквивалентна $D(\mathbb{K} \text{-} \mathrm{mod})$. Обозначим $i_*\colon D(\mathbb{K} \text{-} \mathrm{mod})\to D(B \text{-} \mathrm{mod})$ соответствующий функтор вложения. Напомним некоторые определения из [5]. Триангулированная подкатегория называется допустимой справа (соответственно слева), если она допускает правый (соответственно левый) сопряженный функтор к функтору вложения. Предложение 63. Подкатегория $D_0(B \text{-} \mathrm{mod})$ в $D(B \text{-} \mathrm{mod})$ является допустимой справа и слева. Функторы $\psi_{1*}$ и $\psi_{2*}$ строго полные и отождествляют категорию $D(A \text{-} \mathrm{mod})$ соответственно с левым и правым ортогоналом к подкатегории $D_0(B \text{-} \mathrm{mod})$ в $D(B \text{-} \mathrm{mod})$. Доказательство. Функторы $\psi_{1*}$ и $\psi_{2*}$ между триангулированными категориями строго полные, если морфизмы сопряжения являются изоморфизмами: $\operatorname{id}\simeq \psi_2^*\psi_{2*}$, $\operatorname{id}\simeq \psi_1^!\psi_{1*}$. А это следует из предложения 41, поскольку функторы $\psi_2^*=\psi_1^!$, $\psi_{2*}$ и $\psi_{1*}$ точные, как функторы между абелевыми категориями.
Пусть $W$ – это $A$-модуль и $V_0$ – это $B^+$-тривиальный $B$-модуль. В силу леммы 40 мы уже знаем, что $\operatorname{Hom}_{B(\Gamma)}^{\bullet}(\psi_{1*}W,V_0)=0$ и $\operatorname{Hom}_{B(\Gamma)}^{\bullet}(V_0,\psi_{2*}W)=0$. Чтобы доказать, что $D_0(B \text{-} \mathrm{mod})$ допустима слева и, одновременно, что образ функтора $\psi_{1*}$ – действительно весь левый ортогонал к $D_0(B \text{-} \mathrm{mod})$, достаточно проверить (см. [5]), что любой объект $V$ в $D(B \text{-} \mathrm{mod})$ имеет разложение в точный треугольник $U\to V\to W$, где $U$ лежит в образе $\psi_{1*}$ и $W\in D_0(B \text{-} \mathrm{mod})$. Рассмотрим морфизм присоединения $\psi_{1*}\psi_1^!V\to V$. По лемме 37 его конус лежит в $D_0(B \text{-} \mathrm{mod})$, если $V$ – чистый $B$-модуль. Это определяет треугольник с требуемыми свойствами для $V$. Для общего $V$ это следует из точности функторов $\psi_{1*}$ и $\psi_1^!$. Для $\psi_{2*}$ доказательство аналогично. Предложение доказано. В соответствии с идеологией работы [5], это предложение интерпретируется как существование разложений в полуортогональные пары:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, D(B \text{-} \mathrm{mod})&= \bigl\langle i_*D(\mathbb{K} \text{-} \mathrm{mod}), \psi_{1*}D(A \text{-} \mathrm{mod})\bigr\rangle\nonumber\\ &= \bigl\langle\psi_{2*}D(A \text{-} \mathrm{mod}), i_*D(\mathbb{K} \text{-} \mathrm{mod})\bigr\rangle. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{79}
$$
Если задана допустимая подкатегория $\mathscr B$ в триангулированной категории $\mathscr D$, то имеется эквивалентность между ${}^{\perp} {\mathscr B}$ и ${\mathscr B}^{\perp}$ – левым и правым ортогоналами к ней. Взаимно обратные функторы “перестройки” $L_{\mathscr B}\colon {}^{\perp}{\mathscr B}\to {\mathscr B}^{\perp}$ и $R_{\mathscr B}\colon{\mathscr B}^{\perp}\to {}^{\perp}{\mathscr B}$ задаются ограничением на ${}^{\perp}{\mathscr B}$ левого сопряженного к вложению ${\mathscr B}^{\perp}\to {\mathscr B}$ и ограничением на ${\mathscr B}^{\perp}$ правого сопряженного к вложению ${}^{\perp}{\mathscr B}\to {\mathscr D}$ соответственно. В интересующей нас ситуации подкатегории $D_0(B \text{-} \mathrm{mod})^{\perp}$ и ${}^{\perp}D^b_0(B \text{-} \mathrm{mod})$ обе эквивалентны $D(A \text{-} \mathrm{mod})$ с помощью функторов $\psi_{1*}$ и $\psi_{2*}$. При этом имеем равенство
$$
\begin{equation*}
\psi_{2*}=i_{{\mathscr B}^{\perp}}\circ L_{\mathscr B}\circ \psi_{1*},
\end{equation*}
\notag
$$
где $i_{{\mathscr B}^{\perp}}$ – функтор вложения для подкатегории ${\mathscr B}^{\perp}$. Так как $L_{\mathscr B}$ – это, в сущности, сопряженный к $i_{{\mathscr B}^{\perp}}$, имеем морфизм сопряжения:
$$
\begin{equation}
\lambda\colon\operatorname{id}_{^{\perp}{\mathscr B}}\to i_{{\mathscr B}^{\perp}}\circ L_{\mathscr B}.
\end{equation}
\tag{80}
$$
Он задает функториальный морфизм $\psi_{1*}\to \psi_{2*}$, который совпадает с естественным преобразованием $\lambda$ в (60), если распространить его на преобразование между производными функторами. Функтор вложения $i_*$ имеет левый сопряженный
$$
\begin{equation*}
i^*\colon D(B \text{-} \mathrm{mod})\to D(\mathbb{K} \text{-} \mathrm{mod}),
\end{equation*}
\notag
$$
определенный формулой
$$
\begin{equation*}
i^*(V)=\operatorname{\mathbb{R}Hom}_{B}(V,\mathbb{K})^*,
\end{equation*}
\notag
$$
и правый сопряженный $i^!$, определенный формулой
$$
\begin{equation*}
i^!(V)=\operatorname{\mathbb{R}Hom}_{B}(\mathbb{K},V).
