| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 3 статьях) Сообщения Московского математического общества О семействах перемычек в модели сильно шунтированного джозефсоновского перехода Ю. П. Бибилоab, А. А. Глуцюкcd a University of Toronto, Mississauga, Canada b Институт проблем передачи информации им. А. А. Харкевича Российской академии наук c CNRS (Unité de Mathématiques Pures et Appliquées, ENS de Lyon; Interdisciplinary Scientific Center J.-V. Poncelet), France d Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики"
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2021, Volume 76, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/RM9982 
Реферативные базы данных:
      Эффект туннелирования, предсказанный Б. Джозефсоном в 1962 г. [8] (Нобелевская премия по физике за 1973 г.), относится к системе двух сверхпроводников, разделенных тонким диэлектриком. Он состоит в том, что если диэлектрик достаточно тонок, то через систему (называемую джозефсоновским переходом) потечет сверхпроводящий ток, описанный уравнениями Джозефсона. В статье исследуется модель сильно шунтированного перехода Джозефсона (см. работу [3] и библиографию в ней), задаваемая семейством уравнений
$$
\begin{equation}
\frac{d\phi}{dt}=-\sin \phi+B+A \cos\omega t, \qquad \omega>0, \quad B\geqslant 0.
\end{equation}
\tag{1}
$$
Здесь $\phi$ – разность фаз (аргументов) комплекснозначных волновых функций, описывающих состояния двух сверхпроводников. Ее производная равна напряжению с точностью до известного постоянного множителя. Константа $\omega$, называемая частотой, фиксирована; $(B,A)\in\mathbb{R}^2$ – параметры уравнения (1); $B$ – абсцисса, $A$ – ордината.
Замены $\tau=\omega t$, $\ell=B/\omega$, $\mu=A/(2\omega)$ переводят (1) в уравнение на торе $\mathbb T^2=\mathbb{R}^2_{(\phi,\tau)}/2\pi\mathbb{Z}^2$: $d\phi/d\tau=-\omega^{-1}\sin\phi+\ell+2\mu\cos\tau$. Графики его решений – орбиты векторного поля на $\mathbb{T}^2$:
$$
\begin{equation}
\dot\phi=-\omega^{-1}\sin\phi+\ell+2\mu\cos\tau,\quad \dot \tau=1.
\end{equation}
\tag{2}
$$
Его число вращения [1; § 11, п. Ж] – это функция $\rho(B,A;\omega)=\lim_{k\to+\infty}\phi(2\pi k)/(2\pi k)$, которая, как известно, корректно определена и не зависит от выбора решения $\phi(\tau)$. Зоной фазового захвата (см. [6; определение 1.1]) называется множество уровня $L_r=L_r(\omega)=\{\rho(B,A)=r\}\subset\mathbb{R}^2$, если оно имеет непустую внутренность (аналог языков Арнольда [1; § 11, п. Л]). Известно, что зоны захвата существуют только для целых чисел вращения [4]. Каждая из них – гирлянда из бесконечного числа связных компонент; любые две соседние компоненты разделены точкой, называемой перемычкой, если она не лежит на оси абсцисс $B$, и точкой роста, если лежит (см. работу [9] и библиографию в ней). Примеры приведены на рис. 1 (здесь абсцисса –$B$, ордината – $A$), см. [3; рис. 1 а, б, д].
Перемычки задаются двумя условиями: отображение потока поля (2) за время $2\pi$ тождественно и $A\ne 0$ [6]. Основные результаты статьи – это следующие две теоремы. Теорема 1. В каждой зоне захвата все перемычки лежат на одной вертикальной прямой с абсциссой $B=\rho\omega$, где $\rho\in\mathbb{Z}$ – соответствующее ей число вращения. Теорема 1 подтверждает экспериментальный факт, обнаруженный С. И. Тертычным, В. А. Клепцыным, Д. А. Филимоновым и И. В. Щуровым, который сформулирован в виде гипотезы в [6], где доказано, что абсциссы перемычек – целочисленные кратные $\omega$. Перемычка зоны захвата положительна (отрицательна), если некоторая ее проколотая окрестность на вертикальной прямой лежит строго внутри (снаружи) зоны захвата, и нейтральна, если ни одно из этих условий не выполнено. См. рис. 2. Теорема 2 подтверждает гипотезу из [5], где доказано, что нейтральных перемычек нет. Перемычки, либо имеющие абсциссу $B\ne\rho\omega$, либо неположительные, будем называть призрачными. Теоремы 1 и 2 утверждают, что призрачных перемычек нет. Схема доказательства такова (полный текст см. в [2]). Предположим противное: призрачная перемычка существует. Показано, что ее можно продеформировать в другую, со сколь угодно малой $\omega$, сохраняя $\ell:=B/\omega\in\mathbb{Z}$. Доказательство основано на эквивалентном описании модели (1) трехпараметрическим семейством линейных систем уравнений типа Джозефсона на сфере Римана (см. работу [4] и библиографию в ней, а также [6], [3], [5]). Исследуются их изомонодромные деформации в четырехмерном семействе подходящим образом нормированных систем типа Джимбо, описывающиеся решениями уравнений Пенлеве III (см. [7]). Перемычки отвечают системам с тривиальной монодромией [6]. Показано, что системы Джозефсона отвечают простым полюсам решений уравнения Пенлеве III и образуют трансверсальное сечение к изомонодромным семействам. Это позволяет деформировать системы Джозефсона с тривиальной монодромией в аналогичные системы со сколь угодно малыми $\omega$. Для каждого $\ell\in\mathbb{Z}$ отсутствие призрачных перемычек с $B/\omega=\ell$ при всех достаточно малых $\omega$ доказывается методами теории быстро-медленных систем. Авторы благодарны В. М. Бухштаберу и Ю. С. Ильяшенко, привлекшим их внимание к задачам модели перехода Джозефсона, им и М. Бертола, И. В. Вьюгину, В. И. Громаку, Э. Жису, М. Мацокко, В. Ю. Новокшенову, В. Н. Рубцову, И. В. Щурову за полезные обсуждения и С. И. Тертычному за рисунок трех типов перемычек, внимательное прочтение полного текста [2] и полезные замечания и обсуждения.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{BibGlu21} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|