\end{equation*}
\notag
$$
Все вместе функторы $\psi_{1*}$, $\psi_{2*}$, $\psi^!_1$, $i_*$, $i^*$, $i^!$ задают формализм шести функторов данных склейки. Если задана допустимая подкатегория ${\mathscr B}$ в триангулированной категории, то объемлющую категорию можно рассматривать как “склеенную” из подкатегории ${\mathscr B}$ и ее ортогонала ${}^{\perp}{\mathscr B}$. Необходимые дополнительные данные склейки – это функтор который посылает объект категории ${}^{\perp}{\mathscr B}$ в конус естественного преобразования (80), примененного к этому объекту. Результирующий объект лежит в ${\mathscr B}$.Более точно, этот подход работает только в рамках претриангулированных DG-категорий, предложенных в [6], а не обычных триангулированных категорий. Таким образом, мы должны рассматривать подходящие DG-категории, которые являются оснащениями для ${\mathscr B}$ и для ее ортогонала ${}^{\perp}{\mathscr B}$, а также склеивающий DG-функтор (DG-бимодуль) между ними. Когда эти данные заданы, можно построить, по существу единственным способом, новую DG-категорию такую, что ее гомотопическая категория имеет полуортогональное разложение в пару $\langle{\mathscr B},{}^{\perp}{\mathscr B}\rangle$ (ср. [42], [21], [45]). В применении к нашим категориям это означает, что категория $D(B \text{-} \mathrm{mod})$ склеена из DG-оснащенных категорий $D(A \text{-} \mathrm{mod})$ и $D(\mathbb{K} \text{-} \mathrm{mod})$ с помощью функтора, который можно понимать как $\mathbb{K}{ \text{-} }A$-бимодуль, т. е. просто как правый $A$-модуль, так как его левая $\mathbb{K}$-модульная структура будет автоматически индуцирована для такого модуля. Этот правый модуль задается конусом естественного преобразования $\lambda$ в (60). Первое полуортогональное разложение из (79) ограничивается на категорию $D^b_\mathrm{fp}(B \text{-} \mathrm{mod})$ ограниченных комплексов с конечно представимыми когомологиями, но второе ограничивается, только если $\psi_{2*}$ сохраняет конечно представимые модули. Условия для этого описаны в предложении 53. Пример. Предположим, что граф $\Gamma$ является деревом, а $\mathbb{K}=k$ – поле. Тогда первые гомологии $\Gamma$ тривиальны и $k\Gamma$ изоморфна алгебре $(n\times n)$-матриц с $n$, равным числу вершин графа. А этот пример мы уже рассматривали в п. 7.6. Категория $k\Gamma \text{-} \mathrm{mod}$ эквивалентна категории $k$-модулей. В этом случае склеивающий функтор $F\colon D(k\Gamma \text{-} \mathrm{mod})\to D(k \text{-} \mathrm{mod})$ в (81) полностью определяется своим значением на стандартном представлении матричной алгебры $\mathbb{K}\Gamma \text{-} \mathrm{mod}$ в $n$-мерном векторном пространстве $V$. Значение $F$ на этом представлении является конусом $\lambda_V$, который есть не что иное, как оператор Лапласа $\Delta$, понятый как элемент матричной алгебры. Следовательно, если $\Delta$ имеет коранг $s$, то $D^b(B(\Gamma \text{-} \mathrm{mod}_{\rm fd}))$ имеет полуортогональную пару, которая, по существу, есть полный исключительный набор из двух элементов $(E_1,E_2)=(i_*\mathbb{K},\psi_{1*}P)$, и $\operatorname{Ext}$-группы определяются из формул
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Ext}^{0,1}(E_1,E_2)=k^s,\qquad \operatorname{Ext}^{\ne 0,1}(E_1,E_2)=0.
\end{equation*}
\notag
$$
8.2. СклейкаЕсли даны допустимая подкатегория в триангулированной категории и две $t$-структуры, одна – на подкатегории, а другая – на ее ортогонале, то можно определить $t$-структуру на объемлющей категории с помощью процедуры, известной как склейка [2]. В этом пункте мы покажем, что стандартная $t$-структура на $D(B \text{-} \mathrm{mod})$ получается склейкой из стандартных $t$-структур на $D(A \text{-} \mathrm{mod})$ и $D(\mathbb{K} \text{-} \mathrm{mod})$. Начальные данные для общей склейки– это три триангулированных категории $D$, $D_U$ и $D_F$ и шесть функторов между ними. Два из этих функторов такие: Оставшиеся функторы $i^*$, $i^!$, $j_*$, $j_!$ являются левыми и правыми сопряженными к этим двум. Они должны удовлетворять ряду соотношений, которые эквивалентны свойству $D_F$ быть допустимой подкатегорией в $D$, а $D_U$ быть фактором $D$ по $D_F$, причем $i_*$ – это функтор вложения, а $j^*$ – функтор факторизации.Если заданы $t$-структура $(D_U^{\leqslant 0},D_U^{\geqslant 0})$ в $D_U$ и $t$-структура $(D_F^{\leqslant 0},D_F^{\geqslant 0})$ в $D_F$, то склеенная $t$-структура определяется по правилу
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, D^{\leqslant 0}&:=\bigl\{K\in D\mid j^*K\in D_U^{\leqslant 0}\ \text{и}\ i^*K\in D_F^{\leqslant 0}\bigr\}, \\ D^{\geqslant 0}&:=\bigl\{K\in D\mid j^*K\in D_U^{\geqslant 0}\ \text{и}\ i^!K\in D_F^{\geqslant 0}\bigr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно теореме 1.4.10 в [2] эта пара в самом деле определяет $t$-структуру. Напомним некоторые факты из общей теории склейки $t$-структур. Обозначим через $\mathscr{A}_F$ и $\mathscr{A}_U$ сердцевины $t$-структур на $D_F$ и $D_U$ соответственно, а через $\mathscr{A}$ сердцевину склеенной $t$-структуры. Это абелевы категории, которые связаны шестью функторами – ограничением функтора $i_*$ на $\mathscr{A}_F$, ограничением $j^*$ на $\mathscr{A}$ и их правыми и левыми сопряженными на соответствующих сердцевинах. Мы будем обозначать их теми же символами, что и соответствующие функторы между триангулированными категориями. Два из этих функторов, а именно
$$
\begin{equation*}
i_*\colon\mathscr{A}_F\to \mathscr{A},\qquad j^*\colon\mathscr{A}\to \mathscr{A}_U,
\end{equation*}
\notag
$$
являются точными функторами абелевых категорий. Остальные, вообще говоря, точны только с одной стороны, что определяется их сопряженностью с этими двумя. Эти функторы обладают свойствами, похожими на те, которые выполнены для функторов триангулированной склейки. Все три абелевы категории и шесть функторов между ними, удовлетворяющие этим свойствам, образуют то, что называется абелевыми данными склейки (abelian recollement) [41], [24]. В ситуации абелевых данных склейки имеется еще один важный функтор – функтор промежуточного продолжения $j_{!*}\colon\mathscr{A}_U\to \mathscr{A}$ [2]. Функторы $j_!$ и $j_*$ связаны естественным преобразованием $j_!\to j_*$, которое следует из сопряженности этих двух функторов к $j^*$. Промежуточное продолжение определяется как образ этого преобразования, вычисленный на произвольном объекте $A$ из $\mathscr{A}_U$: Этот функтор помогает, в частности, описать неприводимые объекты категории $\mathscr{A}$. А именно, все неприводимые объекты в $\mathscr{A}$ – это либо объекты вида $i_*(S_F)$, где $S_F$ – произвольный неприводимый объект в $\mathscr{A}_F$, либо объекты вида $j_{!*}(S_U)$, где $S_U$ – произвольный неприводимый объект в $\mathscr{A}_U$.Теперь посмотрим, как эта теория приложима к гомотопам. Как было установлено в п. 8.1, в случае хорошей темперированности элемента $\Delta$ категория $D(B \text{-} \mathrm{mod})$ для гомотопа $B$ имеет допустимую подкатегорию $D_F\simeq D(\mathbb{K} \text{-} \mathrm{mod})$ с факторкатегорией (ортогоналом), эквивалентным $D_U\simeq D(A \text{-} \mathrm{mod})$. Обозначим через $(D_F^{\leqslant 0},D_F^{\geqslant 0})$ и $(D_U^{\leqslant 0},D_U^{\geqslant 0})$ стандартные $t$-структуры на этих категориях. Перевод наших функторов в стандартные обозначения шести функторов склейки выглядит следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\psi_{1*}\longleftrightarrow j_!,\quad \psi_{2*}\longleftrightarrow j_*,\quad \psi_1^!=\psi_2^*\longleftrightarrow j^*,
\end{equation*}
\notag
$$
а обозначения для $i_*$, $i^!$, $i^*$ совпадают. Теорема 64. Стандартная $t$-структура на категории $D(B \text{-} \mathrm{mod})$ совпадает с $t$-структурой, которая получается склейкой из стандартных $t$-структур на $D(\mathbb{K} \text{-} \mathrm{mod})$ и $D(A \text{-} \mathrm{mod})$. Доказательство. Обозначим через $(D^{\leqslant 0},D^{\geqslant 0})$ стандартную $t$-структуру на $D(B \text{-} \mathrm{mod})$, а через $(D_{\rm gl}^{\leqslant 0}, D_{\rm gl}^{\geqslant 0})$ склеенную $t$-структуру. Вложения $D^{\leqslant 0}\subset D_{\rm gl}^{\leqslant 0}$ и $D^{\geqslant 0}\subset D_{\rm gl}^{\geqslant 0}$ следуют из $t$-точности (в стандартных $t$-структурах) функтора $\psi_1^!$, из правой $t$-точности $i^*$ и левой $t$-точности $i^!$. Обратные включения следуют из того факта, что $(D^{\leqslant 0},D^{\geqslant 0})$ и $(D_{\rm gl}^{\leqslant 0}, D_{\rm gl}^{\geqslant 0})$ являются $t$-структурами, в частности, $D^{\leqslant 0}$ – левый ортогонал к $D^{\geqslant 0}$. Теорема доказана. Отметим специфику ситуации с гомотопом в контексте склейки $t$-структур. Функторы $j_!$ и $j_*$, вообще говоря, точны только слева и справа соответственно, в то время как в случае с гомотопом они равны $\psi_{1*}$ и $\psi_{2*}$ соответственно и, следовательно, точны. Пусть задан $B$-модуль $V$. Мы будем говорить, что он минимален, если В случае $B=B(\Gamma)$ это определение согласуется с определением минимальных конфигураций проекторов, данным в п. 2.3. Объект $V\in D^b(B \text{-} \mathrm{mod})$ называется расширением объекта $W\in D^b(A \text{-} \mathrm{mod})$, если $\psi_1^!V\simeq W$. Если $W$ – это $A$-модуль, то имеется единственное с точностью до изоморфизма минимальное расширение $W$. Его можно определить как образ:
$$
\begin{equation*}
W_{\min}:=\operatorname{Im} \bigl(\lambda_W\!\colon\psi_{1*}W\to \psi_{2*}W\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Другими словами, минимальное расширение – это не что иное, как промежуточное продолжение $A$-модуля в соответствующей $t$-структуре. Для объекта $V\in B \text{-} \mathrm{mod}$ определим его минимальную тень как минимальное расширение $A$-модуля $\psi^!_1V$:
$$
\begin{equation*}
V_{\min}=(\psi^!_1V )_{\min}=\operatorname{Im}\bigl(\lambda_{\psi^!_1V}\!\colon \psi_{1*}\psi^!_1V\to \psi_{2*}\psi^!_1V\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Ясно, что соответствие $V\mapsto V_{\min}$ продолжается до функтора. Отметим, что $\lambda_{\psi^!_1V}$ отождествляется с композицией морфизмов сопряжения: На языке склейки $t$-структур функтор минимальной тени есть не что иное, как $j_{!*}j^*$. Тем самым и конструкция минимальной конфигурации прямых в векторном пространстве из п. 2.3 приобретает функториальный смысл в терминах склейки $t$-структур. 8.3. Гомотопы из DG-склейкиТак как гомотопы дают $t$-структуру, полученную склейкой компонент полуортогональной пары, имеет смысл обратить логику, чтобы понять, как гомотопы появляются естественным образом в результате DG-склейки. Если $C$ – ассоциативная алгебра над коммутативным кольцом $\mathbb{K}$, свободная как $\mathbb{K}$-модуль, мы склеиваем (полуортогонально) производную категорию левых модулей над ней с категорией $\mathbb{K}$-модулей. В случае, когда $\mathbb{K}$ – поле, это можно рассматривать как расширение триангулированной категории одним исключительным объектом. Так как операция склейки категорий корректно определена в DG-мире, мы вынуждены работать с DG-оснащениями категорий модулей. Склеенная категория однозначно определяется комплексом $N$ правых $C$-модулей, поскольку левая $\mathbb{K}$-модульная структура на $N$ восстанавливается из правого действия $C$. Рассмотрим комплекс правых $C$-модулей $N$, который имеет нетривиальные компоненты только в степенях 0 и 1. Предположим, что $N_1$ – свободный правый $C$-модуль конечного ранга: $N_1=V_1\otimes_{\mathbb{K}}C$, где $V_1$ – свободный $\mathbb{K}$-модуль. Заметим, что если $N$ был комплексом правых $C$-модулей с когомологиями в степенях 0 и 1, а модуль первых когомологий конечно порожден над $C$, то мы всегда можем найти другой комплекс с требуемыми выше свойствами, квазиизоморфный $N$. Обозначим через $\Delta$ оператор $N_0\to V_1\otimes_{\mathbb{K}}C$, который определяет дифференциал в этом комплексе. Склеенная DG-категория является категорией DG-модулей над алгеброй $D$, которую можно представлять себе как алгебру $(2\times 2)$-матриц с коэффициентами $d_{11}\in \mathbb{K}$, $d_{12}\in N$, $d_{21}=0$, $d_{22}\in C$. Тем самым, алгебру $D$ можно представлять себе в матричной форме:
$$
\begin{equation}
D=\begin{pmatrix} \mathbb{K} & N \\ 0 & C \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{82}
$$
Столбцы этой матрицы можно понимать как левый DG-модуль над $D$. Обозначим их через $P_1$ и $P_2$. Известно, что где $D_{ij}$ – коэффициенты матричной записи (82) для $D$. С учетом этого можно посчитать компоненту степени 0 в группе гомоморфизмов:
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Hom}^0(P_1, P_2\otimes_{\mathbb{K}}V_1^*[1])= \operatorname{End}_{\mathbb{K}}(V_1)\otimes_{\mathbb{K}}C,
\end{equation*}
\notag
$$
где $V_1^*=\operatorname{Hom}_{\mathbb{K}}(V_1,\mathbb{K} )$. Определим элемент $\eta=\operatorname{id}_{V_1}\mathop{\otimes} 1_C$ в этой группе. Отметим, что он зависит от представления компоненты степени 1 в $N$ в виде $V_1\mathrel{\otimes_{\mathbb{K}}}C$. Рассмотрим скрученный комплекс $P$ над $D$ (см. [6]) вида с определяющим дифференциалом $\eta$. Через ${\widetilde B}$ обозначим DG-алгебру эндоморфизмов скрученного комплекса $P$. Легкое вычисление показывает, что ${\widetilde B}$ можно представить в матричном виде:
$$
\begin{equation}
{\widetilde B}=\begin{pmatrix} \mathbb{K}&\operatorname{Hom}_{\mathbb{K}}(V_1,N) \\ 0&C\otimes_{\mathbb{K}}\operatorname{End}_{\mathbb{K}}(V_1) \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{84}
$$
Заметим, что все коэффициенты этой матрицы, за исключением ${\widetilde B}_{12}$, “живут” в степени 0, в то время как ${\widetilde B}_{12}$ имеет $\operatorname{Hom}_{\mathbb{K}}(V_1,N_0)$ в качестве компоненты степени 0 и $\operatorname{Hom}_{\mathbb{K}}(V_1,V_1)\otimes_{\mathbb{K}}C$ в качестве компоненты степени 1. Если $\begin{pmatrix} \lambda&a \\ 0&e \end{pmatrix}$ – элемент степени 0 этой алгебры, т. е. $a\in \operatorname{Hom}_{\mathbb{K}}(V_1,N_0)$, то дифференциал определяется по правилу
$$
\begin{equation*}
\partial\begin{pmatrix} \lambda&a \\ 0&e \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0&\lambda\cdot 1-e+\Delta a \\ 0&0 \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Это показывает, что дифференциал эпиморфен (по существу, с помощью $e$) на компоненте алгебры степени 1. Следовательно, DG-алгебра ${\widetilde B}$ квазиизоморфна своим гомологиям в степени 0, которые являются обычной алгеброй. Исключая $e$: получаем, что элементы ${\rm H}^0(B)$ описываются парами:
$$
\begin{equation}
(\lambda,a)\in \mathbb{K}\times \operatorname{Hom}_{\mathbb{K}}(V_1,N_0).
\end{equation}
\tag{85}
$$
Перемножая матрицы вида
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} \lambda&a \\ 0&\lambda\cdot 1+\Delta a \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
убеждаемся, что умножение в $B={\rm H}^0({\widetilde B})$ определяет на парах умножение
$$
\begin{equation}
(\lambda_1,a_1)\cdot(\lambda_2,a_2)=(\lambda_1\lambda_2,\lambda_1 a_2+ \lambda_2a_1+a_1\Delta a_2).
\end{equation}
\tag{86}
$$
Мы видим, что эта формула определяет гомотоп в случае, когда $N_0=N_1$. Тем самым мы доказали следующий результат. Предложение 65. В предположении, что склеивающий DG-модуль над $C$ имеет не более двух ненулевых компонент – в степенях 0 и 1, и компонента степени 1 является свободным правым $C$-модулем конечного ранга, алгебра эндоморфизмов $P$ квазиизоморфна 0-когомологиям, а алгебра ${\rm H}^0(\operatorname{End}(P))$ определяется формулами (85) и (86). 8.4. Обобщенные гомотопыDG-склейка из предыдущего пункта наводит на мысль обобщить гомотоп на случай, когда $\Delta$ является не элементом какой-то алгебры, а гомоморфизмом правых $C$-модулей: Определим $B^+$ как пространство морфизмов $N_1\to N_0$ и снабдим его умножением $a\cdot b=a\Delta b$. Добавим к нему единицу, как мы делали, когда $A$ была алгеброй, и получим алгебру $B$ с максимальным идеалом $B^+$.У нас больше не будет гомоморфизмов $\psi_1,\psi_2\colon B\to A$. Вместо этого у нас будут гомоморфизмы
$$
\begin{equation*}
\psi_0\colon B \to A_0=\operatorname{End}_C(N_0),\qquad \psi_1\colon B \to A_1=\operatorname{End}_C(N_1),
\end{equation*}
\notag
$$
определенные на $B^+$ по правилу и единица в $B$ переходит в единицу в $A_i$. По построению идеал $B^+$ имеет естественную структуру $A_0{ \text{-} }A_1$-бимодуля, заданную обычным умножением операторов. Имеем функторы $\psi_{0*}\colon A_0 \text{-} \mathrm{mod}\to B \text{-} \mathrm{mod}$, $\psi_{1*}\colon A_1 \text{-} \mathrm{mod}\to B \text{-} \mathrm{mod}$ и их сопряженные. Понятие хорошей темперированности можно распространить на случай, когда $\Delta$ имеет описанную форму, буквально повторяя определение для случая, когда $\Delta$ был элементом алгебры. Следующее предложение обобщает пример из п. 7.6. Предложение 66. Пусть $\mathbb{K}=k$ – поле, $C=k$ и $\Delta\colon V_0\to V_1$ – ненулевой оператор между конечномерными векторными пространствами с ядром ранга $s$ и коядром ранга $t$. Тогда $\Delta$ хорошо темперированный и $B$ Морита-эквивалентна алгебре колчана с двумя вершинами, $s$ стрелками $\alpha_i$ в одном направлении, $t$ стрелками $\beta_j$ в противоположном направлении и соотношениями $\beta_j\alpha_i=0$ для любой пары $(i,j)$. Доказательство. Обозначим через $A$ пространство операторов $V_1\to V_0$. Легко показать, что $A\Delta A=A$, что является первым условием для хорошей темперированности $\Delta$. Пусть $r$ – ранг $\Delta$. Легко найти $r$ операторов $p_i$ ранга 1 на $A$ таких, что для $i \ne j$. Обозначим через $x_i$ соответствующие элементы в $B^+$. Они являются попарно ортогональными идемпотентами в $B$. Модули $Bx_i$ проективны и, как легко видеть, попарно изоморфны. Пусть тогда $y$ – идемпотент, ортогональный ко всем $x_i$. Имеем разложение $B=\bigoplus\limits_iBx_i\oplus By$. Так как $A$ как левый $A_0$-модуль изоморфен прямой сумме $\dim V_1$ копий модуля $A_0p_1$, то $B^+=\psi_{1*}A$ изоморфен прямой сумме $\dim V_1$ копий $Bx_1$. Следовательно, $B^+$ проективен, т. е. $\Delta$ хорошо темперированный. Модуль $P=Bx_1\oplus By$ – проективный генератор в $B \text{-} \mathrm{mod}$. Алгебра эндоморфизмов $P$ изоморфна колчану, описанному в формулировке предложения. Предложение доказано. Гомотоп в предложении 66 имеет глобальную размерность 2 и поэтому согласно теореме Длаба–Рингеля является квазинаследственной алгеброй [19]. Обобщенные гомотопы из этого предложения рассматривались В. П. Брауном под названием обобщенных матричных алгебр в [14]. 8.5. Склейка для обобщенных гомотоповПредположим опять, что нам даны $\mathbb{K}$-алгебра $C$ и комплекс правых $C$-модулей $N$ с когомологиями только в степенях 0 и 1. Выбирая представителей в классе этого объекта с точностью до производной эквивалентности, можно добиться того, чтобы $N$ имел только два ненулевых члена – в степенях 0 и 1, причем член $N_1$ степени 1 являлся свободным $C$-модулем: Рассмотрим DG-алгебру $D$ вида (82). Производная категория левых $D$-модулей имеет полуортогональное разложение в категории $\mathbb{K}$-модулей и $C$-модулей. Обозначим через $i_*\colon D(\mathbb{K} \text{-} \mathrm{mod})\to D(D \text{-} \mathrm{mod})$ и $j^*\colon D(D \text{-} \mathrm{mod})\to D(C \text{-} \mathrm{mod})$ естественное вложение и проекцию. Легко проверить, что эти функторы определяют данные склейки $t$-структур [2], в частности, что левый и правый сопряженные функторы к $i_*$ и $j^*$ корректно определены. Так как обе категории $D(\mathbb{K} \text{-} \mathrm{mod})$ и $D(C \text{-} \mathrm{mod})$ имеют стандартные $t$-структуры, то мы можем склеить их в $t$-структуру на $D(D \text{-} \mathrm{mod})$. Рассмотрим также триангулированную категорию $D{ \text{-} }\mathrm{Perf}$ совершенных DG-модулей над $D$. По определению (см. [8]) это толстая (т. е. замкнутая относительно взятия прямых слагаемых) триангулированная оболочка образов скрученных комплексов в производной категории $D$-модулей. Это определение применимо также и к обычным алгебрам. Предположим, что $V_1$ – свободный модуль конечного ранга над $\mathbb{K}$. Мы рассмотрим скрученный комплекс $P$, определенный формулой (83). В соответствии с теорией скрученных комплексов (см. [6]), имеем точный треугольник в $D \text{-} \mathrm{mod}$:
$$
\begin{equation}
P_2 \otimes_{\mathbb{K}}V_1^*\to P\to P_1\to P_2 \otimes_{\mathbb{K}}V_1^*[1].
\end{equation}
\tag{88}
$$
Так как оба конца этого треугольника лежат в $D{ \text{-} }\mathrm{Perf}$, то $P$ спускается до объекта в $D{ \text{-} }\mathrm{Perf}$. Согласно предложению 65, $P$ является тилтинг-модулем, а алгебра эндоморфизмов $P$ в $D{ \text{-} }\mathrm{Perf}$ – обобщенный гомотоп $B$, построенный с помощью дифференциала $\Delta$ (87). Теорема 67. Пусть $\Delta\colon N_0\to N_1$ хорошо темперирован и $N_1=V_1\otimes_{\mathbb{K}}C$ – свободный правый $C$-модуль с $V_1$ – свободным $\mathbb{K}$-модулем конечного ранга. Тогда справедливы следующие утверждения: (a) функтор вложения задает эквивалентности триангулированных категорий: $\mathrm{Perf}{ \text{-} }B\simeq D{ \text{-} }\mathrm{Perf}$ и $D(\mathrm{mod}{ \text{-} }B)\simeq D(D \text{-} \mathrm{mod})$; (b) стандартная $t$-структура на $D(\mathrm{mod}{ \text{-} }B)$, перенесенная этой эквивалентностью в $D(D \text{-} \mathrm{mod})$, совпадает с $t$-структурой, склеенной из стандартных $t$-структур на $D(\mathrm{mod}{ \text{-} }\mathbb{K})$ и $D(\mathrm{mod}{ \text{-} }C)$; (c) объект $P$, определенный в (83), является совершенным генератором в категории $D(D \text{-} \mathrm{mod})$. Доказательство. В соответствии с [8], чтобы доказать, что функторы $\mathrm{Perf}{ \text{-} }B\to D{ \text{-} }\mathrm{Perf}$ и $D(\mathrm{mod}{ \text{-} }B)\to D(D \text{-} \mathrm{mod})$ определяют эквивалентности, надо показать, что толстая оболочка $P$ равна $D{ \text{-} }\mathrm{Perf}$. Имеем полуортогональное разложение $D{ \text{-} }\mathrm{Perf}$ в подкатегории $\mathbb{K}{ \text{-} }\mathrm{Perf}$ и $C{ \text{-} }\mathrm{Perf}$, аналогичное разложению в случае категорий неограниченных комплексов. Компоненты разложения порождаются $P_1$ и $P_2$ соответственно. Рассмотрим функтор вложения $\operatorname{Perf}{ \text{-} }B\to D{ \text{-} }\mathrm{Perf}$, который посылает свободный $B$-модуль ранга 1 в $P$. Он переводит последовательность (50) в точный треугольник (88). Так как $B^+$ – проективный модуль, он лежит в $B{ \text{-} }\mathrm{Perf}$. Следовательно, его образ $P_2 \otimes_{\mathbb{K}}V_1$ принадлежит толстой оболочке $P$. А значит, и сам $P_2$ принадлежит этой толстой оболочке. Из треугольника (88) следует, что и $P_1$ лежит там же. Следовательно, толстая оболочка $P$ совпадает c $D{ \text{-} }\mathrm{Perf}$.
То, что стандартная $t$-структура является склеенной, следует из $t$-точности функторов $i_*$ и $j^*$. Теорема доказана. Пусть $C=\mathbb{K}\Gamma$ – группоид Пуанкаре и $\Delta\in \mathbb{K}\Gamma$ – обобщенный оператор Лапласа. Так как $\mathbb{K}\Gamma$ изоморфен матричной алгебре над $C$, мы можем рассматривать $\Delta$ как морфизм правых $C$-модулей $C^n\to C^n$. Рассмотрим комплекс $N$ правых $C$-модулей с двумя нетривиальными компонентами $C^n$ в степенях 0 и 1 и с дифференциалом $\Delta$ между ними и применим обсуждавшуюся конструкцию, т. е. построим DG-алгебру $D$, как в (82), и объект $P\in D \text{-} \mathrm{mod}$, как в (83). Доказательство. Элемент $\Delta$ хорошо темперирован согласно лемме 18. Следовательно, можно применить теорему 67.
9. Превратные пучкиВ этом разделе мы обсудим, как теория представлений гомотопов дает описание превратных пучков на некоторых стратифицированных пространствах. Рассмотрим топологическое пространство $X$ со стратификацией замкнутым подмножеством $F$ и дополнением к нему $U$. Пусть $D^b(X)$ обозначает производную категорию комплексов пучков на $X$ с пучками когомологий – конструктивными пучками по отношению к выбранной стратификации, т. е. локально постоянными на стратах. Категория $D^b(X)$ допускает полуортогональное разложение в пару подкатегорий $D^b(U)$ и $D^b(F)$, которые являются производными категориями комплексов пучков с локально постоянными когомологиями на $U$ и $F$ соответственно. Для нас будет достаточно рассмотреть случай, когда $F$ стягиваемое, например просто точка. Если $C$ – групповая алгебра фундаментальной группы $U$, то $D^b(U)\simeq D^b(C \text{-} \mathrm{mod})$. Кроме того, $D^b(F)\simeq D^b(k \text{-} \mathrm{mod})$. Превратные пучки на $X$, гладкие вдоль выбранной стратификации, – это объекты сердцевины $t$-структуры на $D^b(X)$, склеенной из стандартных $t$-структур на $D^b(U)$ и $D^b(F)$, одна из которых сдвинута функтором сдвига (ср. [26]). В целях демонстрации связи дискретного гармонического анализа с превратными пучками на стратифицированных топологических пространствах в этой работе мы ограничимся рассмотрением только двух примеров римановых поверхностей (одна из которых особая), стратифицированных точкой и дополнением к ней. В этом случае нас будет интересовать только так называемая средняя превратность, что сводится к сдвигу $t$-структуры на замкнутом страте на 1. В ситуации сферы с двойной точкой мы покажем, что категория превратных пучков на такой поверхности эквивалентна категории представлений гомотопа, построенного по циклическому графу и подходящему обобщенному оператору Лапласа на нем. Задача описания превратных пучков на различных стратифицированных пространствах в последнее время привлекает все больше внимания (см. [35], [36]) в связи с тем, что они оказались важны для описания шоберов – категорных конструкций, позволяющих понять внутреннюю структуру различных категорий геометрического происхождения [7], [29], [20]. Шоберы являются категорификацией превратных пучков (см. [34]), поэтому ясное понимание структуры превратных пучков помогает строить шоберы. 9.1. Превратные пучки на дискеПусть $X$ – открытый диск на комплексной плоскости $\mathbb C$ с центром в нуле $\boldsymbol{0}$, стратифицированный замкнутым подмножеством $F=\boldsymbol{0}\in X$ и его дополнением $U=X\setminus \boldsymbol{0}$. Категория превратных пучков для этого случая была детально изучена А. Бейлинсоном и П. Делинем в [1], [18]. Фундаментальная группа $U$ равна ${\mathbb Z}$. Обозначим через $C=k[x,x^{-1}]$ групповую алгебру этой группы, т. е. алгебру многочленов Лорана от одной переменной. Ее категория конечномерных представлений отождествляется с локально постоянными пучками на $U$. Производная категория стратифицированного диска $X$ имеет полуортогональное разложение в пару категорий $D^b(C \text{-} \mathrm{mod})$ и $D^b(k \text{-} \mathrm{mod})$, где последняя – это категория пучков на точке $\boldsymbol{0}$. Вычислим склеивающий DG-функтор $\Phi\colon D^b(C \text{-} \mathrm{mod})\to D^b(k \text{-} \mathrm{mod})$. Этот функтор задается DG-$k{ \text{-} }C$-бимодулем $N$. Так как левое действие $k$ совпадает с правым действием $k\subset C$, важна только правая $C$-модульная структура. Если $M$ – левый DG-модуль над $C$, то склеивающий функтор действует по правилу $\Phi(M)=N\otimes_C^{\mathbb L} M$. Следовательно, если применить его к $M=C$, то в результате получим сам $N$. Правая $C$-модульная структура на $N=\Phi(C)$ приходит из правой $C$-модульной структуры на $C$. Склеивающий функтор является DG-версией функтора, который отправляет комплекс пучков $M$ на $U$ в конус морфизма $j_!M\to j_*M$. Тем самым, нам надо научиться вычислять согласованным образом функторы $j_!$ и $j_*$ для случая, когда $M$ есть $k[x,x^{-1}]$, т. е. универсальная локальная система. Рассмотрим покрытие $U$ набором из $n$ открытых множеств $U_k$, где $k$ берется по модулю $n$ и $U_k$ состоит из точек $U$ с фазой в интервале
$$
\begin{equation*}
\biggl(\frac{2\pi k}{n}-\epsilon,\,\frac{2\pi(k+1)}{n}+\epsilon\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Нам будет удобно считать, что $n\geqslant 2$. Пересечение $V_k:=U_k\cap U_{k+1}$ состоит из точек с фазой в интервале
$$
\begin{equation*}
\biggl(\frac{2\pi (k+1)}{n}-\epsilon,\, \frac{2\pi(k+1)}{n}+\epsilon\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим через $s_k\colon V_k\to U$ соответствующее открытое вложение. Пусть $j_k\colon U_k\to U$ – открытое вложение. Тогда пучки $j_{k!}F_k$, где $F_k$ – постоянный пучок на $U_k$, и пучки $s_{k!}G_k$, где $G_k$ – постоянный пучок на $V_k$, являются ацикличными для обоих функторов $j_!$ и $j_*$. Ограничение универсальной локальной системы на каждое множество $U_k$ является постоянным пучком. Поэтому мы можем использовать следующий вариант резольвенты Чеха для универсальной локальной системы ${\mathscr U}$ для нашего покрытия, чтобы вычислить склеивающий функтор:
$$
\begin{equation}
0\to \bigoplus_k s_{k!}s_k^*{\mathscr U}\to \bigoplus_k j_{k!}j_k^*{\mathscr U}\to {\mathscr U}\to 0.
\end{equation}
\tag{89}
$$
Теорема 69. Категория превратных пучков на диске $X$ эквивалентна категории конечномерных представлений гомотопа $B$, построенного по алгебре $A=\operatorname{End}(k[x,x^{-1}]^{\oplus n})$ и элементу $\Delta\in A$, заданному оператором с матрицей Доказательство. Применим функторы $j_!$ и $j_*$ почленно к резольвенте (89) и возьмем конус $j_!\to j_*$. Мы знаем, что получится комплекс пучков с носителем в $\boldsymbol{0}$. Таким образом, нам надо посмотреть на слои наших пучков только над $\boldsymbol{0}$. Так как слой над $\boldsymbol{0}$ образа $j_!$ от любого пучка равен нулю, то нам достаточно применить к (89) функтор $j_*$ и посмотреть слой над $\boldsymbol{0}$.
Пучки $j_k^*{\mathscr U}$ и $s_k^*{\mathscr U}$ являются постоянными пучками на соответствующих открытых множествах со слоем – модулем ранга 1 над $k[x,x^{-1}]$. Такими же будут и слои пучков $j_*j_{k!}j_k^*{\mathscr U}$ и $j_*s_{k!}s_k^*{\mathscr U}$ над $\boldsymbol{0}$. Можно выбрать образующие в каждом из этих модулей согласованным образом, так чтобы функторы ограничения с $U_k$ на $V_k$ для $k=1,\dots,n$ и с $U_{k+1}$ на $V_k$ для $k=1,\dots,n-1$ задавались тождественным оператором в $k[x,x^{-1}]$. Тогда матрица первого нетривиального морфизма в последовательности (89) после применения $j_*$ в слое над $\boldsymbol{0}$ в выбранных базисах будет иметь вид (90). Аналогично доказательству леммы 18 для оператора Лапласа можно проверить, что оператор (90) хорошо темперирован. Категория превратных пучков является сердцевиной склеенной $t$-структуры. По теореме 67 эта сердцевина отождествляется с категорией модулей над гомотопом, построенным по $\Delta$. Теорема доказана. Опишем образующие и соотношения алгебры гомотопа $B$ из теоремы 69. В качестве образующих можно взять минимальные диагональные проекторы матричной алгебры. Обозначим их образы в аугментационном идеале $B^+$ через $z_i$, где $i$ лучше понимать по модулю $n$. Идеал $B^+$ является модулем над алгеброй $A$ и, в частности, над $C=k[x,x^{-1}]$. Отметим, что вся алгебра $B$ не несет естественной структуры $C$-модуля, а так как $B^+$ не содержит единицы, то не стоит считать $C$ вложенной в $B^+$ или в $B$. В частности, $x$ не является элементом алгебры $B$, а только действует на элементы $B^+$. Следующие соотношения задают $B^+$ как фактор свободной $C$-алгебры без единицы, порожденной образующими $z_i$, $i\in \mathbb{Z} \operatorname{mod}n$:
Более детальное описание структуры этой алгебры и ее обобщений, а также теории представлений дается в работе [9]. Согласно теореме 69 описанные выше алгебры Морита-эквивалентны для $n\geqslant 2$, а категории их конечномерных представлений эквивалентны категории превратных пучков на стратифицированном диске. Интересующийся читатель может найти в loc. cit., или решить самостоятельно в качестве упражнения, как перевести наше описание в стандартное описание превратных пучков на диске в терминах близких и исчезающих циклов, которое задается парой пространств $U$, $V$ и парой операторов $a\colon U\to V$, $b\colon V\to U$, удовлетворяющих условию обратимости операторов $ab\mathrel{-}\operatorname{id}_V$, $ba-\operatorname{id}_U$. Образующие $z_i$ являются идемпотентами. Если рассмотреть подпространства $E_i:=\operatorname{Im}z_i$ в произвольном представлении $E_0$ алгебры $B$, операторы вложения $\delta_i\colon E_i\to E_0$ и операторы $\gamma_i\colon E_0\to E_i$, индуцированные $z_i$, то нетрудно убедиться, что конечномерные представления $B$ отождествляются с описанием превратных пучков на диске, данным в работе [36] (с сохранением обозначений из loc. cit.). 9.2. Превратные пучки на сфере с двойной точкой и лапласиан циклического графаЧтобы продемонстрировать, как теория превратных пучков связана с категорным гармоническим анализом на графах, мы приведем пример простейшего случая, когда категория превратных пучков на стратифицированном пространстве эквивалентна категории конечномерных представлений $B(\Gamma)$ для подходящего обобщенного оператора Лапласа. Граф в этом примере – циклический. Категория представлений для гомотопа такого графа обсуждалась в п. 7.7. Обобщение этого примера на другие стратифицированные топологические пространства заслуживает отдельного внимания и будет рассмотрено в другой публикации. Теорема 70. Рассмотрим особую риманову поверхность $X$ – сферу с одной двойной точкой $p$ и стратифицируем ее особой точкой и дополнением к ней. Категория превратных пучков на $X$ эквивалентна категории конечномерных представлений гомотопа $B(\Gamma)$, где граф $\Gamma$ циклический и параметры $s_{i,i+1}$ в (78) таковы, что оператор Лапласа при $x=1$ имеет коранг 2. Набросок доказательства. Дополнение $X\setminus p$ гомеоморфно проколотому диску $U$. Используем его покрытие, которое мы рассматривали в п. 9.1, и резольвенту (89) универсальной локальной системы ${\mathscr U}$ для вычисления склеивающего функтора, как в доказательстве теоремы 69. Так как $U$ примыкает к точке $p$ вдоль двух ветвей поверхности в точке $p$, то такое же рассуждение, как в доказательстве теоремы 69, позволяет заключить, что оператор $\Delta\colon k[x,x^{-1}]^{2n}\to k[x,x^{-1}]^{2n}$ задается матрицей, которая является прямой суммой двух матриц вида (90). Матрица (90) имеет одномерное ядро при $x=1$. Отсюда легко видеть, что коядро $\Delta$ изоморфно сумме двух $k[x,x^{-1}]$-модулей вида $k[x,x^{-1}]/(x-1)$. Оператор Лапласа (78) циклического графа с условиями, как в формулировке теоремы, имеет в качестве коядра тот же самый модуль $(k[x,x^{-1}]/(x-1))^{\oplus 2}$. Это следует из вычисления определителя оператора Лапласа в п. 7.7, так как этот определитель как функция от $x$ имеет только два нуля. Остается убедиться, что гомотопы, построенные по двум операторам вида $k[x,x^{-1}]^{m}\to k[x,x^{-1}]^{m}$ и $k[x,x^{-1}]^{n}\to k[x,x^{-1}]^{n}$ с изоморфными коядрами как $k[x,x^{-1}]$-модулями, Морита-эквивалентны. Два таких оператора отличаются друг от друга, с точностью до изоморфизма, на прямое слагаемое – тождественный оператор $k[x,x^{-1}]^{l}\to k[x,x^{-1}]^{l}$. Легко убедиться, что добавление такого простого прямого слагаемого дает Морита-эквивалентность на уровне соответствующих гомотопов. Мы благодарны Александру Кузнецову за плодотворные обсуждения, а Александру Ефимову и Светлане Макаровой за замечания к исходной версии текста.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{BonZhd21} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|